文档内容
专题 27.5 相似三角形的应用
◆ 典例分析
【典例1】一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2，现在要把它加工成一个面积
最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的
加工方法符合要求．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意得
出BC=1.5m，AB=2.5m，CJ=1.2m，再根据正方形的性质得出△ADE∽△ACB，△CMN∽△CAB，
6 30
再分别设图①正方形的边长为x，图②正方形的边长为y，代入数值得出x= >y= ，即可得出结果．
7 37
【解题过程】
解：∵AC=2m，∠ACB=90°，△ABC面积为1.5m2，
1
∴
BC·AC=1.5m2
，
2
解得：BC=1.5m，
如图①，设正方形的边长为x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
AD DE
∴ = ，
AC CB
2−x x
即 = ，
2 1.5
6
解得：x= m，
7如图②，过点C作CJ⊥AB，分别交MN、AB于G、J两点，
又∵AC=2m，BC=1.5m，△ABC面积为1.5m2，∠ACB=90°，
1
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√22+1.52=2.5m， AB·CJ=1.5m2 ，
2
∴AB=2.5m，CJ=1.2m，
设图②正方形的边长为y，
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
CG MN
∴ = ，
CJ AB
1.2−y y
即 = ，
1.2 2.5
30
解得：y= m，
37
6 30
∵ > ，
7 37
∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求．
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的
底部为O，把路灯看成一个点光源，身高1.6m的小明站在点P处，且OP=2m，当小明向路灯移动0.5m
时，影长的变化是（ ）
A．伸长了0.2m B．伸长了0.1m C．缩短了0.2m D．缩短了0.1m【思路点拨】
CP BP
本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可得AO∥CP，即得△BPC∽△BOA，得到 = ，
AO BO
求出变化前后BP的长度即可判断求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，由题意可知，AO∥CP，
∴△BPC∽△BOA，
CP BP
∴ = ，
AO BO
1.6 BP
∴ = ，
9.6 2+BP
∴BP=0.4m，
当小明向路灯移动0.5m时，BO=2−0.5+BP=1.5+BP，
CP BP 1.6 BP
由 = 得， = ，
AO BO 9.6 1.5+BP
∴BP=0.3m，
∴影长缩短了0.4−0.3=0.1m，
故选：D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线
AB走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（ ）
A．一直不变 B．逐渐变长 C．逐渐变短 D．先变短后变长
【思路点拨】
本题考查相似三角形的应用，连接CD，过点G作GH∥AE，证明△CGD∽△EGF，结合平行线分线段EF EG AH EF
成比例，推出 = = ，进而得到 是定值，即可得出结论．
CD CG CH CD
【解题过程】
解：如图，连接CD，过点G作GH∥AE，
由题意，可得：四边形ABDC，四边形AKGH均为矩形，
∴AB=CD,AH=GK，AB∥CD，
∴△CGD∽△EGF，
EF EG
∴ = ，
CD CG
∵GH∥AE，
EG AH
∴ = ，
CG CH
EF AH
∴ = ，
CD CH
∵身高，两个路灯间的距离，路灯的高度均为定值，
∴EF的长为定值，
∴他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和一直不变．
故选：A.
