文档内容
专题6.12 实数（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·江苏徐州·八年级统考期末）下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2022上·广东河源·八年级统考期中）已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，则 的平方根是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正
方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ）A．2 B．3 C． D．4
7．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）实数 、 在数轴上的位置如图，则化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．0
8．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）设 表示最接近x的整数（ ，n为整数），则
（ ）
A．32 B．46 C．64 D．65
9．（2022·安徽·模拟预测）已知 ， ， ， ，若 为整数且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，
下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为 ；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y．④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（
）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·西藏昌都·七年级统考期末） 的平方根是 ， 的绝对值是
．
12．（2024·全国·八年级竞赛）已知 ，则 ．
13．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末） 的立方根的相反数是 ．
14．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）若 ，则 .
15．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）比较大小： ．（填“ ”或“ ”或“
”）
16．（2023下·四川广元·七年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，…，则按此规律可推得这一列数中的第 个数是 ．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如果 （其中 ， 为有理数， 为无理数），
那么 且 ．若 （其中 ， 为有理数），则 的值是 ．
18．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内
在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形 的顶点A在数轴上，且点A表示
的数为1，若点 在数轴上（点 在点A左侧），且 ，则点 所表示的数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2018下·河南周口·七年级统考期中）解方程：
（1） （2）
20．（8分）（2018下·贵州黔西·七年级校考期中）计算：
．
21．（10分）（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）求值
（1）已知 的算术平方根是 的立方根是2，求 的值；
（2）已知一个正数 的两个平方根分别是 和 ，求 的值．
22．（10分）（2018下·安徽六安·七年级阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们
不可能全部地写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，请解答：
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（2）已知：10+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．23．（10分）（2023下·山东济宁·七年级统考期中）（1）计算： ______， ______；
______， ______；
（2）请根据（1）中的规律进行计算：
① ；② ；
（3）已知 ， ，用含 ， 的式子表示 ．
24．（12分）（2023下·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）综合与实践
【问题发现】如图1，把两个面积都为 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形
拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 cm．
【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是 ，设这个圆的周长为 ，这个正方形的周长为
，则 （填“＝”或“ ”或“ ”）．
【拓展延伸】李明想用一块面积为 的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向裁出一块面积
为 的长方形纸片，使它的长宽之比为 ．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义：“无限不循环小数、根号开不尽的数”是
解题的关键，根据无理数的定义逐一判断即可得到答案．解：A、 ，是有理数，此选项不符合题意；
B、 是无理数，此选项符合题意；
C、 为有限小数，是有理数，此选项不符合题意；
D、 为分数，是有理数，此选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】根据算术平方根的性质 ，立方根的性质 判断．
解：∵ ，
∴ ，
那么绝对值最大的数是 ；
故选：D．
【点拨】本题考查算术平方根、立方根的性质；掌握性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据小数点的运动规律，被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相
应的向左或右移动一位．
解：被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位，
∴A、B错误；
，D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了算术平方根以及小数点的移动规律，理解被开方数的小数点每向左或右移动两位，
算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位是关键．
4．C
【解析】略
5．C
【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的意义进行求解即可得到答案．解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项正确，符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点拨】此题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出
阴影部分的面积即可得到答案．
解：阴影部分 ，
它的边长是 ．
故选C．
7．B
【分析】由题意知， ，则 ，根据 ，计算
求解即可．
解：由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，求一个数的立方根，求一个数的算术平方
根．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．D
【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据 、 、 、 的取值，判断
最接近x的整数为多少，最后将这些数相加即可．解： ，即有2个1；
，即有4个2；
，即有6个3；
，即有8个4；
则剩余1个数为5．
故 ．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了无理数的估算，估算无理数的大小即可解答，掌握无理数的估算方法是解题的关
键．
解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
则 ，
故选： ．
10．D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解．
解：①x的值不唯一． 或 或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时， ，即 ，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入 ，算术平方根式是 ，
输出的y值为 ，故③说法错误；
④当 时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．11． /
【分析】先计算 ，再求平方根，根据 ，即可求得 的绝对值．
解：∵
∴ 的平方根是 ，
的绝对值是 ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了求一个数的平方根，实数的性质，无理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关
键．
12．
【分析】本题考查了非负性得性质，代数式求值，立方根，正确求出m、n的值是解此题的关键；
根据非负性求出m、n的值，然后代入计算求出立方根即可．
解： ，
，
即 ，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
13．
【分析】先求64的算术平方根，再开立方，可得立方根，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可
得答案．
解： ， 的立方根是 ， 的相反数是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求算术平方根，立方根，相反数，掌握相关概念是解决问题的关键．14． /
【分析】由题意知， ， ，解得， ， ，然后代入求值即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
解得， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，分式有意义的条件，算术平方根的非负性，有理数的乘方，代
数式求值．熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，分式有意义的条件是解题的关键．
15．
【分析】此题考查了无理数的估算，实数的大小比较能力，估算 ， ， ，是
解决问题的关键．
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方
根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．
解： 一列实数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…
这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
这一列数中的第 个数应是 ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
17．
【分析】本题考查实数的运算，由 （其中 ， 为有理数），求得 ， 的值，
然后将其代入 中计算即可．结合已知条件求得 ， 的值是解题的关键．也考查了求代数式的值．
解：∵ （其中 ， 为有理数），
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到 ，再结合 ，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后
确定点E表示的数即可．
解：∵正方形的面积为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点A表示的数为1，若点 在数轴上（点 在点A左侧），
∴点E所表示的数为： ．
故答案为： ．19．（1）x =6;x =-2；（2）x=-
1 2
解：【分析】（1）变形后根据平方根的定义进行求解即可得；
（2）移项后利用立方根的定义进行求解即可得.
