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专题 6-2 建模思想应用的常见类型归类（考题猜想，五种类型）
类型1：建立方程模型求几何图形面积
【例题1】（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片 分别沿 、 折叠，若 、 两
点恰好都落在对角线的交点 上，下列说法：①四边形 为菱形，② ，③若 ，则
四边形 的面积为 ，④ ，其中正确的说法有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据折叠性质可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，
∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，进而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°， 可证明AE∥CF，
AE=CE，根据矩形性质可得CE∥AF，即可得四边形AECF是平行四边形，进而可得四边形AECF为菱形，
由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，
即可得OE的长，根据菱形的面积公式即可求出四边形AECF的面积，根据含30°角的直角三角形的性质即
可求出AB：BC的值，综上即可得答案．
【详解】解：∵将矩形纸片 分别沿 、 折叠，若 、 两点恰好都落在对角线的交点 上，
∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，
∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，
∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，
∴AE∥CF，AE=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
∵∠BAE=30°，∠B=90°，
∴∠AEB=60°，
∴∠AEC=120°，故②正确；
设BE=x，
∵∠BAE=30°
，∴AE=2x，
∴x2+22=（2x）2，解得 ，
∴OE+BE= ，
∴S AECF= ，故③正确；
菱形
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴BC= ，
∴AB：BC=1： ，故④错误；
综上，正确的结论为①②③．
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质
及判定方法是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉叠放，使一组
对角的顶点重合，其重叠部分是四边形 ．则四边形 的面积是 ．【答案】
【分析】根据矩形的性质可得四边形 是平行四边形，通过证明 可得四边形
是菱形，设 ，则 ，在 中， ，即
，求出 的值，再用菱形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解： 四边形 、 都是矩形，且两个矩形全等，
， ， ，
四边形 是平行四边形，
在 和 中，
，
,
，
四边形 是菱形，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、
勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，是
解题的关键
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练应用矩形的性质，辅助线的作法是解题关键
【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形 中，若 ，
，则四边形 是“筝形”．
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形” ，要求点 是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形 中， ， ，“筝形” 的顶点 是 的中点，点 ， ，
分别在 ， ， 上，且 ，求对角线 的长；
【拓展思考】（3）如图3，在“筝形” 中， ， ， ， 、 分别是 、
上的点， 平分 ， ， ，求“筝形” 的面积．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）根据“筝形”的定义，结合网格性质画图即可；
（2）分 ， 两种情况，画出图形，分别求解；
（3）过A作 ，证明 ，得到 ， ，再证明
，从而说明四边形 是正方形，设 ，表示出相应边，在 中，
利用勾股定理列出方程，求出 ，再计算面积．
【详解】解：（1）如图，四边形 即为所求；
（2）如图，当 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，又 ， ，∴四边形 为矩形．
∴ ．
∵ ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
如图，当 时，连结 ， ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ．
综上所述， 或 ．
（3）如图，过A作 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ，
， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线
的判定等知识，有一定综合性和拓展性，通过新图形“筝形”关联所学知识点，能够更好地体现知识点的
应用
【变式3】．（23-24八年级下·福建福州·期中）【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形 中，点 是 的中点，将正方形
沿 折叠，得到点 的对应点为 ，延长 交线段 于点 ，连接 ．求 的度数．
【实践探究】
（2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形 的边长为6，点 ， 分别在
， 上，连接 ， ， ．若 ， ，求 的长．
【拓展迁移】
（3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③， 是 的高， ，若 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） 的长为3；（3）
【分析】此题是四边形综合题目，考查了折叠性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）证明 ，得出 ，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，得出 ，
由勾股定理可得出答案；
（3）将 沿 和翻折得到 ， 沿 翻折得到 ，延长 ， 交于点 ，证明
四边形 是正方形，得出 ，设 ，则 ， ，
由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）由折叠可得： ， ， ．
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
，
，
；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，
则 ，
，
，
， ，
，
，，
，
设 ，则 ，
，
，
在 中， ，