3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角
形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为
（ ）cm．A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，过E作EH⊥AB于点H，则点O、E、H三点共线，则有OH=15cm，
OE=7cm，OF=11cm，AB=6cm，通过线段和差得到EF=4cm，EH=8cm，由AB∥CD，证明
CD EF
△CED∽△AEB，最后由相似三角形的性质得出 = 即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质
AB EH
是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，过E作EH⊥AB于点H，则点O、E、H三点共线，
由题意得：OH=15cm，OE=7cm，OF=11cm，AB=6cm，
∴EF=OF−OE=11cm−7cm=4cm，EH=OH−OE=15cm−7cm=8cm，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，△CED∽△AEB，
CD EF
∴ = ，
AB EH
CD 4
∴ = ，
6 8
∴CD=3(cm)，
即此时液面宽度为3cm，故选：C．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m．当BC=2.5m时，
点B到地面的距离BE=1.5m，则点A到地面的距离AD为（ ）
A．2.6m B．2.5m C．2.46m D．2.22m
【思路点拨】
本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出的
长．
【解题过程】
解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD=∠AFB=∠CBE，
∴△CDF∽△CEB，
∵∠ABF=∠CEB=90°，∠AFB=∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
BE BC EC
∴ = = ，
FB AF AB
∵BC=2.5m，BE=1.5m，
∴EC=❑√2.52−1.52=2m，
1.5 2.5 2
即 = = ，解得：FB=0.9，AF=1.5，
FB AF 1.2
∵△CDF∽△CEB，
DF CF DF 2.5−0.9
∴ = ，即 = ，解得：DF=0.96，
BE CB 1.5 2.5
∴AD=AF+DF=1.5+0.96=2.46m．
故选C．
5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今
有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的
意思是：如图，M，N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为（ ）步．
A．300 B．250 C．225 D．150
【思路点拨】
本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由
FN AM
题意可知△AME∽△FNA，根据相似三角形性质得到 = ，设AD=2a，由M、N分别是正方形
AN EM
225 a
ABCD的边AD、AB的中点可知AM=AN=a，则 = ，解得a=150，从而得到正方形城邑边长
a 100
AD=2a=300步．
【解题过程】
解：∵ ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠FNA=∠AME=90°，
∵正方形ABCD中，∠MAN=90°，EF过点A，
∴FN∥AM，则∠F=∠EAM，
∴ △AME∽△FNA，
FN AM
∴ = ，
AN EM
∵ M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，设AD=2a，
∴ AM=AN=a，
∵ ME=100步，NF=225步，
225 a
∴ = ，即a2=100×225，解得a=150负舍去值，
a 100
∴正方形城邑边长AD=2a=300步，
故选：A．
6．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一
棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若BC=6cm，AB=16cm，水面BF离桌面的高度为9.6cm，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A．10cm B．13.2cm C．14.4cm D．16cm
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线CM，垂足为点M，
交BF于点N；过点B作桌面的垂线BP，垂足为点P；根据题意易得BP=MN=9.6cm，通过证明
△CNB∽△APB，求出BN=3.6，再根据勾股定理求出CN=❑√BC2−BN2=4.8，最后根据
CM=CN+MN，即可求解．
【解题过程】
解：过点C作桌面的垂线CM，垂足为点M，交BF于点N；过点B作桌面的垂线BP，垂足为点P，
∵水面BF离桌面的高度为9.6cm，
∴BP=MN=9.6cm，
∵BF∥AP,CM⊥AP，
∴CN⊥BF，
∵∠CBN+∠ABF=∠ABP+∠ABF=90°，
∴∠CBN=∠ABP，
又∵∠CNB=∠APB，
∴△CNB∽△APB，
BN BC BN 6
∴ = ，即 = ，
BP AB 9.6 16
解得：BN=3.6，
根据勾股定理可得：CN=❑√BC2−BN2=4.8，∴CM=CN+MN=4.8+9.6=14.4cm，
即此时点C离桌面的高度为14.4cm．
故选：C．
7．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，
CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA=15mm，DO=24mm，
DC=10mm，则点A与点B之间的距离为（ ）
A．20mm B．30mm C．40mm D．50mm
