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专题5.3 相交线与垂线（直通中考）（分层练习）
一、单选题
1．（2023·青海·统考中考真题）如图，直线 ， 相交于点O， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·统考中考真题）如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得
行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行4．（2022·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，
则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
5．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O， ， ，则
的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
6．（2021·北京·统考中考真题）如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的
大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，设点 是直线 外一点， ，垂足为点 ，点 是直
线 上的一个动点，连接 ，则（ ）A． B． C． D．
8．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·河北·统考中考真题）如图，在平面内作已知直线 的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
10．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线 ， 相交于点 ，如果 ，那么 是
（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·贵州毕节·统考中考真题）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，
点C到边AB所在直线的距离是（ ）A．线段CA的长度 B．线段CM的长度
C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
12．（2011·广西梧州·中考真题）如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数
为（ ）
A．120° B．130°
C．135° D．140°
13．（2011·河北·中考真题）如图，∠1＋∠2等于（ ）
A．60° B．90° C．110° D．180°
14．（2019下·七年级单元测试）已知：如图， ，垂足为O，则 与 的关系一定成立的
是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
15．（2021·陕西西安·统考二模）如图，直线 与 相交于点O， 与 互余， ，
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，直线l，l 相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝ °．
1 2
17．（2011·广西崇左·中考真题）如图，O是直线AB上一点，∠COB=30°，则∠1= .
18．（2012下·浙江台州·七年级阶段练习）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短
的是 ，理由 ．
19．（2023·四川成都·统考二模）如图，点O在直线AB上，点C，D在直线AB异侧， ．若
，则 的度数为 ．20．（2021·云南楚雄·统考二模）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=84°，则∠3= 度．
21．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图， 与 相交于点O， 是 的平分线，且
恰好平分 ，则 度．
22．（2020·吉林·统考中考真题）如图，某单位要在河岸 上建一个水泵房引水到 处，他们的做法是：
过点 作 于点 ，将水泵房建在了 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
23．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，点O在直线 上， ，则 的度数是
．
24．（2018·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则
∠BOC的度数为 ．25．（2020·四川南充·统考中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1= 度．
26．（2019·广东广州·统考中考真题）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，
PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.
27．（2015·广西梧州·统考中考真题）如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,
则∠AON的度数为 .
28．（2011·福建泉州·中考真题）如图，直线a、b相交于点O，若∠1=30°，则∠2=29．（2019·河南·校联考一模）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠BOC
＝ ．
30．（2018·七年级单元测试）如图，点B、O、D在同一直线上，且OB平分∠AOC，若∠COD＝
150°，则∠AOC的度数是 ．
三、解答题
31．（2019·山东青岛·统考一模）画图并填空：如图，请画出自A地经过B地去河边l的最短路线．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是 ．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是 ．32．（2017·江苏盐城·校联考三模）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．
①用含x的代数式表示∠EOF；
②求∠AOC的度数．
33．（2021下·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考期中）如图，直线 和 相交于 点，
， ， ，求 的度数.34．（2019·浙江杭州·校联考一模）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的
内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．
35．（2019·江西上饶·校考一模）如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥CO，OF平分∠AOE，且
OF在∠COE的内部．
（1）若∠COF＝15°，求∠BOD的度数．
（2）若∠BOD＝x°，则∠COF＝__________°（用含x的代数式表示）．36．（2021上·黑龙江绥化·七年级校考期末）在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数 °，
∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时
∠BON的度数为 °；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数
量关系是∠DOC ∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．参考答案：
1．A
【分析】根据邻补角可进行求解．
解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角是解题的关键．
2．B
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B
【点拨】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
3．A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
4．B
【分析】根据垂直的定义可得 ，根据平角的定义即可求解．
解： EO⊥CD，
，
，
．
故选：B ．
【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．
5．D
【分析】根据对顶角相等可得 ，之后根据 ，即可求出 ．解：由题可知 ，
，
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．
6．A
【分析】由题意易得 ， ，进而问题可求解．
解：∵点 在直线 上， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关
键．
7．C
【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．
解：根据点 是直线 外一点， ，垂足为点 ，
是垂线段，即连接直线外的点 与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点 与点 重合时有 ，
综上所述： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．
8．B
【分析】已知 ， ，根据邻补角定义即可求出 的度数．
解：∵
∴
∵
∴
故选：B
【点拨】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
9．D
【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂
线，可以画无数条．
解：在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【点拨】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．
10．A
【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．
故选：A．
【点拨】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解
题的关键．
11．C
【分析】根据点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度进行求解即可.
