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专题5.1 相交线与垂直（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】邻补角与对顶角
1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个
角叫做互为邻补角．
要点提醒：
(1).邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是
两个角的和为180°．
(2).邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3).互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4).邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点提醒：
(1).由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2).对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
【知识点二】垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其
中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
要点提醒：
ab
(1)记法：直线a与b垂直，记作： ；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
判定
AOC 90° 性质
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一
条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则
所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点提醒：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长
线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点提醒：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只
有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线
外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短
性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点提醒：
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【考点目录】
【考点1】对顶角与邻补角认识； 【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值；
【考点3】垂直定义的理解； 【考点4】作图（画垂线）；
【考点6】点到直线的距离的判定与求值；【考点7】求最值（垂线段最短）.
【考点1】对顶角与邻补角认识；
【例1】（2023下·七年级课时练习）如图，直线 相交于点 是 内部的一条射线．
（1）写出 和 的邻补角；
（2）写出图中所有的对顶角．【答案】（1） 的邻补角为 的邻补角为
（2） 与 互为对顶角， 与 互为对顶角
【解析】略
【变式1】（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列图中， 和 是对顶角的有（ ）个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
解：根据对顶角的定义：
中 和 不是对顶角；
中 和 是对顶角；
中 和 不是对顶角；
中 和 不是对顶角；
故选： ．
【点拨】此题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．
【变式2】（2023下·广东中山·七年级校考阶段练习）如图，直线 相交于点 ．
的对顶角是 ， 的邻补角是 ．
【答案】 或
【分析】根据对顶角定义，结合图形可知 的对顶角是 ；根据邻补角定义，结合图形可知 的邻补角是 或 ，从而得到答案．
解：由图可知， 的对顶角是 ； 的邻补角是 或 ，
故答案为： ； 或 ．
【点拨】本题考查对顶角定义及邻补角定义，熟记对顶角与邻补角定义，结合图形求解是解决问题的
关键．
【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值；
【例2】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线 、 相交于点O，
，射线 将 分成两个角，且 ．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ，则 是 的平分线吗？判断并说明理由．
【答案】（1） ；（2）OB是 的平分线，理由见分析
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义：
（1）由对顶角相等可得 ，再根据 即可求解；
（2）由邻补角的性质求得 ，再由角平分线的性质求得 ，即可得出结论．
（1）解： ，
，
， ，
；
（2）解：是．理由如下：
，
，
平分 ， ，
，， ，
，
是 的平分线．
【变式1】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线 ， 相交于点 ，
平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到 ，然后根据平角
的概念求解即可．
解：∵
∴
∵ 平分 ，
∴
∴ ．
故选：D．
【点拨】此题考查了对顶角相等，角平分线的概念，平角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式2】（2023下·七年级课时练习）如图，已知 ，则图中与 相等的角（不含
）共有 个．
【答案】3【解析】略
【考点3】垂直定义的理解；
【例3】（2023下·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O， ．
（1）若 ，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON______CD．理由如下：
因为 ，所以 ______°．
所以______ ．
又因为 ，所以______ （等量代换），
即 ．
所以__________（__________）．
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）⊥，90， ， ， ，垂直的定义
（2）
解：（1）⊥ 90 垂直的定义
（2）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，直线AB，CD相交于点O．已知 于点
O，OF平分∠BOC．若 ，则∠AOD的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式2】（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）如图，直线 、 相交于点O，射线 平分
， ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /55度
【分析】本题考查了图形中角的计算，涉及到角平分线的定义、垂直的定义，根据角平分线与垂直的
概念结合图形中角之间的关系即可求解．
解：∵ ，射线 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点4】作图（画垂线）；
【例4】（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图所示， 是钝角.（不
写作图过程，保留作图痕迹）
（1）画出点A到 的垂线段.（2）过点C画 的垂线.
