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19.2 二次根式的乘法与除法（第 2 课时）
知识点1：二次根式的除法法则：
√a
=
√a
(a≥0,b>0)
√b b
1．下列计算错误的是（ ）
A．√22=√2 B．x6÷x2=x4
C．√20÷√2=√10 D．(xy)2=x2y2
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方，运用二次根式的运算及性质、同
底数幂的除法及积的乘方进行计算并判断即可．
【详解】A：√22=√4=2，而√2≠2，∴A错误．
B：根据指数运算法则，x6÷x2=x6−2=x4，∴B正确．
C：根据根式运算法则，√20÷√2=√20÷2=√10，∴C正确．
D：根据积的乘方法则，(xy) 2=x2y2，∴D正确．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
√3
A． √3÷√2=1 B．√3÷√5=
5
C．√18÷√2=3 D．√6a÷√3a=√2a
【答案】C
√a √ab
【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的除法公式是√a÷√b= = ，其中a≥0，b>0，
b b
解决本题的关键是根据二次根式的除法公式计算出正确结果，再根据计算结果判断正误．
【详解】解：A选项：根据二次根式的除法法则，可得：√3÷√2=
√3
=
√6
，故A选项计算错误；
2 2
B选项：根据二次根式的除法法则，可得：√3÷√5=
√3
=
√15
，故B选项计算错误；
5 5
C选项：根据二次根式的除法法则，可得：√18÷√2=
√18
=√9=3，故C选项计算正确；
2
D选项：√6a÷√3a=
√6a
=√2，故D选项计算错误．
3a
1 / 6
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
3．若√12÷□=√6，则□中的数是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．6√2
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
直接根据二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：∵√12÷□=√6
∴□=√12÷√6=√12÷6=√2．
故选：B．
4．计算：
1
√a3b÷
√b
= .
2 a
1
【答案】 a2
2
【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式
的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可．
【详解】解： 1 √a3b÷ √b = 1 √ a3b÷ b = 1 √ a3b× a = 1 √a4= 1 a2；
2 a 2 a 2 b 2 2
1
故答案为： a2．
2
5．不等式√6x+2√3<0的解集为 ．
【答案】
x<− √2
【分析】本题考查解一元一次不等式以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键；
先通过移项，然后系数化为1，求解不等式，并简化表达式．
【详解】解：∵√6x+2√3<0，
∴√6x<−2√3，
2√3
∴x<− ，
√6
2√3 2√3×√6 6√2
∵− =− =− =− √2，
√6 √6×√6 6
∴不等式的解集为：x<− √2．
√8 √54 √0.76
6．计算：（1）√6÷√3； （2） ； (3) ； (4) ．
√2 √6 √0.19
2 / 6
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）√6÷√3=√6÷3=√2．
√8 √8
（2） = =√4=2，
√2 2
（3）原式=
√54
=√9=3．
6
（4）原式=
√0.76
=√4=2．
0.19
知识点2：二次根式的除法法则（逆用）：√a
=
√a
(a≥0,b>0)
b √b
7．化简√0.03=（ ）
√3 √30
A．0.15 B．0.3 C． D．
10 10
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质．将0.03转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即
可求解．
3
【详解】解：∵0.03= ，
100
√3 √3 √3
∴√0.03= = = ．
100 √100 10
故选：C．
8．下列各式计算正确的是（ ）
√−4 √−4 −2 2 √ 2 2
A． = = = B． 4 = √2
−9 √−9 −3 3 9 3
C．√3
=2√3
D．√3
÷
√
3
2
=
√3
÷
11
=
3
4 11 3 11 3 11
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、√−4和√−9在实数范围内无定义，故该选项不符合题意；
B、√ 4 2 = √38 ≠ √8 = √8 = 2 √2，故该选项不符合题意；
9 9 9 3 3
C、√3
=
√3
≠2√3，故该选项不符合题意；
4 2
D、√3 ÷ √ 3 2 = √3 ÷ 11 = √3 × 3 = 3 ，故该选项符合题意；
11 3 11 3 11 11 11
3 / 6
学科网（北京）股份有限公司故选：D
9．等式
√3− x
=
√3− x
成立的条件是 （ ）
1+x √1+x
A．x≤3 且 x≠−1 B．x>−1 C．−10，解不等式组即可．
本题主要考查了二次根式的除法，被开方数要大于等于0，分母不能为0．
【详解】解：根据题意得：3− x≥0且1+x>0，
解得：−10,b>0，长方形的面积为 √a2b3，长为 √ab2，则这个长方形的宽为 ．
3 2
4 / 6
学科网（北京）股份有限公司4
【答案】 √ab
3
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键．
根据长方形的面积公式进行计算即可求解．
2 1 4
【详解】解：依题意，这个长方形的宽为： √a2b3÷( √ab2)= √ab．
3 2 3
4
故答案为： √ab．
3
13．计算：（1） √1 × ( √3÷ √1) ； （2）√15m3 ⋅ √2 ÷√20m．
3 3 5m
√1 ( √1)
【详解】解：（1） × √3÷
3 3
√3 ( √3)
= × √3÷
3 3
=
√3
×( √3×
3
)
3 √3
√3
= ×3
3
=√3.
（2）√15m3 ⋅
√2
÷√20m
5m
= √ 15m3 ⋅ 2 ÷20m
5m
√2×15m3
=
5×20m2
√30m
= ．
10
14．已知矩形的长为3√10，面积为30√6，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面
积是（ ）
A．30 B．40 C．60 D．65
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为3√10，面积为
30√6，得矩形的另一边长为2√15，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积．
【详解】∵矩形的长为 3√10，面积为 30√6，
√6 √60
∴矩形的宽为 30√6÷3√10=10⋅ =10⋅ =√60=2√15，
√10 10
∵ (3√10)2=9×10=90，(2√15)2=4×15=60，90>60，
∴ 3√10>2√15，
∴正方形的最大边长为矩形的宽 2√15，
∴正方形的最大面积为 (2√15)2=4×15=60，
故选：C．
√a √b √a √a √a
15．有下列各式：① ⋅ =1；② = ；③√ab÷ =− b．如果ab>0，a+b<0，那么等式成立
b a b √b b
的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的
关键．
由 ab>0 和a+b<0可知 a和b均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判
断等式是否成立．
【详解】解：∵ ab>0 ，a+b<0，
∴a<0，b<0．
√a √b √a b
对于①： ⋅ = · =√1=1，成立，符合题意；
b a b a
对于②：
√a
中
a
>0，但√a和√b在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意；
b b
对于③：√ab÷ √a = √ ab÷ a = √ ab× b =√b2=|b|，
b b a
∵b<0，
∴|b|=− b，成立，符合题意；
∴等式成立的是①③．
故选：B．
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