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专题5.25 相交线与平行线（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）园林师傅想用32米的篱笆围成如下形状的花圃，下图哪
种形状的花圃是不可能围成的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）给出下列说法：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角
相等；③若 ，则x的值为2和 ；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距
离．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2018下·七年级单元测试）如图1和图2是在数学课上甲组和乙组在探究用不同方法：过直线外
一点P作直线l的平行线，用尺规作图保留痕迹，关于两组的作法下列说法正确的是（ ）
A．甲组作法正确，乙组作法不正确 B．甲组作法不正确，乙组作法正确
C．甲组和乙组作法都不正确 D．甲组和乙组作法都正确
4．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）下列图中∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．⑴、⑵、⑶， B．⑵、⑶、⑷， C．⑶、⑷、⑸， D．⑴、⑵、⑸5．（2023下·陕西安康·七年级统考阶段练习）如图， 、 分别在 和 内部，若
，则下列条件中，不能判定 的是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
6．（2023下·云南楚雄·七年级统考期中）如图，能判定 的条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，巡逻艇 在军舰 北偏东 的方向上，巡逻艇 在
军舰 北偏东 的方向上，军舰 位于军舰 的正东方向，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·辽宁朝阳·七年级校考期中）若 与 相等且互补， 与 是对顶角，则 的一
半是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，在锐角 中， ，将
沿着射线 方向平移得到 （平移后点 ， ， 的对应点分别是点 ， ， ），连接
，若在整个平移过程中， 和 的度数之间存在2倍关系，则 不可能的值为（ ）A． B． C． D．
10．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图a是长方形纸带， ，将纸带沿EF折
叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2019下·广东阳江·七年级统考期中）如图，直线a,b被直线c所截，互为同旁内角的是 .
12．（2018下·山东泰安·七年级统考期末）如图，在 中，点E是AD边上的一点，CD=CE，将
沿CE翻折得到 ，若∠B=55°．那么 的度数为 ．
13．（2020下·六年级校考课时练习）在同一平面内有2022条直线 ，如果 ，
， ， ……那么 与 的位置关系是 ．
14．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都
相同的三角板画平行线AB、CD，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行．”
小萱做法的依据是 ．
小冉做法的依据是 ．
15．（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6．将三角形
ABC沿射线BC方向平移至三角形DEF处．若AG＝2，BE＝ ，则EC＝
16．（2023下·七年级课时练习）如图，三角形 中， ， 是边 上的两点， 是边 上一点，
连接 并延长．交 的延长线于点 ．现有以下条件：① 平分 ；② ；③
．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
17．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， 和 分别平分 和
，若 ，则 ．18．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）下列说法中：
①若对于任意有理数x，则 存在最小值为4；
②如果关于x的二次多项式 的值与x的取值无关，则 的值为 ；
③一条线垂直于两条直线中的一条，则这条直线也垂直于另一条；
④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则 的值为5.
其中正确的有（填序号） ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互补，
BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且BE∥DF，判断AD与AB的位置关系，并说明理由．
20．（8分）（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）如图，已知直线 ， ， ， ， ，且
， ，求证： .在下列解答中，填空（理由或数学式）：
解：∵ （已知），
∴（ ）（ ）.
∵（ ）（已知），
∴ （ ）
∴（ ）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.21．（10分）（2023下·江西上饶·七年级统考阶段练习）如图，点 在 上， ，且 平分
．
（1） 平分 吗？试说明理由．
（2）若 ， ，求证： ．
22．（10分）（2023上·内蒙古乌海·八年级统考期末）综合与实践：
问题：如图 ，直线 、 、 两两相交，交点分别为点 、 、 ，点 在线段 上，过点
作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空 理由或数学式解：∵ ，
∴ ______（______），
∵ ，
∴______ （______），
∴ （______），
∵ ，
∴ ．
探究：如图2，直线 、 、 两两相交，交点分别为点 、 、 ，点 在线段 的延长线
上，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
（2）在图2中，若 ，求 的度数并说明理由．
（3）猜想：如果 的两边分别平行于 的两边，直接写出 与 这两个角之间有
怎样的数量关系？
23．（10分）（2024上·安徽合肥·七年级统考期末）已知 ，射线 在 的内部，
且 ．射线 是平面上绕点 旋转的一条动射线， 平分 ．
（1）如图1，射线 在 的内部．
①求 的度数；
②若 与 互余，求 的度数；
（2）若射线 在 的外部， ，求 的度数（用含 的式子表示）．24．（12分）（2023下·河南焦作·七年级统考期中）已知直线 ，点P为直线 ， 所确
定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1， ， ，求 的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线 上，过点E作 ，作 ，点G在直线
上，作 的平分线 交 于点H，若 ， ，求 的度数，不用写出
计算过程．参考答案：
1．C
【分析】计算选项中的图形的周长即可．
解：A、该矩形的周长是2（6+10）=32（米），则园林师傅想用32米的篱笆能围成该形状的花圃．故
A不符合题意；