，
，
的长为3．
（3）将 沿 翻折得到 ， 沿 翻折得到 ，延长 ， 交于点 ，
， ， ， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
．
类型2：建立几何模型解释生活中的现象
【例题2】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这
时 为 ．如果梯子的顶端 沿墙下滑 ，那么梯子底端 往外移（ ） ．A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，在 中，利用勾股定理得到 长，在 中，利用勾股
定理得到 长，作差即可得到答案，数形结合，利用勾股定理求出线段长是解决问题的关键．
【详解】解：在 中， ， ， ，
则由勾股定理可得 ；
在 中， ， ， ，
则由勾股定理可得 ；
梯子底端 往外移 ，
故选：B
【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）学习了勾股定理之后，一天小明看着操场上的旗杆陷入了深
思，有没有办法利用勾股定理测量旗杆的高度呢？通过观察，小明发现系在旗杆顶端的绳子垂下来距离地
面 米，如图（1），于是他将绳子拉开一段距离至点 ，测得绳端到旗杆的水平距离为 米，到地面的
垂直距离为 米，如图（2），则该旗杆的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，旗杆、拉直的绳子与水平线构成直角三角形，根据题中数据，用
勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，依题意得： 为直角三角形，四边形 为矩形， ，
设绳长 为 ，旗杆 的长度为 m，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，∴旗杆的高度为 ，
故答案为
【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高 ，一棵高 ，两树之间相距 ，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树 ，过点C作
于E，由平行线间间距相等得到 ， ，进而求出 ，
则由勾股定理可得 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，设树 ，
过点C作 于E，
由题意得， ，
∴ ，
∴ （平行线间间距相等），
同理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米．
【变式3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图在平静的湖面上，有一支红莲 ，高出水面的部分
为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即 ），已知红莲移动的水平距离 为3
米，则湖水深 为多少？【答案】 米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出
，进而求出答案．
【详解】解：设 为 米，
∵在 中， ， ， ，
∴由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴湖水深 为 米
类型3：建立特殊四边形的模型探寻条件
【例题3】（19-20八年级下·浙江杭州·期末）已知：E、F、G、H分别为四边形 四边中点，顺次连
接 、 、 、 得到四边形 ，我们把这种四边形叫做中点四边形．有下列说法：①四边形
是平行四边形；②当四边形 为平行四边形时，四边形 是菱形；③当四边形 为矩
形时，四边形 是菱形；④当 时，四边形 是矩形；⑤若四边形 是正方形，则
四边形 一定是正方形．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
【答案】A
【分析】连接BD、AC，利用中位线的性质得到EH=FG，EF=HG，可判断①；再根据一组邻边相等的平
行四边形是菱形判断②和③；利用中位线的性质得到EF∥BD，EH∥AC，结合AC⊥BD可得EF⊥EH，可
判断④；根据正方形的性质得到BD=AC，BD⊥AC，但不能判定四边形ABCD是正方形，可判断⑤．
【详解】解：连接BD、AC，∵E、H分别为AD，CD中点，
∴EH= AC，
同理，FG= AC，EF= BD，HG= BD，
∴EH=FG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；
当四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
而当四边形ABCD是平行四边形时，
不能得出EH=EF，
故②错误，③正确；
当AC⊥BD时，
∵E、F、H分别为AD、AB、CD中点，
∴EF BD， ，
∴EF⊥EH，即∠FEH =90°，
∴四边形EFGH是矩形，故④正确；
∵EF=GH= BD，EH=FG= AC，四边形EFGH是正方形，
∴EF=GH=EH=FG，EF⊥EH，
∴BD=AC，BD⊥AC，
不能说明四边形ABCD是正方形，故⑤错误；
故选A．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线的性质，平行四边形，矩形，正方形的性质和
判定，解本题的关键是判断四边形EFGH是平行四边形
【变式1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形 边 、 、
、 的中点，下列说法；①若 ，则四边形 为矩形：②若 ，则四边形
为菱形；③若四边形 是平行四边形，则 与 互相平分；④若四边形 是正方形，则
与 互相垂直且相等．
其中正确的个数有 个【答案】1
【分析】先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 时，中点四边形是菱形，当对
角线 时，中点四边形是矩形，当对角线 ，且 时，中点四边形是正方形，再逐
一分析各选项即可．
【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形 边边 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
①当 时，则 ， 则四边形 为菱形，①说法错误；
②当 时，则 ， 则四边形 为矩形，②说法错误；
③四边形 一定是平行四边形， 与 不一定互相平分，③说法错误；
④当四边形 是正方形时， 与 互相垂直且相等，④说法正确；
故答案为：1．
【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的
中点四边形是平行四边形，当对角线 时，中点四边形是菱形，当对角线 时，中点四边形
是矩形，当对角线 ，且 时，中点四边形是正方形
【变式2】（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直
线 的两侧，且 ， ， .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ．
①连接 ，当 时，请直接写出四边形 的形状，并求 的长度；
②当 的长为__________时，四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①四边形 是矩形， ；②3【分析】（1）证明 ，推出 ， ，进而得到 ，由此得到结
论；
（2）①根据对角线相等的平行四边形是矩形判定形状，在 中，由勾股定理求出 的长度；