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称图形的性质等知识．连接AB交直线OC于点E，
1
先求出OC=26mm，AO=39mm．再根据轴对称图形的性质得到OE⊥AB,AE=BE= AB，证明
2
△AOE∽△COD，求出AE=15mm，即可求出AB=2AE=30mm，问题得解．
【解题过程】
解：如图，连接AB交直线OC于点E．
∵CD⊥OA，
∴在Rt△OCD中，OC=❑√OD2+CD2=❑√242+102=26mm．
∵DA=15mm，DO=24mm，
∴AO=DA+DO=39mm．
∵铁夹子的侧面示意图是一个轴对称图形，直线OC是它的对称轴，
1
∴OE⊥AB,AE=BE= AB，
2∴∠AEO=∠CDO=90°，
∵∠AOE=∠COD，
∴△AOE∽△COD，
AO AE
∴ = ，
CO CD
39 AE
即 = ，
26 10
∴AE=15mm，
∴AB=2AE=30mm，
即点A与点B之间的距离为30mm．
故选：B
8．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候
常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若
在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米
【思路点拨】
此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比
例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程
求解即可．
【解题过程】
解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长
OE交CD于F，则OF⊥CD，∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，
AB OE
∴ = ，
CD OF
∵EF=2米，OE=4米，则OF=6米，
AB OE 2
∴ = = ，
CD OF 3
AB=2k，CD=3k，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即AB=2k，C′D′=6k，△AO′B∽△C′O′D′，
AB O′E′ 1
∴ = = ，
C′D′ O′F′ 3
则O′E′=2米，
∴光源与小明的距离减少OE−O′E′=4−2=2（米），
故选：D．
9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山
坡OM与地面ON的夹角∠MON=30°，站立在水平地面上，身高1.5米的小明，在地面上的影长BP为1
米，此刻大树CD在斜坡上的影长DQ为4米，则大树的高度是 米．【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并
1
正确作出辅助线．过点Q作EQ⊥CD于点E，推出∠2=∠1=30°，得到DE= DQ=2米，再根据勾股
2
定理求出EQ=2❑√3米，由题意得：AB=1.5米，BP=1米，△ABP∽△CEQ，利用相似三角形的性质求
出CE=3❑√3米，即可求解．
【解题过程】
解：过点Q作EQ⊥CD于点E，
∴ EQ∥ON，
∴ ∠2=∠1=30°，
∵ DQ=4米，
1
∴ DE= DQ=2米，
2
∴ EQ=❑√DQ2−DE2=❑√42−22=2❑√3米，
由题意得：AB=1.5米，BP=1米，△ABP∽△CEQ，
AB BP 1.5 1
∴ = ，即 = ，
CE EQ CE 2❑√3
∴ CE=3❑√3米，
∴ CD=CE+DE=(3❑√3+2)米，
∴大树的高度是(3❑√3+2)米，故答案为：3❑√3+2．
10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔4米有一
棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边12米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电
线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米．
【思路点拨】
本题考查相似三角形的应用举例，利用比例性质可解决问题．过P作PF⊥AB于F，延长PF交CD于E，
由已知得CD=50米，AB=4×3=12米，PF=12米，由AB∥CD，PF⊥AB，得到△PAB∽△PDC，
AB PF
PE⊥CD，利用相似比等于对应高的比，可知 = ，求出PE=50，再由EF=PE−PF即可求解．
CD PE
【解题过程】
解：如图所示，过P作PF⊥AB于F，延长PF交CD于E，
由已知得CD=50米，AB=4×3=12米，PF=12米，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴ △PAB∽△PDC，PE⊥CD
AB PF 12 12
∴ = ，即 = ，
CD PE 50 PE∴ PE=50，
∴ EF=PE−PF=50−12=38米，
则河宽为38米．
故答案为：38．
11．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运
动．如图是一张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB的中点E处的球，球沿EF
射向边AD，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出
发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示）
【思路点拨】
1
本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解AE=BE= m，
2
AD=BC=2m，AB=CD=m，∠A=∠D=90°，再证明△AEF∽△DCF，再利用相似三角形的性质与
勾股定理可得答案．
【解题过程】
解：∵一张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD，AB的中点为E，
1
∴AE=BE= m，AD=BC=2m，AB=CD=m，∠A=∠D=90°，
2
由反弹规律满足光的反射定律．
∴∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
1
m
