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专题7.15 平面直角坐标系中的几何问题（面积问题）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（19·20七年级下·广西·期末）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C
（－4，4），则三角形ABC 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
2．（22·23八年级上·河北承德·期中）已知 和点 两点，则直线 与坐标轴围成的三角形
的面积等于10，则 的值是（ ）
A． B．4 C． D．
3．（21·22七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知： ， ， ，求△AOE
的面积（ ）
A．3.5 B．2.5 C．6 D．7
4．（21·22七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组
成的， ， 是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（ ）A．1 B． C． D．
5．（22·23七年级下·湖北武汉·期中）如图在平而直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，
则三角形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（23·24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点 ， ，点 在 轴上，且三角形 的
面积是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．（2018·河北张家口·一模）如图，正方形OABC对角线交点为D，过D的直线分别交AB，OC于E，
F，已知点E关于y轴的对称点坐标为（﹣ ，2），则图中阴影部分的面积是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
8．（19·20七年级下·北京大兴·期末）已知点 ， ，点 在 轴上，且三角形 的面积是
3，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．（2020八年级上·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中 的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
10．（22·23八年级上·河南郑州·期中）如图， 、 、 、 ，点P在x轴上，
直线 将四边形 面积分成 两部分，求 的长度（ ）．
A． B． C． D． 或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（15·16八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，A，B两点的坐标分别是 ，则
的面积是 ．12．（23·24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，
点在第四象限，线段 轴，且 ．在第二象限有点 ．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当四边形 的面积与三角形 的面积相等时，m的值为 ．
13．（22·23七年级下·山西临汾·期中）如图， ， ， ， ，点P在x轴上，
直线 平分四边形 的面积，则 的长为 ．
14．（21·22七年级下·湖北咸宁·期末）平面直角坐标系 中，点 ，点C在y轴上，
若 的面积是2，则点C的坐标为 ．
15．（21·22七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在
坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为．
16．（23·24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知
三点，其中m，n满足关系式 ．若在第二象限内有一点
，使四边形 的面积与三角形 的面积之比为 ，则点P的坐标为 ．
17．（22·23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中， ， ， ，则三角
形 的面积是______．
18．（22·23八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x
轴正半轴上， ， ，点C是第一象限内一点且 轴，将线段 经过一定的平移得到线段
，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接 ， ，点P为y轴上一动点，当
时，点P的坐标为 ．（注： 表示 的面积）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（22·23七年级下·湖南长沙·期末）在边长为 的正方形网格中建立平面直角坐标系，
位置如图．（1）请写出 ， ， 三点的坐标；
（2）将 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 ，请在图中作出平移后的
三角形，并写出点 的坐标；
（3）求出 的面积．
20．（8分）（20·21七年级下·黑龙江黑河·期末）如图写出在边长为1的单元方格中 各顶点的
坐标且求出此三角形的面积．
21．（10分）（23·24八年级上·甘肃兰州·期中）坐标平面内有4个点： ， ， ，
．（1）建立坐标系，描出这4个点，顺次连接A，B，C，D，组成四边形 ；
（2）求四边形 的面积．
22．（10分）（21·22八年级上·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标
为点 ，点 ．
（1） 的面积为 ；
（2）点C坐标为 ， 的面积等于 的面积的一半，则m的值为 ．
23．（10分）（21·22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，
线段 两端点在坐标轴上且点 ，点 ，将 向右平移4个单位长度至 的位置．
（1）直接写出点C的坐标______；
（2）如图2，过点C作 轴于点D，在x轴正半轴有一点 ，过点E作x轴的垂线，在垂线
上有一动点P，求三角形 的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，当 的面积为 时，求点P的坐标．24．（12分）（2024七年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，
， ．
（1）如图①，则三角形 的面积为 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形 的面积；
②点 是一动点，若 的面积等于 的面积．请直接写出点P坐标．
参考答案：
1．C
【分析】作CD⊥x轴于D，分别求出AB=6，CD=4，根据三角形面积公式即可求解.
解：如图，作CD⊥x轴于D，
由图形得AB=6，
∵点C坐标为（－4，4），CD⊥x轴于D，∴CD=4，
∴ .
故选：C
【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，理解平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题关键.
