2017年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2017·高考数学真题

2017年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合A=  1,2,3,4,B=  3,4,5 ,则A B=. I 【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题 【答案】  3,4 2.若排列数Pm =6´5´4,则m=. 6 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题 【答案】3 x-1 3.不等式 >1的解集为. x 【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题 【答案】-¥,0 4.已知球的体积为36p，则该球主视图的面积等于. 4 【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念， pR3 =36pÞ R=3, 3 所以S =pR2 =9p，属于基础题 【答案】9p 3 5.已知复数z满足z+ =0，则 z =. z 3 【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，z+ =0Þ z2 =-3设z =a+bi， z 则a2 -b2 +2abi =-3Þa=0,b=± 3i, z = a2 +b2 ，属于基础题 【答案】 3 x2 y2 6.设双曲线 - =1b>0的焦点为F、F ,P为该双曲线上的一点.若 PF =5,则 9 b2 1 2 1 第1页 | 共10页PF =. 2 【解析】本题考查双曲线的定义和性质， PF - PF =2a=6（舍）， 1 2 PF - PF =2a=6Þ PF =11 2 1 2 【答案】11 7.如图，以长方体ABCD-ABC D 的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为 1 1 1 1 uuuur uuuur 坐标轴，建立空间直角坐标系.若DB 的坐标为(4,3,2),则AC 的坐标是. 1 1 uuuur 【解析】本题考查空间向量，可得A(4，0，0)，C (0，3,2)Þ AC =(-4，3，2),属于基础题 1 1 【答案】(-4，3，2) ì3x -1,x£0, 8.定义在(0,+¥)上的函数y = f(x)的反函数y = f -1(x).若g(x)=í 为奇函数 î f(x),x>0 ，则 f -1(x)=2的解为. 【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题 1 1 x>0,-x<0,g(-x)=3-x -1=-g(x)Þ g(x)=1- ,所以 f(x)=1- , 3x 3x 8 8 当x=2时， f(x)= ,所以 f -1( )=2 9 9 8 【答案】x= 9 1 1 9.已知四个函数：①y =-x；②y =- ；③y = x3；④y = x2.从中任选2个，则事件“ x 所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为. 【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题 总的情况有：C2 =6种，符合题意的就两种：①和③，①和④ 4 第2页 | 共10页1 【答案】 3 10.已知数列  a 和  b  ,其中a =n2,nÎN*，  b 的项是互不相等的正整数.若对于任意 n n n n lgbb bb  nÎN*， b 中的第a 项等于  a 中的第b 项，则 1 4 9 16 =. n n n n lgbb bb  1 2 3 4 【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题 由题意可得：b =a Þb =(b )2 Þb =b2,b =b 2,b =b2,b =b 2， a n b n n2 n 1 1 4 2 9 3 16 4 lgbb bb  lgbb bb 2 所以 1 4 9 16 = 1 2 3 4 =2 lgbb bb  lgbb bb  1 2 3 4 1 2 3 4 【答案】2 1 1 11.设a，a ÎR,且 + =2，则10p-a-a 的最小值等于. 1 2 2+sina 2+sin(2a) 1 2 1 2 1 é1 ù 1 é1 ù 【解析】考查三角函数的性质和值域， Î ,1 ， Î ,1 ê ú ê ú 2+sina ë3 û 2+sin(2a) ë3 û 1 2 ， ì 1 ì p =1 ï a =- +2kp 1 1 ï 2+sina ï ï 1 2 1 要使 + =2 则í 1 Þí ,k ,k ÎZ 2+sina 2+sin(2a) 1 p 1 2 1 2 ， ï =1 ï a =- +kp ï2+sin(2a) îï 2 4 2 î 2 3 p 10p-a-a = 10p+ p-(2k +k )p = 当2k +k =11时成立 1 2 min 4 1 2 4 , 1 2 min p 【答案】 4 12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P,P,P,P 以及四个标记为“▲”的点在正方 1 2 3 4 形的顶点处.设集合W=  P,P,P,P，点PÎW.过P作直线l ，使得不在l 上的“▲”的 1 2 3 4 P P 点分布在l 的两侧.用D (l )和D (l )分别表示l 一侧和另一侧的“▲”的点到l 的距离之 P 1 P 2 P P P 和.