解：点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，
故选C.
【点拨】本题考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的概念是解题的关键.
12．C
解：试题分析：根据直线EO⊥CD，可知∠EOD=90°，根据AB平分∠EOD，可知∠AOD=45°，再根据邻
补角的定义即可求出∴∠BOD=180°-45°=135°
考点：垂线、角平分线的性质、邻补角定义．
13．B
解：根据平角的定义得到∠1+90°+∠2=180°，即由∠1+∠2=90°．
解：∵∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°．
故选B．
14．B【分析】根据垂直的性质及对顶角的性质，即可解答．
解： ，
，
，
，
与 两角互余．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直的性质及对顶角的性质，熟练掌握和运用垂直的性质及对顶角的性质是解决
本题的关键．
15．A
【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．
解：∵∠1与∠2互余，
∴ ，
∴ °，
∵ ，
∴ °，
∴ ．
故选：A
【点拨】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．
16．70
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠2＝∠1＝70°，
故答案为：70．
【点拨】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．
17．150°/150度
【分析】根据邻补角互补进行计算即可．
解：∵∠COB=30°，
∴∠1=180°-30°=150°．
故答案为150．
【点拨】本题考查了邻补角，掌握邻角互补是解题的关键．18．垂线段最短
【分析】根据垂线段最短进行解答即可．
解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵ ，
∴ 最短，
故答案为：垂线段最短．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂线段的性质．
19． /110度
【分析】根据 以及 得到 进而求出 的度数．
解：
故答案为：
【点拨】本题主要考查垂直以及平角的概念，熟练掌握垂直以及平角的概念是解此题的关键．
20．138
【分析】由对顶角相等，可得∠1＝42°，再根据邻补角和为180°可求∠3．
解：由图可知，∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＋∠2＝84°，
∴∠1＝42°，
∵由图可知，∠1与∠3是邻补角，
∴∠3＝180°−42°＝138°，
故答案为：138．
【点拨】此题主要考查了对顶角、邻补角，主要应用对顶角相等，邻补角和为180°这两个隐含条件解
题．
21．60
【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得 ，再根据对顶角相等即可得．
解：设 ，
是 的平分线，，
平分 ，
，
又 ，
，
解得 ，即 ，
由对顶角相等得： ，
故答案为：60．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关
键．
22．垂线段最短
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点拨】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
23．
【分析】根据补角的定义，进行计算即可.
解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵ ，
∴∠BOC=180°- = ，
故答案为： .
【点拨】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.
24．140°/140度
【分析】直接利用垂直的定义结合邻补角的定义分析得出答案．
解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为140°．
【点拨】此题主要考查了垂直的定义、邻补角的定义，正确把握相关定义是解题关键．25．38
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点拨】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
26．5
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
解：∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握是解题的关键.
27．145°
解：∵∠BOC+∠BOD＝180°， ∠ BOC=110°，
∴∠BOD=180°-110°=70°，
又∵ON平分∠ DOB，
∴∠ DON＝ ∠ DOB＝35°，
∵∠AOD=∠ BOC=110°，
∴∠AON=110°+35°=145°，
故答案是145°．
28．30°
因∠1和∠2是邻补角，且∠1=30°，由邻补角的定义可得∠2=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°．
解：∵∠1+∠2=180°，
又∠1=30°，
∴∠2=150°．
29．135°．
【分析】由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，根据角平分线的定义得到∠BOD= ∠BOE=45°，根据平
角的定义即可得到结论.解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD＝ ∠BOE＝45°，
∴∠COB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为135°．
【点拨】本题利用垂直的定义，对顶角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一
要点.
