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专题 27.10 相似章末十大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】.........................................................................................1
【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】.................................................................................................3
【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】.................................................................................................5
【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】.................................................................................................6
【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】.............................................................................7
【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】.............................................................................9
【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】...............................................................................10
【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】...............................................................................11
【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】...................................................................................12
【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】
【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：
AB BD
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 = ．
AC CD
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【变式1-1】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿着AD翻折得到△ADC'，连接BC'交AD于点E，点M是EC'的中点，点N是AC的中点，连接MN，则MN
的长为 ．
【变式1-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是 ▱ABCD内的一点，连接PA，
PB，PC，PD，过点P作PE∥BC，PF∥AB，分别交AB、BC于点E、F，若
S =1,S =2,S =4，则四边形PEBF的面积为 ．
△PAD △PCD △PBC
【变式1-3】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四
边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；
(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线
分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
【题型2 利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】
【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点
A、B、C、D均在格点上，连接AC、BD相交于点E，若小正方形的边长为1，则点E到AB的距离为．
【变式2-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则
∠BAC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，AF与
BC相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分△DEF的面积等于 ．
【变式2-3】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则
∠BAC-∠DAE= ．
【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】
【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在 ▱ABCD中，AH⊥BD，垂足为H，∠ABD为锐角，且
∠ABH=∠DAH，若AH=√6，BD=5，则BC边长为 ．【变式3-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，
已知AB=12，如果将矩形沿直线l翻折后，点B落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、BC交于点M、
N，如果BN=6.5，那么AM的长为 ．
【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,6)，B(-10,0)，
把△AOB绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是A'，B'，连接AB'．当点B'在第二象限内，
AB'⊥y轴时，点A的对应点A'的坐标为 ．
【变式3-3】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角ΔABC与等腰直角ΔCDE的直角顶点C重合．
DE与AC相交于F，CD的延长线交AB于G，连接BD．
(1)如图1，求证：AC⋅CF=CE⋅CG；
(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC=ME；
(3)如图3，过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H，且点H在CG的延长线上，若AH
BC=2BH，求 的值．
DE
【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】
【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若
∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比
为何？（ ）
A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8
20
【变式4-1】（2023·浙江温州·校联考三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+ 过点A(5,0)，
3
C(2,a)，与y轴交于点B．点D，E分别为线段OB，OA上的一点（不含端点），且CD⊥DE．
(1)求k和a的值；
(2)当∠AEC与△CDE中的一个角相等时，求线段OD的长；
(3)如图2，连接BE交CD于点H，将点B绕点H逆时针旋转90°至点B'，若点B'到x轴的距离恰好等于OD
的长，求△BDH的面积．
【变式4-2】（2023春·上海静安·九年级统考期末）（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，
AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°．求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）若点M是直线AB上的一点，直线DM交直线BC于点N．
①当点M在线段AB的延长线上时（如图2），设BM=x，DM= y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面积．
【变式4-3】（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图，已知F是△ABC内的一点，DF∥BC，
1 1
EF∥AB，若四边形BDFE的面积为2，BD= BA，BE= BC，则△ABC的面积是（ ）．
3 4
A．6 B．8 C．10 D．12
【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】
【例5】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一点，且
AE=2，F，G是AB，CD上的动点，且BE=FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值
最小时，CG的长为 ．
【变式5-1】（2023秋·广东梅州·九年级校考期末）如图，直线l ∥l ∥l ，A，B，C分别为直线l ，l ，l
1 2 3 1 2 3
上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l 于点D．设直线l ，l 之间的距离为m，直线l ，l 之间
2 1 2 2 3m 1
的距离为n，若∠ABC=90°，BD=3，且 = ，则m+n的最大值为 ．
n 2
【变式5-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点D是等边△ABC边AB上的一动点(不与端点重合)，
CF
点D绕点C引顺时针方向旋转60∘得点E，所得的△CDE边DE与BC交于点F，则 的最小值为
DE
．
【变式5-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，动点P从点
B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速
度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t
秒(t>0)．
(1)用含t的代数式表示线段CP的长；
(2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；
(3)若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值；
(4)直接写出点B关于直线AP的对称点B'落在△ACD内部时t的取值范围．【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】
【例6】（2023·山东德州·统考二模）如图，∠MON＝45°，正方形ABBC，正方形ABBC ，正方形
1 1 1 2 1