若过P的直线l 中有且只有一条满足D (l )=D (l )，则W中所有这样的P为. P 1 P 2 P 第3页 | 共10页【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“▲”的 点的坐标分别为(0,3),(1,0),(4,4),(7,1),设过P点的直线为：ax+by+c=0, 3b+c a+c 4a+4b+c 7a+b+c 此时有向距离d = ，d = ,d = ,d = 1 2 3 4 a2 +b2 a2 +b2 a2 +b2 a2 +b2 且由d +d +d +d =12a+8b+4c=0Þ3a+2b+c=0 1 2 3 4 ì 2 ïa=- b 则过P的直线满足4b+c=0;此时í 3 ,直线为： 1 ï î c=-4b 2 2 - bx+by-4b=0Þb(- x+ y-4)=0： 3 3 2 所以此时满足题意的直线为：- x+ y-4=0 3 则过P 的直线满足3a+2b+c=0;此时有无数组解，例如：直线x=3，直线y =2等都 2 满足题意. ì a=0 则过P 的直线满足4a+2b+c=0;此时í ，直线为：by-2b=0Þb(y-2)=0, 3 îc=-2b 所以此时满足题意的直线为：y-2=0. ì 4 ïa=- b 则过P 的直线满足6a+6b+c=0;此时í 3 ,直线为： 4 ï î c=2b 4 4 - bx+by+2b=0Þb(- x+ y+2)=0： 3 3 4 所以此时满足题意的直线为：- x+ y+2=0 3 【答案】P,P,P 1 3 4 第4页 | 共10页二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有 一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方 格涂黑. ìx+5y =0， 13.关于x、y的二元一次方程组í 的系数行列式D为（） î2x+3y =4 0 5 1 0 1 5 6 0 A． B． C． D． 4 3 2 4 2 3 5 4 【答案】C n 14.在数列  a ，a = æ ç - 1ö ÷ ,nÎN*,则lima （）. n n è 2ø n®¥ n 1 1 A．等于- B．等于0C．等于 D．不存在 2 2 【答案】B 15．已知a、b、c为实常数，数列  x 的通项x =an2 +bn+c,nÎN*，则“存在kÎN* n n ,使得x ,x ,x 成等差数列”的一个必要条件是（） 100+k 200+k 300+k A．a³0 B．b£0C．c=0D．a-2b+c=0 【答案】A x2 y2 y2 16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : + =1和C :x2+ =1.P为C 上的 1 36 4 2 9 1 动点，Q为C 上的动点，w是O uu P ur ×O uu Q ur 的最大值.记W= P,Q| P在C 上，Q在C 上 2 1 2 uuur uuur  ，且OP×OQ=w ，则W中（） A．元素个数为2 B．元素个数为4 C．元素个数为8 D．含有无穷个元素 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答 题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，直三棱柱ABC-ABC 的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2 1 1 1 第5页 | 共10页，侧棱AA 的长为5. 1 （1）求三棱柱ABC-ABC 的体积； 1 1 1 （2）设M 是BC中点，求直线AM 与平面ABC所成角的大小。 1 æ1 ö 【答案】（1）V = ´2´4 ´5=20 ç ÷ ABC-A 1 B 1 C 1 è2 ø （2）arctan 5 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 1 已知函数 f x=cos2 x-sin2 x+ ,xÎ0,p. 2 （1）求 f x的单调递增区间； （2）设 V ABC为锐角三角形，角A所对的边a= 19，角B所对的边b=5.若 f A=0 ，求 ABC的面积. V ép ö 【答案】（1） ê ,p ÷ ë2 ø 15 3 （2）S = VABC 4 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 根据预测，某地第n  nÎN* 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆 n n ì5n4 +15,1£n£3, ），其中a =í b =n+5.第n个月底的共享单车的保有量是前n个月 n î-10n+470,n³4, n 的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地第4个月底的共享单车的保有量； 第6页 | 共10页（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S =-4n-462 +8800（单位 n ：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车 容纳量？ 【答案】（1）935 ì14,n=1 ï 102,n=2 ï ï （2）Q=í514,n=3 ，所以当n=42时Q取最大值，为8782 ï 11 919 ï- n2 + n-815,n³4 ïî 2 2 此时S =-442-462 +8800=8736<8782，所以当Q取最大值时，停放点不能容纳 42 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） x2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G: + y2 =1，A为G的上顶点，P为G上异于上 4 、下顶点的动点.M 为x正半轴上的动点. （1）若P在第一象限，且 OP = 2 ，求P的坐标； æ8 3ö （2）设P ç , ÷.