B、该图形的周长为2（6+10）=32（米），则园林师傅想用32米的篱笆能围成该形状的花圃．故B不
符合题意；
C、该图形的周长＞2（6+10）=32（米），则园林师傅想用32米的篱笆不能围成该形状的花圃．故C
符合题意；
D、该图形的周长为2（6+10）=32（米），则园林师傅想用32米的篱笆能围成该形状的花圃．故D不
符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了生活中的平移现象．平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
2．B
【分析】根据点到直线的距离，零指数幂，角的性质以及平行线的性质，对选项逐个判断即可．
解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；①错误，
一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；②错误，，则 或 ，解得 或 ，③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫作这点到直线的距离，④错误，
正确的个数为1，
故选：B
【点拨】此题考查了点到直线的距离，零指数幂，角的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌
握相关基础知识．
3．D
【分析】图1中， 是 的平分线， ，则 ，可证 ，进而可判断甲
组作法的正误；图2中， 、 分别为 、 的中点，则 是 的中位线， ，可得
，进而可判断乙组作法的正误．
解：图1中， 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴甲组作法正确；
图2中， 、 分别为 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴乙组作法正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了作角平分线，平行线的判定，中位线等知识．解题的关键在于明确作图过程．
4．D
解：（1）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意；
（2）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意；
（3）图中∠1和∠2不是同位角；故本项不符合题意；（4）图中∠1和∠2不是同位角；故本项不符合题意；
（5）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意．
图中是同位角的是（1）、（2）、（5）．
故选D．
点睛：本题考查了同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并
且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
5．D
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”，进行逐一判断即可求解．
解：A.因为 ， ，所以 ，所以 ，由“内错角相等，两
直线平行” ，可得 ，故此项不符合题意；
B.因为 且 ， ，所以 ，由A可得 ，故此项不符合
题意；
C.因为 且 ，所以 ，由“内错角相等，两直线平行” ，可得
，故此项不符合题意；
D.由 无法判断 ，故此项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键．
6．D
【分析】根据平行线的判定、对顶角相等逐项判断即可得．
解：A、 ，
，则此项不符合题意；
B、 ，
，则此项不符合题意；
C、由 不能判定 ，则此项不符合题意；
D、 ， ，
，
，则此项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
7．C
【分析】根据 得到 ，结合 ，代入计算即可，熟练掌握平行线性质和三角形外角性质是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
8．B
【分析】根据互补的两个角的和等于 ，以及 与 互补且相等可求 ， 再根据对顶角
相等求出 ，进一步即可得解
解：∵ 与 互补且相等，
与 是对顶角，
的一半是 ，
故选B
【点拨】本题考查了对顶角相等的性质，补角的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键
9．C
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点 在 上时，当点 在
延长线上时，两种情况种又分 当 时，当 时，过点 作 ，
证明 ，得到 ，再通过角之间的关系建立方程求解即可．
解：第一种情况：如图，当点 在 上时，过点 作 ，
∵ 由 平移得到，
，∵ ，，
，
，
当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
解得： ，
；
当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
解得： ，
；
第二种情况：当点 在 延长线上时，过点 作 ，
同理可得 ，
当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
解得： ，；
由于 ，则 这种情况不存在；
综上所述， 的度数可以为20度或40度或120度，
故选：C．
10．D
【分析】可求 ，由折叠得：在 处叠了 层，从而可得
，即可求解．
解： a是长方形纸带，
，
，
由折叠得：在 处叠了 层，
；
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
11．∠4与∠5,∠3与∠6
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
解：∵直线a、b被直线c所截，
∴互为同旁内角是∠4和∠5, ∠3与∠6．
故答案为∠4与∠5,∠3与∠6．
【点拨】本题主要考查了同旁内角的概念，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，
完全由那两个角在图形中的相对位置决定．
12．
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可得
， ，然后根据平行线的性质、翻折的性质可得 ，
，最后根据角的和差即可得．
解： 四边形ABCD是平行四边形， ，
，
，
，，
由翻折的性质得： ，
又 ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质等知识点，
熟练掌握平行四边形的性质和翻折的性质是解题关键．
13．垂直
【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可
得 ， 的位置关系．
解：∵在同平面内有2022条直线 ，若 ， ， ， ……
∴ 与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵ …1，
∴ 与 的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
【点拨】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．
14． 同位角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行 内错角相等，两直线平行或同
旁内角互补，两直线平行
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行去判定即可.