【答案】（1）见分析；（2）见分析；
【分析】（1）根据题意画出点A到 的垂线段即可；
（2）根据题意过点C画 的垂线即可．
解：（1）如图，线段 即为点A到 的垂线段，
（2）如图，线段 即为所作的垂线，
【点拨】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．
【变式1】（2023下·福建厦门·七年级统考期末）如图，已知直线 ，点 在直线 上，用
三角尺过点 画直线 的垂线 ．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角
板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．
解：∵三角尺过点 画直线 的垂线 ：
一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线 上，
二、移动三角板另一直角边到已知点 ，
三、过已知点 画垂线 ，四、画垂直符合，
∴ 项符合题意， 不符合题意；
故选 ．
【点拨】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，
二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤
是解题的关键．
【变式2】（2018下·七年级课时练习）如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上
的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ．
【答案】70°
解：过点E作EM⊥CD于E．
根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，
∴∠DEN=40°，
∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．
故答案为70°．
【点拨】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注
意数形结合思想的应用．
【考点5】点到直线的距离的判定与求值【例5】（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知 于 ， 于 ， ，
， ， ， ．则：
（1）点 到直线 的距离为_________；
（2）点 到直线 的距离为_________；
（3）点 到直线 的距离为_________；
（4）点 到直线 的距离为_________；
（5）点 到直线 的距离为_________．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长；
（2）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长；
（3）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长；
（4）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长；
（5）根据点到直线的距离，可得点 到直线 的距离为线段 的长．
（1）解：∵ ，
∴点 到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴点 到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（3）解：∵ ，
∴点 到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（4）解：∵ ，
∴点 到直线 的距离为线段 的长， ；
故答案为： ．
（5）解：∵ ，∴点 到直线 的距离为线段 的长， ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.
【变式1】（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）如图，点 在直线 上，点 ， 分别在直线
上， 于点 ， 于点 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离等于 B．点 到直线 的距离等于
C．点 到直线 的距离等于 D．点 到直线 的距离等于
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离求解即可．
解： 于点 ， 于点 ， ， ，
点 到直线 的距离等于 ，点 到直线 的距离等于 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键．
【变式2】（2021下·广东东莞·七年级校考阶段练习）在 中， 、过 作 ，垂
足为 ，已知 ， ， ，点 到 的距离为 ，这个长度是 ．
【答案】 线段 的长度 12
【分析】根据点到直线的距离为过该点到直线的垂线段的距离，进行判断计算即可．解：∵ ，
∴点 到 的距离为线段 的长度，
∵ ，
∴这个长度是 ；
故答案为：线段 的长度，12．
【点拨】本题考查点到直线的距离．熟练掌握点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度，是解题的
关键．
【考点6】求最值（垂线段最短）
【例6】（2022下·北京·七年级校考期中）如图，已知点P在∠AOC的边OA上，
（1）过点P画OA的垂线交OC于点B；
（2）画点P到OB的垂线段PM；
（3）测量P点到OB边的距离：_______cm；
（4）∠AOC与∠BPM之间的数量关系为_______________，理由为__________________________．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）1.5；（4）相等，等角的余角相等
【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线段的定义画出图形即可；
（3）利用测量法解决问题即可；
（4）根据垂直的定义及等角的余角相等即可求解．
解：（1）如图，直线PB即为所求作；（2）如图，线段PM即为所求作；
（3）P点到OB边的距离为PM的长度，通过测量可得PM约为1.5cm长，
故答案为：1.5；
（4） ，
， ，
，
∠AOC=∠BPM，
故答案为：相等，等角的余角相等．
【点拨】本题考查作图一基本作图，垂线，垂线段及点到直线的距离，等角的余角相等，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1】（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）直角三角形 中， ，
， ， ，则点 到直线 上各点的所有线段中，最短的线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂线段最短解决此题．
解：如图，过点B作 于点D．∵ ，
∴ ．
∴根据垂线段最短，点B到直线 上各点的所有线段中，最短的线段长为 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．
【变式2】（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，直角三角形 中，
， ， ， ，点 是边 上一动点，作直线 经过点 ．点 ，分别过
点 ， 作 与 垂直， 与 垂直．垂足分别为 ， ，设线段 ， 的长度分别为 ，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据 ，即 得到 ，则
的最大值就是 的最小值，由垂线段最短可得当 时， 最小，即可求解．
解：由题意可得： ，即
化简可得：
解得 ，
则 的最大值就是 的最小值，
由垂线段最短可得当 时， 最小，由 可得，
∴ 的最大值为
故答案为：
【点拨】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定的最大值就是的最小
值，并掌握垂线段最短的性质．