②根据菱形的性质得到 ，推出 是等边三角形，得到 ，由此求出 ．
【详解】（1）解：证明：在 和 中，
， ， ，
，
， ，
又 ， ，
，
∴ ，
四边形 是平行四边形；
（2）①∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形；
， ，
，
在 中， ，
， ，
∴ ；
②∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，矩形
的判定和性质，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键
【变式3】（22-23八年级下·山西朔州·期中）阅读下列材料，完成相应任务．阅读材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点
依次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．
结合小敏的思路作答：
任务一：若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形 还是平行四边形吗？说明理由，
参考小敏思考问题的方法解决问题．
任务二：如图1，在阅读材料的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么条件时，四边形
是菱形，写出结论并证明；
任务三：如图2，在任务一的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么条件时，四边形 是
矩形，直接写出结论．
【答案】①见解析；②当 时，四边形 是菱形，理由见解析；③当 时，四边形
是矩形，理由见解析；
【分析】①根据中位线的定理得到 ， ，再根据平行四边形的判定即可解答；②根据中
位线定理即平行四边形的判定得到四边形 是平行四边形，再根据中位线定理菱形的判定即可解答；
③根据中位线定理即平行四边形的判定得到四边形 是平行四边形，再根据中位线定理矩形的判定即
可解答；
【详解】解：①连接 ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ， ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ， ，∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
②连接 ，当 时，四边形 是菱形，理由如下：
∵ 分别是 的中点，
∴ ， ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
③连接 ，当 时，四边形 是矩形，理由如下：
∵ 分别是 的中点，
∴ ， ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
【点睛】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握中位线定理是解题
的关键
类型4：建立函数模型解图像信息的应用
【例题4】（22-23八年级下·四川泸州·期末）甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度
与挖掘时间 之间的关系如图所示，以下信息一定正确的有（ ）
①甲队挖掘 时，用了 ；
②开挖 时，甲队比乙队多挖掘 ；
③乙队从开挖 后到 之间，每小时挖掘5米；
④开挖后 ，甲、乙两队所挖河渠长度相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得甲队的速度为 ，乙队从开挖
后到 之间，每小时挖掘5米，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，开挖 ，甲队一共挖了 ，
∴甲队的速度为 ，∴甲队挖掘 时，用了 ，故①正确；
由函数图象可知，开挖 时，甲队挖了 ，乙队挖了 ，则甲队比乙队多挖掘 ，故②正确；
由函数图象可知乙队从开挖 后到 之间，在 内挖了 ，则每小时挖掘5米，故③正确；
开挖后 ，甲队挖了 ，乙队挖了 ，则开挖后 ，甲、乙两队所挖河渠长
度相等，故④正确；
故选；D
【变式1】（22-23八年级下·福建宁德·期中）如图，甲、乙两辆摩托车从相距 的A，B两地同时相向
而行， 分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离 与行驶时问 之间的函数关系．下列结论
正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①乙摩托车行驶的速度是 ；
②当 时，甲车的行驶路程超过 ；
③当 时，甲摩托车离A地的距离小于乙摩托车离A地的距离；
④甲、乙两车相距不超过 时， ．
【答案】①②④
【分析】先求出甲乙的速度，再逐项分析即可．
【详解】由图可得，甲摩托车行驶的速度是 ,
乙摩托车行驶的速度是 ，故①正确；
当 时，甲车的行驶路程超过 ，故②正确；
当 时，甲摩托车离A地的距离 ，乙摩托车离A地的距离 ，即甲摩托车
离A地的距离等于乙摩托车离A地的距离；
由图可得，当 时，甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离；故③错误；
设 小时时甲、乙两车相距为 ，则 ，解得 或 ，
故甲、乙两车相距不超过 时， ，故④正确；综上，结论正确的是①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图获取必要的信息
是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）小林同学从家出发，步行到离家 米的公园散步，速度为
米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离 （米）（分钟）的函数关系如图所示．
(1)a=______；
(2)求CD所在直线的函数表达式；
(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【答案】(1)
(2)
(3) 分钟
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟悉掌握一次函数的
图象性质是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间运算求解即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）利用待定系数法求出弟弟的函数表达式，再联立哥哥的函数表达式求出交点即可．
【详解】（1）解：由图象可得，小林家与公园之间的路程为：12×50=600 （米）；
（2）解：设哥哥返回家的过程中 与 之间的函数关系式是 ，
∵哥哥单程的时间为： ，
∴ ， ，
所以把点 和 代入 得：
∴ ，
解得： ，
即哥哥返回家的过程中 与 之间的函数关系式是 ；
（3）解：设弟弟从家出发过程中 与 之间的函数关系式是 ，由图可得： ，
∴把 代入 可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴联立 可得： ，
解得： ，
∴小林出发 分钟后与哥哥第二次相遇
【变式3】（2023八年级下·上海·专题练习）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分
的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行
驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1) ， ， ；
(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
【答案】(1)10，15，200
(2)小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
(3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发 分钟和20分钟时与小军相距100米．
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据时间 路程 速度，即可求出 值，结合休息的时间为5分钟，即可得出 值，再根据速度 路
程 时间，即可求出 的值；
（2）根据数量关系找出线段 、 所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程
组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即
可得出 的值，即可得出结论；
准确分析图中的数量关系，利用数形结合解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： (分钟)，
(分钟)，
(米 分)．
故答案为：10；15；200．
（2）线段 所在直线的函数解析式为 ；线段 所在的直线的函数解析式为 ．
联立两函数解析式成方程组，
，解得： ，
(米 ．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）根据题意得： ，
解得： ， ．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发 分钟和20分钟时与小军相距100米
类型5：建立方程（组）模型、不等式模型和函数模型解实际应用问题
【例题5】（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查：当还未
开始挂号时，有N个人已经在排队挂号，开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是
每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则
15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗
口至少应有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【分析】根据题意，构造关于M，N的方程组，表示M，N，K的关系，进而由10分钟后不出现排队现象，
可得不等式，由此可得结论．
【详解】解：由题意可得： ，解得 ，
∴设若要求8分钟后不出现排队现象，
则需要同时开放的窗口应有n个，则 ，
即 ，
解得 ，
故至少同时开放4个窗口才能满足要求．
故选：A．
【点睛】此题考查了进行简单的合情推理，列出满足题意的方程组及不等式是解本题的关键
【变式1】（21-22八年级下·福建龙岩·期末）若一次函数 的图像经过点 和 ，
当 时，则 的取值范围为 ．
【答案】−4＜a＜1
【分析】根据图像经过点（m，n）和（m＋1，2n−4），可得方程组，就可以得到a＝n−4，根据n的范围可求出a的取值范围．
【详解】解：∵一次函数y＝ax＋b的图像经过点（m，n）和（m＋1，2n−4），
∴ ，
∴a＝n−4，
∵0＜n＜5，
∴−4＜n−4＜1，
∴−4＜a＜1．
故答案为：−4＜a＜1．
【点睛】本题主要考查了一次函数与方程组的关系，整体思想和不等式的性质，关键是列方程组和整体思
想的应用
【变式2】（22-23八年级上·河北保定·开学考试）小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖．经过多方调查，
仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰
品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．
(1)请求出A，B两款饰品的进价分别是多少？
(2)小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他有
哪几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用为多少？
【答案】(1)A款饰品的进价是15元，B款饰品的进价是20元
(2)购进62个A款饰品，38个B款饰品费用最低，最低费用为1690元
【分析】（1）根据“购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4
个共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A款饰品，则购进 个B款饰品，先根据总费用 两种饰品费用之和列出函数解
析式，再根据“购进A款饰品最多62个，且所需费用不多于1700元”，即可得出关于m的一元一次不等
式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；然后再根据函数的性质求
最值．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得： ，
答：A款饰品的进价是15元，B款饰品的进价是20元；
（2）解：设购进m个A款饰品，则购进 个B款饰品，所需费用为w元，
依题意得： ，
∵ ，
解得： ．
又∵m为正整数，∴m可以为60，61，62，
∴小李一共有3种进货方案，
方案1：购进60个A款饰品，40个B款饰品；
方案2：购进61个A款饰品，39个B款饰品；
方案3：购进62个A款饰品，38个B款饰品；
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴当 时，w最小，最小值为1690，
∴购进62个A款饰品，38个B款饰品费用最低，最低费用为1690元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解
析式和一元一次不等式组
【变式3】（22-23八年级下·福建漳州·期中）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润共1000元，销售
2台A型和1台B型电脑的利润共1100元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不少于A型电脑的 ，设购进A
型电脑m台，这100台电脑的销售总利润为P元．
①求P关于m的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大总利润是多少？
【答案】(1)每台A型电脑利润400元，每台B型电脑利润300元
(2)① ；②当购进A型电脑57台，B型电脑43台时，利润最大为35700元
【分析】（1）明确等量关系，建立二元一次方程组求解；
（2）根据总利润、单件利润、商品数量之间的关系，建立函数关系式；根据题意，建立不等式求解；根
据一次函数的性质求解最大值．
【详解】（1）解：设每台A型电脑利润a元，每台B型电脑利润b元，得
解得，
答：每台A型电脑利润400元，每台B型电脑利润300元；
（2）
∴
∵∴当 时， （元）．
答：当购进A型电脑57台，B型电脑43台时，利润最大为35700元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；理解数量关系，构
建方程组、不等式是解题的关键
