文档内容
九年级期末学业质量检测（B）
数学试题共8页，包括六道大题，共 26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟。考
试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.
【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可．
【详解】解：A. ，原式错误；
B. ，计算正确；
C. ，原式错误；
D. ，原式错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．3. 把不等式 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【详解】解：将不等式移项得： ，
合并同类项得： ，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：
“ ”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，“ ”空心圆点向左画折线，“ ”实心圆点
向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．
4. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若 ， ，则 的度
数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过 顶点作直线l 支撑平台，直线l将 分成两个角即 、 ，根据平行线的性质即可求解．
【详解】
如图所示，过 顶点作直线l 支撑平台，直线l将 分成两个角即 、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l 支撑平台
∴直线l 支撑平台 工作篮底部
∴ 、
∵
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
5. 如图， 中， ， ，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中
至少有一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图以及等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决
问题的关键．由作法知 ，可判断A；由作法知， 是 的平分线， ，
可判断B；由作法知所作图形是线段 的垂直平分线，可判断C； 由作法知，所作图形是线段 的垂
直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到 ，可判断D．
【详解】解：A、由作法知 ，
∴ 是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、由作法知， 是 的平分线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、 ，
由作法知所作直线是 的垂直平分线，
∴ ，
∴不能判定 是等腰三角形，故选项C符合题意；
D、由作法知所作图形是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
6. 一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧 的长度为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆心为O，连接 ，利用圆周角定理求得 ，再利用弧长公式
即可求解．
【详解】解：设圆心为O，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵圆的直径为40cm，
∴ ，
∴优弧 的长度为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算： =_______．【答案】3
【解析】
【分析】先把 化成 ，然后再合并同类二次根式即可得解.
【详解】原式=2 .
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式 的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．
8. 与 互为相反数，则 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据x与y互为相反数，可以得到 ，然后对所求式子因式分解后，整体代入所求式子计
算即可．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：0．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出 ．
9. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得， ．
故答案为： ．
10. 两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是______（填“A”或“B”）．
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂线最短的含义进行分析即可得到答案：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线
段最短，简称垂线段最短．
【详解】解：A：跳远测量需要测量出脚印到起跳线的最短距离，故符合题意；
B：道路改到是应用的两点直线，线段最短，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短的定义，简体的关键是熟知垂线段最短的含义．
11. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 ， ， 都在横
线上．若线段 ，则线段 的长是______ ．
【答案】6
【解析】
【分析】如图，过点A作 于点F，交过点B的平行线于点D，交C的邻近平行线于点E，根据题意， ，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点F，交过点B的平行线于点D，交C的邻近平行线于点E，根
据题意， ，
所以 ．
解得 ．
∴ ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12. 如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起
_____cm高．
【答案】82
【解析】
【详解】试题解析：设长方形的长为a，宽为b，对角线的长度为c，∵a=80cm，b=18cm，
故最多可将这扇卷闸门撑起82cm.
故答案为
13. 如图， 是 的直径， 是 的切线，点B为切点，线段 与 交于点D．点E是
上的动点（不与点B、D重合）．若 ，则 的度数可能是______ ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先求出 的度数，再根据圆周角定理推出 的取值范围，即可得出答案．
【详解】连接 ，如图，
∵线段 与 交于点D，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∵点E是 上的动点（不与点B、D重合），
∴ ．
故答案是： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关
键．
14. 如图， 中， ，将 沿射线 平移，得到 ，再将 绕点 逆时
针旋，使得点 恰好与点 重合，则旋转角为_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质可得 ，然后根据旋转的性质可得 ，从而证出
为等边三角形，问题随之得解．
【详解】解：∵在 中， ，将 沿射线 的方向平移，得到 ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转一定角度后，点 恰好与点C重合，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴旋转角为 ，故答案为： ．
【点睛】此题考查的是平移的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握平移的性质、旋转的性
质是解决此题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 小红解答下题“先化简，再求值： ，其中 ”的过程如下：
解：原式 ，当 时，原式 ．
小红的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的答案．
【答案】小红的解答错误，正确答案是4
【解析】
【分析】根据分式的加减运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】小红的解答错误
原式
当 时，原式
故正确答案是4
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题
属于基础题型．
16. 有三张正面分别标有数字-2,3,4的不透明卡片,它们除数字外都相同:现将它们背面朝上,洗匀后,从三张卡
片中随机地抽出一张,记下数字后将卡片放回,洗匀后,再从这三张卡片中随机抽出一张,记下数字.用列表或画
树状图的方法,求两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率.
