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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.3 积的乘方
学习目标：1．理解并掌握积的乘方法则及其应用．
2．会运用积的乘方的运算法则进行计算．
重点：掌握积的乘方法则及其应用．
难点：运用积的乘方的运算法则进行计算．
自主学习
一、知识链接
1．（1）乘法的交换律：_____________；（2）乘法的结合律：_____________．
2．（1）同底数幂的乘法：am·an=_________( m，n都是正整数)；
（2）幂的乘方：(am)n=__________(m，n都是正整数）．
3．计算：（1）10×102×103 =_________；（2）(x5)2=_________．
4．说一说同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
相同点：___________________________________________________；
不同点：___________________________________________________．
二、新知预习
你知道地球的体积约是多少吗？
（1）球的体积公式为：_________________；
大约
（2）地球的体积为：_________________．
三、自学自测
1．计算(ab2)3的结果，正确的是（ ）
A．a3b6 B．a3b5 C．ab6 D．ab5
2．计算：（1）(3x)3＝_______；（2）(－2b)5＝_______；（3）(－2×103)2＝_______．
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
课堂探究
一、要点探究
探究点1：积的乘方
问题1：下列两题有什么特点？
（1）(ab)2； （2）(mn)3．问题2：根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=a2b2．
同理：(mn)3 =____×____×____=____×____=____．
猜想：(ab)n=_____．
证明：
要点归纳：积的乘方法则： (ab)n =_____（n为正整数），
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________．
典例精析
例1 计算：
（1）(2a)3； （2）(－5b)3；
（3）(xy2)2； （4）(－2x3)4．
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不
要漏乘方．
针对训练
（1）(－6ab)3； （2）－(3x2y)2；
（3）(－3ab2c3)3； （4）(－xmy3m)2．
练一练：
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）(3cd)3 = 9c3d3； ( ) 改正：______________
（2）(－3a3)2 = －9a6； ( ) 改正：______________
（3）(－2x3y)3 = －8x6y3； ( ) 改正：______________
（4）(－ab2)2 = a2b4． ( ) 改正：______________
例2 计算：
（1）－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
（2）(－a3b6)2＋(－a2b4)3．
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后
合并同类项．探究点2：积的乘方公式的逆用
议一议：如何简便计算 (0.04)2024×[(－5)2024]2？
方法总结：逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过
恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．
针对训练
计算：
二、课堂小结
当堂检测
1．计算(-x2y)2的结果是（ ）
A. x4y2 B. -x4y2
C. x2y2 D. -x2y2
2．下列运算正确的是（ ）
A．x·x2=x2 B．(xy)2=xy2
C．(x2)3=x6 D．x2+x2=x4
3．计算：（1）82023×0.1252022= _______；
（2） _______；
（3）(0.04)2023×[(－5)2023]2 =________.
4．判断正误：
（1）(ab2)3=ab6 ( ) （2）(3xy)3=9x3y3 ( )
（3）(－2a2)2 =－4a4 ( ) （4）－(－ab2)2 =a2b4 ( )5．计算：
（1）(ab)8； （2）(2m)3； （3） (－xy)5；
（4）(5ab2)3； （5）(2×102)2； （6） (－3×103)3．
6．计算：
（1）2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7；
（2）(3xy2)2 +(－4xy3)·(－xy)；
（3）(－2x3)3·(x2)2．
拓展提升：
7．如果(an·bm·b)3=a9b15 (a，b 均不为 0 和±1)，求m，n的值．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．（1）a×b=bxa （2）(a·b)·c=a·(b·c)
2．（1）am+n （2）amn
3．（1）106 （2）x10
4．
二、新知预习
6.4×103 km （1） （2）
三、自学自测
1．A 2．（1）27x3 （2）－32b5 （3）4×106
四、我的疑惑
课堂探究
一、要点探究
探究点1：积的乘方
问题1 底数为两个因式相乘，积的形式
问题2 mn mn mn (mmm) (nnn) m3n3
猜想 anbn
证明
要点归纳：anbn 乘方 相乘
典例精析
例1 解：（1）原式=23a3= 8a3. （2）原式=(－5)3b3=－125b3.
（3）原式=x2(y2)2=x2y4. （4）原式=(－2)4(x3)4=16x12．
针对训练解：（1）(－6ab)3＝(－6)3a3b3＝－216a3b3. （2）－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2.
（3）(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9. （4）(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m．
练一练 （1）× 27c3d3 （2）× 9a6 （3）× －8x9y3 （4）√
例2 解：（1）原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)=32x9y6.
（2）原式=a6b12+(－a6b12)=0．
探究点2：积的乘方公式的逆用
议一议 解法一： (0.04)2024×[(－5)2024]2=(0.22)2024×54048=(0.2)4048×54048=(0.2×5)4048=14048=1．
解法二：(0.04)2024×[(－5)2024]2=(0.04)2024×[(－5)2]2024=(0.04)2024×(25)2024=(0.04×25)2024=12024=1．
针对训练
解：原式
当堂检测
1．A 2．C 3．（1）8 （2）－3 （3）1
4．（1）× （2）× （3）× （4）×
5．解：（1）原式=a8b8. （2）原式= 23·m3=8m3.
（3）原式=(－x)5·y5=－x5y5. （4）原式=53·a3·(b2)3=125a3b6.
（5）原式=22×(102)2=4×104. （6）原式=(－3)3×(103)3=－27×109=－2.7×1010．
6．计算：
解：（1）原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7=2x9－27x9+25x9=0.
（2）原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.
（3）原式=－8x9·x4=－8x13．
拓展提升：
7．解：∵(an·bm·b)3=a9b15，∴(an)3·(bm)3·b3=a9b15．∴a3n·b3m·b3=a9b15．
∴a3n·b3m+3=a9b15．∴3n=9，3m+3=15．∴n=3， m=4．
