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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（04）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转
180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．
A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形关于对称轴折叠后可完全重合；中心对图形是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转 后与自身重
合是解题的关键．
2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据概率公式直接求概率即可；
一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，
的
选中 书是物理书的结果有1种，
∴从中任取1本书是物理书的概率= ．【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a
的范围后对各选项进行判断．
根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0．
4.如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草
坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意得： ；
故答案为： ．故选C．
5. 如图， 为 的直径，弦 于点E， 于点F， ，则 为（
）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据邻补角得出∠AOF=180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB=65°，结合圆周角定理及
邻补角进行求解即可．
【详解】∵∠BOF=65°，
∴∠AOF=180°-65°=115°，
∵CD⊥AB，OF⊥BC，
∴∠DCB=360°-90°-90°-115°=65°，
∴∠DOB=2×65°=130°，
∴∠AOD=180°-130°=50°，
故选：C．
【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运用这些知识点是
解题关键．
6. 二次函数 的部分图象如图所示，与y轴交于 ，对称轴为直线 ．以下结论：
① ；② ；③对于任意实数m，都有 成立；④若 ， ，
在该函数图象上，则 ；⑤方程 （ ，k为常数）的所有根的和为
4．其中正确结论有（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】【分析】根据图象可判断 ，即可判断①正确；令 ，解得
，根据图得， ，再由顶点坐标的纵坐标的范围即
可求出a的范围，即可判断②错误；由 代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称
性即可判断④错误；分类讨论当 时，当 时，再根据一元二次方程根与系数
的关系进行求解即可判断⑤正确．
【详解】 二次函数 的部分图象与y轴交于 ，对称轴为直线 ，抛物线开头向
上，，
，
，故①正确；
令 ，
解得 ，
由图得， ，
解得 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
由图得， ，
解得 ，
，故②错误；
，
可化为 ，即 ，
，
若 成立，则 ，故③错误；
当 时， 随 的增大而减小，
，
，
对称轴为直线 ，时与 时所对应的 值相等，
，故④错误；
，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
，故⑤正确；
综上，正确的个数为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，
能够运用数形结合的思想是解题的关键．
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 若 是方程 的根，则 ________．
【答案】1
【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
把x=1代入方程 ，得1−2+a=0，
解得a=1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，
就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2.下列图形:①等腰梯形;②菱形;③函数y=x2的图象;④函数y=kx+b(k≠0)的图象.其中既是轴对称图形又
是中心对称图形的是 .(填序号)
【答案】②④【解析】①等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;②菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;③函数
y=x2的图象是轴对称图形,不是中心对称图形;④函数y=kx+b(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图
形.所以,既是轴对称图形又是中心对称图形的为②④.
3. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概
率为 ，则这个箱子中黄球的个数为______个．
【答案】15
【解析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可．
【详解】解：设：黄球的个数为x个，
解得： ，
检验：将 代入 ，值不为零，
∴ 是方程的解，
∴黄球的个数为15个．
【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
4.如图,矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称,已知AB=3,BC=4,则阴影部分的周长和是 .
【答案】48
【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°.∵AB=3,BC=4,∴AC= =5,∴△ABC的周长
√AB2+BC2=√32+42
=3+4+5=12.∵矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称,∴阴影部分的四个直角三角形全等,∴阴影部
分的周长和=4×12=48.