∴AF AE 2 1，
= = =
DF DC m 2
2 4
∴AF= m，DF= m，
3 3∴EF=❑ √ (1 m ) 2 + (2 m ) 2 = 5 m，CF=❑ √ m2+ (4 m ) 2 = 5 m，
2 3 6 3 3
5 5 5
∴EF+CF= m+ m= m，
6 3 2
5
m
∴ 2 5m，
t= =
v 2v
5m
故答案为：
2v
12．（23-24九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在水平地面上的影
子如图中线段BC所示，小亮的身高如图中线段DE所示，路灯灯泡在射段OM上(B，O，E三点共线）．
若两人的身高均为1.5m，他们相距12m，灯光下的影子长分别为2m和4m，则灯泡的高度为
m．
【思路点拨】
此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性
质求解即可．
【解题过程】
解：如图，
∵AB⊥CN，OM⊥CN，DE⊥CN，
∴AB∥OM∥DE，
∴△ABC∽△MCO，△DNE∽△MNO，
AB BC NE DE
∴ = ， = ，
OM OC ON OM
∵AB=DE=1.5m，BC=2m，NE=4m，BE=OB+OE=12m，∴OE=12−OB，
1.5 2 4 1.5
∴ = ， = ，
OM 2+OB 4+12−OB OM
4 8
∴OB= OM−2，OB=16− OM，
3 3
4 8
∴ OM−2=16− OM，
3 3
9
∴OM= (m)，
2
9
故答案为： ．
2
13．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，小李身高AB=1.6m，在路灯O的照射下，影子不全落在地
面上．小李离路灯的距离AP=6.6m，落在地面上影长AC=0.9m，留在墙上的影高CD=1m，则路灯OP
高为 ．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例
BE DE
解题是关键．过点D作DF⊥OP于点F，DF交AB于点E，通过证明△DOF∽△DBE，得出 =
OF DF
0.6 0.9
，即 = ，即可求解．
OF 7.5
【解题过程】
解：过点D作DF⊥OP于点F，DF交AB于点E，∵PO⊥PC,CD⊥PC,AB⊥PC,DF⊥OP，
∴四边形PAEF、四边形ACDE均为矩形，
∴EF=AP=6.6m，DE=AC=0.9m，PF=AE=CD=1m，
∴BE=AB−AE=0.6m，DF=EF+DE=7.5m，
∵PO⊥PC,AB⊥PC，
∴OP∥AB，
∴△DOF∽△DBE，
BE DE 0.6 0.9
∴ = ，即 = ，
OF DF OF 7.5
解得：OF=5，
∴OP=OF+PF=6m，
故答案为：6m．
14．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=2.4m，蹲下来，
则身影AC=1.05m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度
为 ．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．设AD与PC相交于点E
，根据题意可得：AE=0.8m，PH⊥BH，DA⊥AB，从而可得∠DAC=∠PHB=90°，然后证明A
字模型相似△DAB∽△PHB，△CEA∽△CPH，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解题过程】
解：设AD与PC相交于点E，1
由题意得：AE= AD=0.8(m)，PH⊥BH，DA⊥AB，
2
∴∠DAC=∠PHB=90°，
∵∠DBA=∠PBH，
∴△DAB∽△PHB，
DA AB
∴ = ，
PH BH
1.6 2.4
∴ = ，
PH 2.4+AH
∵∠ECA=∠PCH，
∴△CEA∽△CPH，
AE AC
∴ = ，
PH CH
0.8 1.05
∴ = ，
PH 1.05+AH
2.4 2×1.05
∴ = ，
2.4+AH 1.05+AH
解得：AH=8.4，
1.6 2.4
∴ = ，
PH 2.4+8.4
解得：PH=7.2，
∴灯离地面的高度为7.2m，
故答案为：7.2m．
15．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1是杭州亚运会跳水场馆的实景图，图2是学生根据实景图构建的
跳台模型示意图．已知跳台立柱OA=10m，垂直于地面，跳台AB=6m，平行于地面，裁判坐在垂直于地
面的高架座椅CD上，座椅高CD=1.2m，眼睛与座位的竖直距离DE=0.8m，裁判望向起跳点B的仰角α
与望向立柱底部O点的俯角β互余，则裁判与立柱之间的水平距离OC的长为 ．【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点E作EF⊥AO，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，根据垂直定义可得：
∠BGE=∠EFO=90°，从而可得∠EBG+∠BEG=90°，再根据题意可得：OF=CE=2m，
AB=FG=6m，AF=BG，EF=CO，从而可得AF=BG=8m，然后根据已知可得：
∠BEG+∠FEO=90°，从而可得∠EBG=∠FEO，进而可得△BEG∽△EOF，最后利用相似三角形
的性质进行计算，即可解答．
【解题过程】
解：过点E作EF⊥AO，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，
∴∠BGE=∠EFO=90°，
∴∠EBG+∠BEG=90°，
由题意得：OF=CE=CD+DE=1.2+0.8=2(m)，AB=FG=6m，AF=BG，EF=CO，
∵AO=10m，
∴AF=BG=OA−OF=10−2=8(m)，
∵∠BEG+∠FEO=90°，
∴∠EBG=∠FEO，∴△BEG∽△EOF，
BG EG
∴ = ，
EF OF
8 EG
∴ = ，
EG+6 2
解得：EG=2或EG=−8（舍去），
∴OC=EF=EG+FG=2+6=8(m)，
∴裁判与立柱之间的水平距离OC的长为8m，
故答案为：8m．
16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．
（①直线②曲线，填序号）
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，设AB表示路灯，CD表示行人，AF表示光线，直线m为人行走的路线，