解：（1） ，
（x-2）2=16 ，
∴x-2=± =±4，
∴x =6，x =-2；
1 2
（2） ，
（x+1）3= ，
∴x+1= = ，
∴x=- .
【点拨】本题考查了利用平方根的定义、立方根的定义解方程，熟记平方根的定义、立方根的定义是
解题的关键.
20． ； ．
分析：（1）先计算算术平方根和立方根，再合并可得；
（2）先化简，再合并可得．
解：（1）原式=2﹣（﹣2）+5 =2+2+5=9；
（2）原式=5+ ﹣2﹣ =3．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
21．（1） ；（2）x的值为9
【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值,再求得 的值；
（2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值．（1）解：由题意可得： ，
解得： ；
∴
（2）由题意可得： ，
解得： ，
∴x的值为9．
【点拨】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是
解题关键．
22．（1）1 （2） -12
分析：（1）先估计 、 的近似值，然后判断 的小数部分a， 的整数部分b，最后将a、b
的值代入 并求值；
（2）先估计 的近似值，然后判断 的整数部分并求得x、y的值，最后求x﹣y的相反数．
解：∵4＜5＜9，∴2＜ ＜3，∴ 的小数部分a= ﹣2 ①
∵9＜13＜16，∴3＜ ＜4，∴ 的整数部分为b=3 ②
把①②代入 ，得：
﹣2+3 =1，即 ．
（2）∵1＜3＜4，∴1＜ ＜2，∴ 的整数部分是1、小数部分是 ，∴10+ =10+1+（
=11+（ ）．
又∵ ，∴11+（ ）=x+y．又∵x是整数，且0＜y＜1，∴x=11，y= ；
∴x﹣y=11﹣（ ）=12﹣ ，∴x﹣y的相反数y﹣x=﹣（x﹣y）= ．
【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计
算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用
方法．
23．（1）6，6，20，20；（2）①25，②4；（3）
【分析】（1）根据算术平方根的定义直接计算得出即可；
（2）利用（1）的规律计算即可；
（3）利用（1）的规律计算即可．
解：（1） ，
，
，
；
（2）根据（1）的计算，发现 ．
∴① ，
② ；
（3）∵ ， ，
∴
．
【点拨】本题考查了数字变化规律，算术平方根的定义等知识，找出规律是解题关键．
24．【问题发现】 ；【知识迁移】 ；【拓展延伸】能，理由见分析
【分析】【问题发现】根据大正方形的面积为 ，由算术平方根即可求得正方形的边长；
【知识迁移】分别求出圆的半径、正方形的边长，即可求出它们的周长，比较即可；
【拓展延伸】设长方形的长、宽分别为 ，由面积关系建立方程即可求得x的值，再把长方
形的长与正方形的边长比较即可作出判断．
解：【问题发现】
由题意得大正方形的面积为 ，则其边长为 ；
故答案为： ；
【知识迁移】设圆的半径为r，则有 ，解得： ，则 ；
设正方形的边长为a，则 ，解得： ，则 ；
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
【拓展延伸】能，理由如下：
设长方形的长、宽分别为 ，则 ，
解得： ，
∵ ， ，
∴李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点拨】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键．