5. （2023重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，
第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 ，根据题意，请列出方程
________．
【答案】【解析】根据变化前数量 变化后数量，即可列出方程．
第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 ．
第二个月新建了 个充电桩，
第三个月新建了 个充电桩，
第三个月新建了500个充电桩，
于是有 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为 ，则有 ，
其中 表示变化前数量， 表示变化后数量， 表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量
和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．
6．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．
若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
【答案】 ．
【解析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，
由勾股定理得出 OE= OM= ，在 Rt△ODE 中，由勾股定理求出 DE= ，得出 CD=2DE=
即可．
【解答】连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE= OM= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE= = ，
∴CD=2DE= ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定
理，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
7. 如图，⊙ 的半径为2，点A，B，C都在⊙ 上，若 ．则 的长为_____（结果用含有
的式子表示）
【答案】
【解析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到 ，再利用弧长公式求解即可．
【详解】 ， ，
，
⊙ 的半径为2，【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即 ，熟练掌握知识点是解题的关键．
8.在平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点对称，则点 在第
_____象限。
【答案】三
【解析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
且 ，
点 在第三象限．
9. （2023浙江金华）下表为某中学统计的七年级 名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机
抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________．
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
【答案】
【解析】根据概率公式计算即可得出结果．
该生体重“标准”的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率 所求情况数与总情况数之比是本题的关键．
10. 如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB C D 的位置，则阴影部分的面
1 1 1
积是 ．【答案】2﹣ ．
【解析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性质得出DE
1
＝ ，最后由图可以得出S阴影部分 ＝2（S正方形ABCD ﹣S四边形ADEB1 ），将相关数值代入求解即可．如图，
连接AE，根据题意可知AB ＝AD＝1，∠B ＝∠D＝90°，∠BAB ＝30°，
1 1 1
在Rt△AB E和Rt△ADE中，
1
，
∴Rt△AB E≌Rt△ADE（HL），
1
∵∠B AE＝∠DAE＝ ∠B AD＝30°，
1 1
∴ ＝ ，解得DE＝ ，
∴S四边形ADEB1 ＝2S△ADE ＝2× ×AD×DE＝ ，
∴S阴影部分 ＝2（S正方形ABCD ﹣S四边形ADEB1 ）＝2×（1﹣ ）＝2﹣ ．
三、解答题（本大题有5小题，共46分）
1.（8分）已知方程 是一元二次方程，求 的值．
【答案】4【解析】解：由题意，得
解|m|-2=2得m=±4，
当m=4时，m+4=8≠0，
当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，
∴m的值为4．
2．（8分）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在
格点上，
①写出A、B、C的坐标．
②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△ABC，并写出A、B、C．
1 1 1 1 1 1
【答案】见解析。
【解析】①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；
②A（﹣1，4），B（﹣5，4），C（﹣4，1），如图所示：
1 1 1
3. （8分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活
动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解
学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下
列问题：（1）八年级（1）班学生总人数是 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆
心角的度数为 ；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式
主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40；补全条形统计图见解析；90°；
（2）该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
（3）选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是 ．
【解析】【分析】（1）利用A类人数除以所占百分比可得抽取总人数；根据总数计算出C类的人数，然
后再补图；用360°乘以C类所占的百分比，计算即可得解；
（2）利用样本估计总体的方法计算即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后利用
概率公式求解．
【详解】(1)解：抽取的学生总数：12÷30%=40（人），
C类学生人数：40-12-14-4=10（人），
补全统计图如下：扇形统计图中C类所在的扇形的圆形角度数是360°× =90°；
故答案为：40；90°；
(2)解：2500× =1625（人），
答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，
所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查的是条形统计图和扇形统计
图的综合运用．
4. （10分）如图， 为⊙ 的直径，过圆上一点 作⊙ 的切线 交 的延长线与点 ，过点作 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与⊙ 相切吗？并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）相切，见解析
（2）
【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） 先 证 得 ： ， 再 证 ， 得 到
，即可求出答案；
（2）设半径为 ；则： ，即可求得半径，再在直角三角形 中，利用勾股定理
，求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ 为 切线，
∴ ，又∵ ，
∴ ， ，
且 ，
∴ ，
在 与 中；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 相切．
（2）设半径为 ；
则： ，得 ；
在直角三角形 中， ，
，解得
【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、
勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5. （12分）新定义：我们把抛物线 （其中 ）与抛物线 称为“关
联抛物线”．例如：抛物线 的“关联抛物线”为： ．已知抛物线
的“关联抛物线”为 ．
（1）写出 的解析式（用含 的式子表示）及顶点坐标；
（2）若 ，过 轴上一点 ，作 轴的垂线分别交抛物线 ， 于点 ， ．
①当 时，求点 的坐标；②当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的值．
【答案】（1） ，顶点为
（2）① 或 ；② 或 ．
【解析】【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得
顶点坐标；
（2）①设 ，则 ， ，根据题意建立方程解方
程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
解：(1) 抛物线 的“关联抛物线”为 ，
根据题意可得， 的解析式
为
顶点
(2)解：①设 ，则 ，
∴
当 时，
解得 ，当 时，方程无解
或
② 的解析式
顶点为 ，对称轴为
，
当 时，即 时，
函数的最大值为 ，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得 （ ，舍去）
当 时，且 即 时，
函数的最大值为 ，最小值为
的最大值与最小值的差为解得 （ ，舍去）
当 时，即 时，抛物线开向上，对称轴右侧 随 的增大而增大，
函数的最大值为 ，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得 （ 舍去）
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