【答案】
【解析】【分析】列表得出有放回的所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】列表如下
因为有9种等可能的结果，其中数字为一正数，一负数的情况有4种，
所以两次抽取 的卡片上的数字符号不同的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：列表法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形
图．
17. 如图，点C、D在线段 上，且 ， ， ，连接 、 、 、 ，
求证
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明 ≌ 是解题的关键．根据平行
线的性质得到 ，结合题意利用SAS证明 ≌ ，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】证明： ，，
即 ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
即
18. 有两个重量相同的布袋，颜色分别为红色和绿色，红色布袋中有9个重量相同的红球，绿色布袋中有
11个重量相同的绿球，称重两袋相等，从两个布袋中分别取出3个球进行交换后，绿色布袋比红色布袋重
了72克，求每个红球、每个绿球的重量分别为多少克？
【答案】每个红球的重量为66克，每个绿球的重量为54克
【解析】
【分析】设每个红球的重量为x克，每个绿球的重量为y克，根据题意列出方程组并求解即可．
【详解】解：设每个红球的重量为x克，每个绿球的重量为y克，
则有：
整理得：
解得
答：每个红球的重量为66克，每个绿球的重量为54克．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①，图②，图③分别是 的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶
点称为格点，点A，B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格
点上，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画一个面积为3的钝角 ；
（2）在图②中，画一个等腰直角 ；
（3）在图③中，画一个面积为6的四边形 ，且有一个内角为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形；
（3）利用数形结合的思想解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求．【小问3详解】
解：如图，四边形 即为所求．
20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关
系，它的图象如图所示：
（1）求电流I关于电阻R的函数解析式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制
在什么范围？
【答案】（1） ；
（2）用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω．
【解析】
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设 ，将点 代入函数解析式，利用待定
系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将 代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【小问1详解】
设电流I与电阻R之间的函数表达式为 ,
∵函数图象过点（9，4），∴ ，
解得： ，
∴电流I与电阻R之间 函数表达式为 ．
的
【小问2详解】
解：∵限制电流不能超过 ，
∴ ，
解得： ，
∴用电器的可变电阻应大于或等于 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知
识解决实际问题．
21. 我国男性的体质系数计算公式是： ，其中W表示体重（单位：kg），H表示身高
（单位：cm）．通过计算出的体质系数m对体质进行评价．具体评价如下表：
明显消
评价结果 消瘦 正常 过重 肥胖
瘦（1）某男生的身高是175cm，体重是80kg，他的体质评价结果是______．
（2）现从某校九年级学生中随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果统计如下：
①抽查的学生数n=______；；图②中a的值为______．
②图①中，体质评价结果为“正常”的扇形圆心角为______°．
（3）若该校九年级共有男生450人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和．
【答案】（1）过重； （2）①60；5；②96
（3）270名．
【解析】
【分析】（1）根据我国男性的体质系数计算公式是： ，求出 ,即可得出评价结果；
（2）①用肥胖的人数除以它所占的百分比得出抽查的学生数n,再求出过重的人数，然后根据各组人数之
和等于数据总数求出a；②用360°乘以体质评价结果为“正常”的人数所占的百分比即可；
（3）先求出体质评价结果为“过重”与“肥胖”的男生所占的百分比之和，再乘以450即可．
【小问1详解】
∵某男生的身高是175cm,体重是80kg,
∴ m，
∴他 的体质评价结果是过重．
故答案为：过重；
【小问2详解】
①抽查的学生数 ，
过重的人数为 ，
；
故答案为：60，5；
②图1中，体质评价结果为“正常”的所在扇形圆心角为 ，
故答案为：96．
【小问3详解】
（名）∴该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”的男生人数约270名．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
22. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD
固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度
DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）
【答案】
【解析】
【分析】过点E作 ，易得四边形EBFM是矩形，即 ，再通过解直角三角形
可得 ，即可求解．
【详解】解：过点E作 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形EBFM是矩形，
∴ ，
∵∠AED＝48°，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向 的出行市场，现有 ， 两种品牌的共享
电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应
．
（1）当 分钟时， ， 两种品牌收费相同，此时收费 元；
（2）求骑行 品牌共享电动车超过 后的函数表达式；