2．C
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．
解：假设直角坐标系的原点为O，则直线 与坐标轴围成的三角形是以 、 为直角边的直角三
角形，
∵ 和点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为
定值的点有2个．
3．A
【分析】根据点的坐标，求得 ，根据 进行计算即可
求解．
解： ， ， ，， ，
则
故选A
【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
4．A
【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程 并求解即
可．
解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，
则有 ，
即 ，解得 ．
故选：A．【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．
5．A
【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．
解：如图所示，过点 作 轴，过点 分别作 垂直于 ，垂足为点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，则
∴三角形 的面积是
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
6．D
【分析】根据三角形的面积求出 的长，再分点 在点 的左边与右边两种情况讨论求解．
解： 点 ，
，
解得 ，
若点 在点 的左边，则 ，此时，点 的坐标为 ，
若点 在点 的右边，则 ，
此时，点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
7．B
解：试题解析：由“E关于y轴的对称点坐标为（- ，2）”，可得出点E的坐标为（ ，2），根据
ABCO是正方形，那么A点坐标为（0，2），B点坐标为（2，2），C点坐标为（2，0）．
∵AB∥OC，
∴∠BAC=∠OCA，
又∵DA=DC，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴S =S ，
ADE CDF
△ △
∴阴影部分的面积=三角形OCB的面积，即为：2×2÷2=2．
故选B．
8．D
【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．
解：∵点B（0，2），
∴S = AP×2=3，
PAB
△
解得AP=3，若点P在点A的左边，则OP=AP-OA=3-1=2，如图，
此时，点P的坐标为（-2，0），
过点P在点A的右边，则OP=AP+OA=3+1=4，
此时，点P的坐标为（4，0），
综上所述，点P的坐标为（4，0）或（-2，0），
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
9．B
【分析】根据图形可知，OA=2，BC=4，再由三角形的面积公式，即可求出答案．
解：由图可知，
， ，
∴ ；
故选：B．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中，两点之间的距离，解题的关键正确求出BC和OA的长度．
10．B
【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出 的面积，再求出 的值，进而可得
的值．
解：作 轴于点P，∵ 、 、 、 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
①当 即 时，
即 ，解得： ，
∴ ；
②当 即 时，
即 ，解得： ，
∴ ；
综上可知 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规
则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．
11．2
【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积的求法，根据点的坐标得出三角形的高和底的长
是解题的关键．
解： ，
故答案为： ．
12．【分析】本题考查坐标与图形、解一元一次方程．
（1）直接根据点C的位置写坐标；
（2）根据题中等量关系解关于m的方程即可解答．
解：（1）由图可知，点C的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）由图可知， ， ，
四边形 的面积为 ；
∵四边形 的面积与三角形 的面积相等，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
13．3
【分析】作 轴，根据四边形 的面积 求得四边形的面积，设点
，则 ，由直线 平分四边形 的面积列出方程求解可得．
解：过点C作 轴于点E，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积
，设点 ，
则 ，
∵直线 平分四边形 的面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点拨】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出
方程是解题的关键．
14． 或
【分析】设C点坐标为（0，t），利用三角形面积公式得到 ×2×|t|=2，然后解方程求出t，从而得到
C点坐标．
解：设C点坐标为（0， t），
∵点A（-3，0），B（-1，0），
∴ AB= -1-（-3） = 2，
∵△ABC的面积是2，
×2×|t|=2，
解得t = 2或t= -2，
∴C点坐标为（0， 2）或（0， -2）．
故答案为：（0， 2）或（0，-2）．
【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S= ×底×高，
也考查了坐标与图形性质，利用数形结合思想是解题的关键．
15．（1，0），（﹣1，0），（0，﹣2）
【分析】根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根
据三角形的面积公式列式，进而求得OC，得出点C的坐标．解：根据题意可知三角形AOB面积S AOB= ×OB×|x | = ×2×2=2，
A
△
当点C在x轴上时，
∵S AOC=S AOB，
△ △
∴ ×OC×|y | = ×OC×4=2，
A
解得OC=1，
∴点C的坐标为（1，0），（-1，0）；
当点C在y轴上时，
∵S AOC=S AOB，
△ △