解： 小萱做法的依据是同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；
小冉做法的依据是内错角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；
故答案为：同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；内错角相等两直线平行或同旁内角互
补两直线平行；
【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常
考题型．15．
【分析】由平移的性质可知，AC＝DF＝6，AC∥DF，BE＝CF＝ ，设EC＝x，利用面积法求解即可．
解：由平移的性质可知，
AC＝DF＝6，AC∥DF，BE＝CF＝ ，
设EC＝x，
∵AC＝6，AG＝2，
∴CG＝4，
∵ ，
∴ ，
解得：x＝ ，
∴EC＝ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查平移的性质，用一元一次方程解决几何问题，解题的关键是学会利用面积法构建方
程解决问题．
16． ①② ③
解：条件：①②
结论：③
证明： 平分 ，
．
，
， ．
．（答案不唯一）
17． / 度
【分析】过 作 ，过 作 ，可得 ， ， ，
， ，即可求解．解：如图，过 作 ，过 作 ，
，
，
， ，
， ，
设 ， ，
， ，
和 分别平分 和 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
解得： ，
；
故答案： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
18．①②④
【分析】本题考查垂线、非负数性质、合并同类项和多项式等知识，理解和掌握非负数、同类项和垂
线性质是正确判断的前提．逐项进行判断即可．
解： 的意义是：数轴上表示数x的点到表示 和3的点的距离之和，
当 时，这个距离之和最小，最小值为 ，因此①正确；由关于x的二次多项式 的值与x的取值无关，则 ， ，因此
，所以②正确；
一条线垂直于两条直线中的一条，如果这两条直线不平行，则这条直线就不垂直于另一条，因此③不
正确；
在同一平面内，四条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点，即 ， ，有 ，
因此④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④
19． ，理由见分析
【分析】结合题意和图形可猜想 ，可在 中通过证明 两角互余来求得，
通过“∠ABC与∠ADC互补，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC”，很容易想到两角各取一半得到 ，再
根据平行线的性质进行角的等量代换即可解决.
解： ，
理由是：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题综合考查了两角互补，角平分线和平行线的性质等知识，在掌握各知识点的前提下，从问题出发倒推解决比较方便.
20．详见分析
【分析】根据平行线的判定方法，结合题意进行判定即可.
解：证明：∵ （已知），
∴（ ∥b）（内错角相等，两直线平行）.
∵（ ）（已知），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
∴（ ）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
【点拨】本题考查了平行线的判定方法，解决本题的关键是熟练掌握平行线的三种判定方法，即：同
位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行.
21．（1） 平分 ，理由见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）由 易得 ，证明 ，由 平分 易得 ，
从而 ，故 平分 ；
（2）证明 ， ，可得 ， ，再利用平行公理可得结论．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
（2）∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、平行公理的应用，垂直的性质，熟记平行公理
的含义是解本题的关键．
22．（1） ；两直线平行，内错角相等； ；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）
，理由见分析；（3） 或
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．（1）由平行线的性质可得 ， ，则有 ，即可得解；
（2）由平行线的性质得 ， ，则可求 得度数．
（3）根据平行线的性质分析，即可获得答案．
解：（1）∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∴ （等量代换），
∵ ，
∴ ．
故答案为： ；两直线平行，内错角相等； ；两直线平行，同位角相等；等量代换；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∵ ，
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∴ ；
（3） 或 ，理由如下：
如图 ， 的两边分别平行于 的两边时， ；
如图 ， 的两边分别平行于 的两边时， ．
23．（1）① ② ；（2）
【分析】本题考查了角的运算，角平分线，余角的定义，熟练掌握角的运算是解题的关键．
（1）①根据已知条件 ，可知 ，计算出答案；
②根据互余即可求出答案；
（2）根据角平分线的性质得到 ，即可得到答案．
（1）解：① ，射线OC在 的内部， ，
，
；
② 平分 ，∴ ，
，
与 互余，
，
，
，
由①得 ，
，
；
（2）解：如图，
， ，由（1）得 ，
，
平分 ，
，
．
24．（1） ；（2） ，理由见分析；（3）
【分析】（1）过点P作 ，根据平行线的性质得出 ，根据 ，求出
，根据 ，得出 最后求出结果即可；
（2）过点P作 ，根据平行线的性质得出 ，根据平行公理得出 ，求出
，根据 ，即可得出 ；
（3）根据 ， ，得出 ，根据平行线的性质得出
，设 ，则 ，，根据角平分线定义得出 ，根
据 即可得出结果．
解：（1）如图1所示，过点P作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
（2）结论： ；理由如下：
如图2，过点P作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，解
题的关键是熟练掌握平行线的性质，数形结合．