设AB= ℎ，CD= ℎ，BD=l ，DF=l ，点B到路m的距离BE=d ，影子顶部F到路m的距离FG=d ，
1 2 1 2 1 2
l +l ℎ ℎ l l d l
由△ABF∽△CDF可得 1 2= 1 ，即得 1= 1+1，得到 1 是定值，由△BDE∽△FDG得 1= 1 ，即
l ℎ ℎ l l d l
2 2 2 2 2 2 2
d
得 1 也是定值，进而可得d 也为定值，即影子顶部到直线m的距离不变，故得影子顶部的运动轨迹为平行
d 2
2
于路m的一条直线，即可求解，根据题意，正确画出图形是解题的关键．
【解题过程】
解：如图所示，设AB表示路灯，CD表示行人，AF表示光线，直线m为人行走的路线，
设AB= ℎ，CD= ℎ，BD=l ，DF=l ，点B到路m的距离BE=d ，影子顶部F到路m的距离FG=d ，
1 2 1 2 1 2
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CDF，
BF AB l +l ℎ
∴ = ，即 1 2= 1 ，
DF CD l ℎ
2 2
ℎ l
∴
1= 1+1，
ℎ l
2 2
ℎ
1
∵ 是定值，
ℎ
2
l
1
∴ 也是定值，
l
2
∵BE∥FG，
∴△BDE∽△FDG，
BD BE d l
∴ = ，即 1= 1 ，
FD FG d l
2 2
l
1
∵ 是定值，
l
2
d
1
∴ 也是定值，
d
2
∵d 为定值，
1∴d 也为定值，即影子顶部到直线m的距离不变，
2
∴影子顶部的运动轨迹为平行于路m的一条直线，
故答案为：①．
17．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知
识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造
相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC=a，CE=b，DE=c．问：海关大楼高AB高为多少？（用a，b，c表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法
准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到
了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相
似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到EG=16.8m，DF=1.6m，GN=1.8m，DE=1.45m，请你求出海关大楼AB的高
度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误
差的原因是什么？【思路点拨】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，
AB BC
问题一：根据反射特点可知∠ACB=∠DCE，即可证明△ABC∽△DEC，有 = ，即可求得AB
DE EC
．
问题二：由反射特点可知∠AEB=∠FED，∠AGB=∠MGN，证得△AEB∽△FED，
AB EB AB GB EB GB
△AGB∽△MGN，有 = ， = ，结合FD=MN得到 = ，求得EB，可得AB；
FD ED MN GN ED GN
问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可．
【解题过程】
解：问题一：由反射特点可知∠ACB=∠DCE，
又∵∠ABC=∠DEC=90°，
∴△ABC∽△DEC，
AB BC
∴ =
DE EC
∵BC=a，CE=b，DE=c
AB a
即： = ，
c b
ac
∴AB= ．
b
问题二：
由反射特点可知∠AEB=∠FED，∠AGB=∠MGN，
∵∠ABC=∠FDE=∠MNG=90°
∴△AEB∽△FED，△AGB∽△MGN，
AB EB AB GB
∴ = ， = ，
FD ED MN GN
∵FD=MN，
EB GB
∴ = ，
ED GN
∵EG=16.8m，DF=1.6m，GN=1.8m，DE=1.45m，
EB EB+16.8
∴ = ，解得EB=69.6，
1.45 1.8
AB 69.6
∴ = ，
1.6 1.45解得AB=76.8；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到∠AEB=∠FED和
∠AGB=∠MGN，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
18．（2024·浙江·二模）
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为BC=15cm，
材 AC=20cm，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样
1 的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁
剪，且AH=8cm．
素
材
2
小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角△ABC纸板上裁下一个矩形CDEF，矩形的四个顶点
素
都在△ABC的边上；
材
3 步骤2：取剩下的纸板△ADE裁下一个正方形GHJI，正方形的四个
顶点都在△ADE边上；且满足矩形CDEF的CF边长是正方形GHJI
边长的两倍小0.9cm．
问题解决
任
务 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
1
任
务 请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长．
2
【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，
任务1：小华：设正方形的边长为x，AF=20−x，由题意得：△AFD∽△ACB，再利用相似三角形的性
质求得x，小明：由题意得：AB=❑√202+152=25，再由△AHG∽△ACB及△BPQ∽△BCA求得HP，然
后比较大小即可；
任务2：由题意得：△AHG∽△ACB，可设AH=4x，HG=3x，AG=5x，再由△GDI∽△ACB可得
37
GD 3x 12 37 x
= ，求得GD= x，AD= x，由△ADE∽△ACB列出比例式 5 6x−0.9，求得得：