∴ ×OC×|x |= ×OC×2=2，
A
∴OC=2，
又点C不与点B重合，
∴点C坐标为（0，-2）．
综上所述，点C的坐标为（1，0），（-1，0），（0，-2）．
故答案为：（1，0），（-1，0），（0，-2）．
【点拨】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得OC，再得出点C的坐标，也可以适
当的画草图进行分析．
16．
【分析】根据 求 ，再由 即可求解；
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查算术平方根的非负性，坐标与图形，掌握相关知识是解题的关键．
17．
【分析】建立平面直角坐标系，然后用补形法求出三角形 的面积即可．
解：因为 ， ， ，建立平面直角坐标系如下图所示：所以 的面积 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用割补法求三角形的面积以及平面直角坐标系，正确掌握割补法求面积是解题的
关键．
18． 或 ．
【分析】根据三角形的面积求出 ，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可
求解．
解：如图，过点D作 于点E，在y轴取点P，连接 ，
∵ 轴，将线段 经过一定的平移得到线段 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∵将线段 进行适当的平移得到线段 ， ，∴ ，
∴点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平
移的性质是解题的关键．
19．（1） ， ， ；（2）图形见分析， ；（3）
【分析】（1）过点 分别向 轴和 轴作垂线，垂线与 轴的交点在 轴上的坐标为点 的横坐标，
垂线与 轴的交点在 轴上的坐标为点 的纵坐标，同理可得点 ， 的坐标．
（2） 由三个顶点 ， ， 确定，将三个顶点 ， ， 均向右平移 个单位长度，再向上平
移 个单位长度即可得到三个顶点平移的对应点 ， ， ，顺次连接对应点 ， ， 即可得到
．
（3）根据矩形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．
解：（1）过点 分别向 轴和 轴作垂线，垂线与 轴的交点在 轴上的坐标为 ，垂线与 轴的交
点在 轴上的坐标为 ，所以点 的坐标为 ．
同理，可得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（2）如图，将三个顶点 ， ， 均向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到平移
的对应点 ， ， ，顺次连接对应点 ， ， 即可得到 ．点 的坐标为 ．
（3） ．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和图形平移的性质，牢记求平面直角坐标系中点的坐标的方法
和图形平移的性质是解题的关键．
20．点A的坐标为（2，2）；点B的坐标为（-2，-1）；点C的坐标为（3，-2）；三角形面积为 ．
【分析】根据图中的坐标系和边长为1直接写出坐标即可；利用面积和差求出三角形面积即可．
解：如图所示，点A的坐标为（2，2）；点B的坐标为（-2，-1）；点C的坐标为（3，-2）；．
的面积= ．
【点拨】本题考查了图形与坐标，解题关键是树立数形结合思想，准确写出点的坐标，会用面积和差
求三角形面积．
21．（1）图形见分析；（2）四边形 的面积等于6．
【分析】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；
（2）根据四边形 的面积等于 即可求解．
（1）解：如图所示，（2）解：四边形 的面积等于
．
22．（1）6；（2）
【分析】本题主要考查了坐标与图形：
（1）根据A、B的坐标得到 ，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据B、C的坐标可知 轴，且 ，根据 的面积等于 的面积的一半，可
得 ，解方程即可得到答案．
（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6；
（2）解：∵点C坐标为 ， ，
∴ 轴，且 ，
∵ 的面积等于 的面积的一半，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
23．（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积；
（1）由点的平移即可求解；
（2）由 即可求解；
（3）①当 在 的上方时，将 补成直角梯形 ，设 ，由
即可求解；②当 在 轴上方， 的下方时，由 可判断此
情况不存在；③当 在 的下方时，将 补成直角梯形 ，同理①即可求解；
掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为
是解题的关键．
（1）解：由平移得
；
故答案： ；
（2）解：如图，轴，
，
，
∵ ， 轴，
；
故三角形 的面积为 ；
（3）解：①当 在 的上方时，
如图，将 补成直角梯形 ，
设 ，
， ， ， ， ，
，
的面积为 ，
，解得： ，
；
②当 在 轴上方， 的下方时，
，
此种情况不存在；
③当 在 的下方时，
如图，将 补成直角梯形 ，
设 ，
， ， ， ， ，
，的面积为 ，
，
解得： ，
；
综上所述：点P的坐标为 或 ．
24．（1）6；（2）①9；② 或 ．
【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移、绝对值方程等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决
问题是解题关键．
（1）根据题意得出 ， ， ，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）①连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，由平移的性质可得点
坐标，根据 进行计算即可得到答案；②根据 的面积等于 的面积，
求解即可．
（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6；
（2）解： ①连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
将点 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点 坐标为∴ ， ，
∴
；
②如下图，
根据题意，点 ，且 ，
即有 ，
解得 ，
∴点坐标为或．