30．60°
【分析】根据互补得出∠COB，进而得出∠AOC的度数．
解：∵点B、O、D在同一直线上，∠COD=150°，
∴∠COB=180°-150°=30°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC=2×30°=60°，
故答案为：60°．
【点拨】此题主要考查了角平分线，关键是根据互补得出∠COB．
31．（1）图详见分析，两点之间，线段最短；（2）图详见分析，垂线段最短．
【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接AB，线段AB即为由A地到B地最短路线；
（2）根据垂线段最短，过点B作BD⊥l，垂足为点D，线段BD即为由B地到河边l的最短路线.
解：连接AB，过点B作BD⊥l，垂足为点D，自A地经过B地去河边l的最短路线，如图所示．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是两点之间，线段最短．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是垂线段最短．
【点拨】此题考查的是路径的最值问题，掌握两点之间，线段最短和垂线段最短是解决此题的关键.
32．（1）55°（2）① x②100°
【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE= ∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；
（2）①先证明∠AOE=∠COE= x°，然后由角平分线的定义可知∠FOE= x°；
②∠BOE=∠FOE-∠FOB可知∠BOE= x°-15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而
可求得∠AOC的度数．
解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，
∴∠FOB=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE= ∠BOD= ×70°=35°，
∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°；
（2）①∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=∠AOE=x°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF= x°；
②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，
∴∠BOE= x°-15°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∴ x°-15°+x°=180°，解得：x=130，
∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．
【点拨】本题考查对顶角，邻补角以及角平分线定义，主要考查学生的计算能力，熟练掌握角平分线
的定义是解题的关键．
33．
【分析】根据 ，得出 ，根据 ，可得 ,根据角的倍分关
系，可得∠ 的度数，根据 是邻补角，可得答案．解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握
相关知识是解题关键．
34．（1）见分析；（2） 36°
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，
并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形
成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进
行分析即可，进而画出图形即可；
（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．
解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
故x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3的度数为36°．
【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．35．（1）∠BOD＝60°；（2） .
【分析】（1）根据题意先求出∠AOC，再根据对顶角性质即可解答
（2）由（1）可知道∠COF =∠AOF－∠BOD，把值代入即可
解：（1）∵ CO⊥EO，∴ ∠COE＝90°．
∴ ∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－15°＝75°．
∵ OF平分∠AOE，∴ ∠AOF＝∠EOF＝75°，
∴ ∠AOC＝∠AOF－∠COF＝75°－15°＝60°，
∴ ∠BOD＝∠AOC＝60°．
（2）由（1）可知道∠AOF =75°，∠BOD＝∠AOC ，
∴∠COF =∠AOF－∠BOD =75°－x°．
【点拨】此题考查对顶角，难度不大
36．（1）120；150；（2）30°；（3）30°，＝．
【分析】（1）：根据补角性质∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，根据∠AOC=60°，利用补角性质求
出∠BOC=180°-∠AOC，利用两角的和可求∠CON；
（2）利用邻补角性质求出∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，根据角平分线定义求出
∠COM=∠MOB= ，利用余角性质求即可；
（3）根据邻补角∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，利用两角和求出∠AOM=120°，
再利用两角差求出∠AOD=30°，进而求出∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，利用对顶角性质即可得
出结论．
（1）解：∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°，
故答案为120；150；
（2）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∵OM平分∠BOC，∴∠COM=∠MOB= ，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°，
故答案为30°；
（3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°，
∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠DOC=∠BON．
故答案为＝．
【点拨】本题考查三角板中的角度计算，角平分线定义，邻补角性质，余角性质，对顶角性质，角的
和差，掌握三角板中的角度计算，角平分线定义，邻补角性质，余角性质，对顶角性质，角的和差是解题
关键．