（3）请求出 ， 两种品牌收费相差 元时 的值．
【答案】（1） ，
（2）（3） ， 两种品牌收费相差 元时 的值为 或 ．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用数形结合的思想作答是解答本题的关键．
（1）根据图像中的数据，得到当 分钟时， ， 两种品牌收费相同，此时收费 元；
（2）根据图像中的数据，点 ， 在该函数图像上，代入所设的表达式 中，计算出骑
行 品牌共享电动车超过 后的函数表达式为 ；
（3）根据图像，先求出 品牌电动车每分钟收费情况，然后根据 品牌共享电动车超过 后的函数
表达式为 ，列出相应方程，求出答案．
【小问1详解】
解：由图像得：
当 分钟时，
， 两种品牌收费相同，此时收费 元；
故答案为： ， ．
【小问2详解】
设骑行 品牌共享电动车超过 后的函数表达式为 ，
点 ， 在该函数图像上，
， ，
解得 ， ，
即骑行 品牌共享电动车超过 后的函数表达式为 ；
【小问3详解】
由图像可得：
品牌电动车每分钟收费为： （元），由题意可得：
或 ，
解得 或 ，
即 ， 两种品牌收费相差 元时 的值为 或 ．
24. 性质探究：
如图①，在 中， ，点 为边 的中点，连结 ，则边 与
边 的长度之比为_________．
理解运用：
（1）若 的周长为 ，则它的面积为_________；
（2）如图②，若将 沿 折叠，点 落在点 处，连结 ．
①求证： ；
②在边 上分别取中点 ，连结 ．若 ，直接写出线段 的长．
类比拓展
（3）底角为 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为_________（用含 的式子表示）．
【答案】 ；（1） ；（2）①见解析；② ；（3）
【解析】
【分析】性质探究：如图，设 ，则 ，由勾股定理， ，由斜边中线性质，
，从而得出结论 ；理解运用：（1）由题意， ，于 是 ，得方程 ，
解得 ，得 ，由 知 ；
（2）①证明：在 中， ，由折叠知 ，于是 ，
所以 ．
②如图，由中位线性质知 ，而 ，所以 ，于是 ；
类比拓展：如图，等腰 中， ， ，过点A作 ，垂足为D，
由三线合一知 ，由锐角三角函数知 中， ，于是 ．
【详解】性质探究：如图，设 ，则 ，
由勾股定理， ，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
∴边 与边 的长度之比为 ．
故答案为： ；理解运用：（1）由题意， ，
而 ，
∴ ，
由前问得， ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：8；
（2）①证明： 在 中， ，点 为边 的中点，
，，
，
．
．
②如图，∵点 是 的中点，
∴ ，
由性质探究知，边 与边 的长度之比为 ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
类比拓展：（3）如图，等腰 中， ， ，
过点A作 ，垂足为D，
∵ ，
∴ ，中， ，
∴ ，
∴底角为 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，直角三角形斜边中
线性质，锐角三角函数，中位线定理；添加辅助线，构造直角三角形运用三角函数寻求线段之间的关系是
解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在矩形 中， ，连接 ， ．点P从点A出发，以每秒 个单位长度
的速度沿线段 向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线
向终点C运动，以 为邻边作平行四边形 ．设运动时间为x秒，平行四边形 和矩形
重叠部分的图形面积为y．
（1） ______；
（2）当点E在CD上时， ______；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直角解直角三角形即可求解；
（2）利用矩形的性质及平行线的性质证明 ，即可求解．
（3）根据x的取值范围，利用矩形和平行四边形的性质与判定，求解分段函数解析式即可．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图，当点E在 上时，
由（1）知 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ；
【小问3详解】
解：如图，点Q在线段 运动时间为 ，
当 时，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴y与x的函数关系式为 ，
当 时，延长 与 交于点H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴y与x的函数关系式为 ，
∵点P在 上的运动时间是 ，
点Q从点B到A再到点C运动时间为 ，
∴当 时，设 与 交于点N， 与 交于点M，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
在 中， ，
．
y与x的函数关系式为 ，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，相似三
角形的判定与性质，二次函数的应用．熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （k是常数）与x轴交于A、B两，其中点A的
坐标为 ，点 在此抛物线上，其横坐标为 ，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点B的坐标；
（3）当点P在x轴上方，且 的值随m的增大而增大时，求m的取值范围；
（4）当抛物线上点A与点P之间的部分（包括点P）的最高点到y轴的距离等于 时，直接写出m的
值．【答案】（1）
（2）
（3）当 时， 的值随m的增大而增大
（4） 或 或
【解析】
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线解析式中，求出 的值即可；
（2）令 ，求解即可；
（3）由 可得 ，进而得出 ，
，则 ，根据二次函数的性质即可求解；
（4）分三种情况讨论：当 时，此时最高点为点 ，且点 在 轴上方，由最高点到 轴的距离
等于 可得方程 ，求解即可；②当 时，此时最高点为抛物线的顶点，
且点 在 轴上方，由最高点到 轴的距离等于 可得方程 ，求解即可；③当
时，此时最高点为抛物线的顶点，且点 在 轴下方，由最高点到 轴的距离等于 可得方程
，求解即可．
【小问1详解】
点 在抛物线 上，
，
解得： ，此抛物线的解析式 ；
【小问2详解】
令 ，得 ，
解得： ， ，
；
【小问3详解】
，点 的横坐标为 ，
，
轴，
，
， ，
，
，
当 时， 的值随 的增大而增大；
【小问4详解】
，
抛物线的顶点坐标为 ，
①当 时，
此时最高点为点 ，且点 在 轴上方，
，解得： （舍去）， ；
②当 时，
此时最高点为抛物线的顶点，且点 在 轴上方，
，
解得： ， （舍去）；
③当 时，
此时最高点为抛物线的顶点，且点 在 轴下方，
，
解得： ， （舍去）．
综上， 或 或 ．