20 25 5 5 =
20 25
37 74
x=2，从而得出AD= ×2= ．最后求解即可；
5 5
【解题过程】
解：任务一：小华：设正方形的边长为x，AF=20−x
由题意得：△AFD∽△ACB
x 20−x 60
= ，得：x=
15 20 7
(60) 2 3600
S = =
小华 7 49
小明：由题意得：AB=❑√202+152=25
∵△AHG∽△ACB
8 GH
∴ = ，得GH=6．
20 15
∵△BPQ∽△BCA
PB 6 9
= ，得：PB=
15 20 2
9 25
HP=25−8− =
2 2
25
S =6× =75
小明 2
3600
∵75>
49∴ S >S ．
小明 小华
任务二：由题意得：△AHG∽△ACB
HG:AH:AG=3:4:5
设：AH=4x，HG=3x，AG=5x
同理：△GDI∽△ACB
GD 3x 12
∴ = ，得GD= x
20 25 5
DE=CF=6x−0.9
37
∴ AD= x
5
∵△ADE∽△ACB
37
x
5 6x−0.9，得：x=2
=
20 25
37 74
AD= ×2= ．
5 5
111 74 26
∴矩形CDEF的边长为：DE=6×2−0.9= ；CD=20− = ．
10 5 5
19．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的
侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，
OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；
探究：若EF=32cm，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
【思路点拨】
发现：证明△AOC∽△EOF，得到∠OAC=∠OEF，即可证明AC∥EF；
探究：过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股
定理求出ON的值，再证明△ABM∽△OEN，利用相似比求出AM的值，即可获得答案．
【解题过程】解：发现：AC∥EF，
理由如下：连接AC，如下图，
∵立杆AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠EOF，
OA OC 51 3
又∵ = = = ，
OE OF 34 2
∴△AOC∽△EOF，
∴∠OAC=∠OEF，
∴AC∥EF；
探究：如下图，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，
∵OE=OF=34cm，
∴△OEF是等腰三角形，
1
∴∠OEF= (180°−∠EOF)，
2
∵ON⊥EF，EF=32cm，
1
∴EN=FN= EF=16cm，
2
在Rt△OEN中，根据勾股定理可得ON=❑√OE2−EN2=❑√342−162=30cm，
∵ON⊥EF，AM⊥BD，
∴∠ONE=∠AMB=90°，
∵OA=OC，AB=CD，
∴OB=OD，1
∴∠OBD= (180°−∠BOD)，
2
∴∠OBD=∠OEF，
∴△ABM∽△OEN，
OE ON 34 30
∴ = ，即 = ，
AB AM 136 AM
解得AM=120cm．
答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．
20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB
的高度比路灯CD的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD，行
走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B）．
如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．
（1）求路灯CD的高度．
（2）若小明身高EF是影子FM与FN的比例中项，求此时t的值．
（3）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN= （用含t的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N
在地面上移动的速度为 米/秒．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，能根据题意列出比例式是解题的关键；
BP QP
（1）根据题意表示出BP，BD，PQ长度，设AB=x米，则CD=(x+1)米，由PQ∥CD可得 = ，
BD CD
代入计算即可；
EF AB 8 EF CD 18−t
（2）设FM=x，由 = 可得x= t，FN= y，由 = 可得y= ，再由EF是影子FM
FM BM 35 FN DN 5
与FN的比例中项，可求t；
（3）设O是小明在路灯CD下影子的起止位置，根据△OBG∽△ODC求出OB即可得出影子的速度．【解题过程】
（1）解：∵由题意得BP=3米，BD=18米，PQ=1.6米，
∵PQ∥CD，
BP QP
∴ = ，
BD CD
3 1.6
∴ = ，
18 CD
∴CD=9.6，
答：路灯CD的高度为9.6米；
（2）由题意可知：BF=t，
∵EF∥AB，
EF AB
∴ = ，
FM BM
1.6 9.6−1
设FM=x，则有 = ，
x t+x
8
解得： x= t，
35
∵EF∥CD，
EF CD
∴ = ，
FN DN
1.6 9.6
设FN= y，则有 = ，
y 18−t+ y
18−t
解得y= ，
5
∵EF是影子FM与FN的比例中项，
18−t
EF FN 1.6 5
∴ = ，即 = ，
FM EF 8 1.6
t
35
化简得：t2−18t+56=0，
解得：t =4，t =14，
1 2
∴t的值为：4或14；
8 18−t
（3）①∵FM= t， FN= ，
35 51 18
∴MN=FM+FN= t+ ，
35 5
②如图设O是小明在路灯CD下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子OC交AB于点G，
由（1）得t=3，
∵BG∥CD，
∴△OBG∽△ODC，
OB BG OB 1.6
∴ = ，∴ = ，
OD CD OB+18 9.6
18
∴OB= ，
5
18
∴移动的速度为 ÷3=1.2（米/秒）
5
故答案为：①；②．