ABBC ，正方形ABBC ，…，的顶点A，A，A，A…，在射线OM上，顶点B，B，B，B，B，…，
2 2 3 2 3 3 4 3 1 2 3 1 2 3 4
在射线ON上，连接AB 交AB 于点D，连接AB 交AB 于点D，连接AB 交AB 于点D，连接BD 交
2 1 1 1 3 2 2 1 2 4 3 3 2 1 1
AB 于点E，连接BD 交AB 于点E，…，按照这个规律进行下去，设四边形ADED 的面积为S，四边形
2 2 2 1 3 1 1 1 1
ADED 的面积为S，四边形ADED 的面积为S，…若AB＝2则S 等于（用含有正整数n的式子表示）
2 1 1 2 2 3 2 2 3 3 n
（ ）
22n+4 22n+4 22n+2 22n
A． B． C． D．
9 3 9 9
【变式6-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为底边在正方形ABCD
内作等腰ΔABE，点E在CD边上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A B C D ，···，按照此规律继续下
1 1 1 1
去，则第2019个等腰三角形的底边长为（ ）
1 1
A． B．
22018 22019
2018 2019
√5 √5
C．2( ) D．2( )
2 2
【变式6-2】（2023秋·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图
所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A ，作正方形A B C C；延长
1 1 1 1C B 交x轴于点A ，作正方形A B C C …按这样的规律进行下去，正方形A B C C 的面积
1 1 2 2 2 2 1 2021 2021 2021 2020
为（ ）
(3) 2021 (9) 2020 (9) 4040 (3) 4042
A．5 B．5 C．5 D．5
2 4 4 2
【变式6-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，正方形A B C A 的边长为1，正方形A B C A
0 0 0 1 1 1 1 2
的边长为2，正方形A B C A 的边长为4，正方形A B C A 的边长为8…依次规律继续作正方形
2 2 2 3 3 3 3 4
A B C A ，且点A ，A ，A ，A ，…，A 在同一条直线上，连接A C 交，A B 于点D ，连接
n n n n+1 0 1 2 3 n+1 0 1 1 1 1
A C ，交A B 于点D ，连接A C ，交A B 于点D ，…记四边形A B C D 的面积为S ，四边形
1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 0 0 0 1 1
A B C D 的面积为S ，四边形A B C D 的面积为S ，…，四边形A B C D 的面积为S ，则
1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 n-1 n-1 n-1 n n
S = ．
2022
【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】
【例7】（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P为射线AD上一个动点．连接
BP，把△ABP沿BP折叠，当点A的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP的长为
．【变式7-1】（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、
1
AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= CE时，
2
EP+BP= ．
【变式7-2】（2023春·山东淄博·九年级统考期中）如图，点A坐标为(1,1)，点C是线段OA上的一个动点
（不运动至O，A两点）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF，连接AF并
延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似，则B的坐标是 ．
【变式7-3】（2023春·江西·九年级专题练习）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB的中点，
P是CD上的动点，若点P到△ABC的一边的距离为2，则CP的长为 ．
【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】
【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且
AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，
连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形
BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=2√2；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ）A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【变式8-1】（2023秋·江苏扬州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC，M是
AC中点，CN=2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S =36，则下面结论：①∠CAH=∠ABC；
△ABC
②S =9；③AI=IH；④BO=MO；正确的是（ ）
△ABO
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式8-2】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B
作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有
下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④
AD2=BD⋅CM．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式8-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在 ▱ABCD中，∠BAD=60°，将 ▱ABCD绕顶点A逆
时针旋转至 ▱AEFG，此时点D在AE上，连接AC、AF、CF、EB，线段EB分别交CD、AC于点
H、K，则下列四个结论中：①∠CAF=60°；②△DEH是等边三角形；③2AD=3HK；④当AB=2AD
时，4S =7S ；正确的是（ ）
△ACF ▱ABCDA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】
【例9】（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，
且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，点E是BD的中点，连结AE，CE．
①试判断四边形ABCE是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数；
(2)如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE．
CG 3
延长AE交BC于点G，连结FG．若AD=5，∠EFG=90°， = ，求AB的长．
FC 4
【变式9-1】（2023·福建莆田·校考模拟预测）定义：△ABC中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数
为β，若满足α+2β=90°，则称这个三角形为“智汇三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，
BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“智汇三角形”，则CD的长是 ．
【变式9-2】（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）定义：如果三角形的两个α与β满足
α-β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．(1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，则∠C的度数为______；
9
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，点D是线段AB上的一点，若AD= ，判
4
断△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；
(3)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若
∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的长．
【变式9-3】（2023·江苏扬州·校考一模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互
融三角形，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是
“互融三角形”，则 CD 的长为 ．
【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】
【例10】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形
的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给
定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作△ABC的中线BD．
1
(2)在图②中，在AC边上找一点M，BC边上找一点N，连结MN，使得MN∥AB，且MN= AB．
2
5
(3)在图③，在AB边上找一点E，连结CE，使△BCE的面积为 ．
2
【变式10-1】（2023·浙江衢州·三模）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上，请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直AB．
(2)在图2中画一条线段交AB于点P，使AP:BP=3:2．
【变式10-2】（2023春·湖北·九年级专题练习）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点
叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图．
1
(1)在图（1）中，先在BC上画点D，使AD平分∠BAC；再在AC上画点E，使DE= AB；
3
(2)在图（2）中，点P在AB上，先将线段BA绕B点逆时针旋转∠BAC的度数，画出对应线段BF，再在
AC上画点Q，使AQ=BP．
【变式10-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
(1)如图1，△ABC的顶点以及点O 均在格点上，画出△DEF，以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°；
(2)如图2，画出一个以DF为边，面积为6的矩形DFMN；(3)如图3，在网格中有一定角和一定点P，请作一条线段，使点P为中点，且点A、B分别在、上．