若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； è5 5ø uuur uuur uuur uuuur （3）若 MA = MP ,直线AQ与G交于另一点C，且AQ=2AC，PQ=4PM ，求直线 AQ的方程. æ2 3 6 ö 【答案】（1）Pç , ÷； ç ÷ 3 3 è ø æ29 ö æ3 ö （2）M ç ,0 ÷ 或M ç ,0 ÷ 或M 1,0； è20 ø è5 ø 5 （3）y = x+1 10 解析（3）∵点P是G上一动点，设P2cosa,sina，M t,0，t >0，Q  x ,y  ， q q Cx ,y ，且A0,1。 c c æ sina+1ö 记线段AP中点为点Nx ,y ，则N cosa, ç ÷ n n è 2 ø 第7页 | 共10页ì 4 2cosa- t ï 3 ïx = =4t-6cosa q 4 ï 1- uuur uuuur uuur 3uuuur ï 3 ∵PQ=4PM ，∴PQ=- QM ，∴í ， 4 4 ï sina- ´0 ï 3 y = =-3sina ï q 4 ï 1- î 3 Q4t-6cosa,-3sina； uuur uuur uuur uuur æ 1 3 ö 又AQ=2AC，∴AC =CQ，∴C是AQ中点，∴C ç 2t-3cosa, - sina ÷ è 2 2 ø 又∵C是G上的一点，∴ 2t-3cosa2 1-3sina2 + =1Þ2t2 +3-6tcosa-3sina=0 4 4 uuuur uuur ∵ MA = MP ，∴ MAP为等腰三角形，N 为底边AP中点，∴MN ^ AP V uuuur æ sina+1ö uuur ∵MN = cosa-t, ，AP=2cosa,sina-1， ç ÷ è 2 ø uuuur uuur 1 ∴MN×AP=2cosacosa-t+ sina+1sina-1=0 2 Þ4cosacosa-t-cos2a=0Þcosa4cosa-4t-cosa=0 （1）若cosa=0，则P0,sina，由P不在上顶点可知，sina¹1，P为下顶点， sina=-1，P0,-1 ∴2t2 +3-6t´0-3´-1=0Þt2 =-3，无解； 3 （2）cosa¹0，则3cosa-4t =0Þt = cosa>0，∴cosa>0 4 2 æ3 ö 3 ∴2 cosa +3-6´ cosa´cosa-3sina=0Þ9sin2a-8sina-1=0 ç ÷ è4 ø 4 1 4 5 3 4 5 5 ∴sina=- 或1（舍），∴cosa= ，∴t = ´ = 9 9 4 9 3 1 1- æ 4 5 1ö 3 5 5 ∴Qç- , ÷，∴k = = ，∴直线AQ方程y = x+1 ç è 3 3 ÷ ø AQ æ4 5ö 10 10 0-ç ÷ 3 è ø 第8页 | 共10页21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设定义在R 上的函数 f x满足：对于任意的x，x ÎR，当x < x 时，都有 1 2 1 2 f x £ f x  . 1 2 （1）若 f x=ax3+1，求a的取值范围； （2）若 f x是周期函数，求证： f x是常值函数； （3）若 f x恒大于零.gx是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是gx的最大 值.函数hx= f xgx，证明：“hx是周期函数”的充要条件是“ f x是常值函数”. 【答案】（1）记x < x ，若 f x £ f x ， f x=ax3+1 1 2 1 2 则 f x - f x =a  x3 -x3 £0，∵x < x ，∴x3-x3 <0，∴a³0 1 2 1 2 1 2 1 2 （2）若 f x是周期函数，记其周期为T ，任取x ÎR，则有 f x = f x +T  k 0 0 0 k 又由题意，对任意xÎx ,x +T , f x £ f x£ f x +T ，∴ 0 0 k 0 0 k f x = f x= f x +T  0 0 k 又∵ f x = f x +nT ,nÎZ ，并且 0 0 k ... x -3T ,x -2T  x -2T ,x -T  x -T ,x  x ,x +T  x +T ,x +2T  ...= R U 0 k 0 k U 0 k 0 k U 0 k 0 U 0 0 k U 0 k 0 k U 所以对任意xÎR， f x= f x =C，为常数，证毕。 0 （3）充分性：若 f x是常值函数，记 f x=c ，设gx的一个周期为T ，则 1 g hx=c ×gx，则对任意x ÎR，h  x +T  =c ×g  x +T  =c ×gx =hx ， 1 0 0 g 1 0 g 1 0 0 故hx是周期函数成立。 必要性：若hx是周期函数，记其一个周期为T 。集合A=  x|gx=m  h 任取x ÎA，则必存在N ÎN ，使得x -N T £ x -T ，即 0 2 0 2 h 0 g éx -T ,x ùÍx -N T ,x ， ë 0 g 0û 0 2 h 0 ... éx -3T ,x -2T ù éx -2T ,x -T ù éx -T ,x ù éx ,x +T ù éx +T ,x +2T ù ...= R Uë 0 g 0 gûUë 0 g 0 gûUë 0 g 0ûUë 0 0 gûUë 0 g 0 gûU ∴ ... x -2N T ,x -N T  x -N T ,x  x ,x +N T  x +N T ,x +2N T  ...= R U 0 2 h 0 2 h U 0 2 h 0 U 0 0 2 h U 0 2 h 0 2 h U hx = gx × f x =hx -N T = gx -N T × f x -N T  0 0 0 0 2 h 0 2 h 0 2 h 第9页 | 共10页因为gx =M ³ gx -N T >0， f x ³ f x -N T >0，因此若 0 0 2 h 0 0 2 h hx =hx -N T  0 0 2 h 必有gx =M = gx -N T ，且 f x =f x -N T =c，而由第（2）问证明可知 0 0 2 h 0 0 2 h 对任意xÎR， f x= f x =C，为常数。必要性证毕。 0 第10页 | 共10页