文档内容
2017年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类
）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120
分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
4
·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式V = pR3.
3
其中S表示棱柱的底面面积， 其中R表示球的半径．
h表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A={1,2,6},B={2,4},C ={xÎR|-1£ x£5}，则(A
U
B)
I
C =
（A）{2} （B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{xÎR|-1£ x£5}
ì2x+ y³0,
ï
ïx+2y-2³0,
（2）设变量x,y满足约束条件í 则目标函数z = x+ y的最大值为
x£0,
ï
ï îy£3,
2 3
（A） （B）1（C） （D）3
3 2
第1页 | 共14页（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为
（A）0 （B）1（C）2（D）3
π π 1
（4）设qÎR，则“|q- |< ”是“sinq< ”的
12 12 2
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
x2 y2
（5）已知双曲线 - =1(a >0,b>0)的左焦点为F ，离心率为 2 .若经过F 和
a2 b2
P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
（A） - =1 （B） - =1（C） - =1（D） - =1
4 4 8 8 4 8 8 4
（6）已知奇函数 f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-log 5.1)，b=g(20.8)，
2
c=g(3)，则a，b，c的大小关系为
（A）a0，|j|1. 2
î x
第2页 | 共14页立，则a的取值范围是
47 47 39 39
（A）[- ,2] （B）[- , ] （C）[-2 3,2] （D）[-2 3, ]
16 16 16 16
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
a-i
（9）已知aÎR，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 .
2+i
（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球
的体积为 .
p
（11）在极坐标系中，直线4rcos(q- )+1=0与圆r=2sinq的公共点的个数为_____
6
______.
a4 +4b4 +1
（12）若a,bÎR，ab>0，则 的最小值为___________.
ab
uuur uuur
（13）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC =2.若BD=2DC，
uuur uuur uuur uuur uuur
AE =lAC-AB(lÎR)，且AD×AE =-4，则l的值为___________.
（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数
的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）
3
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b，a=5,c=6，sinB= .
5
（Ⅰ）求b和sinA的值；
π
（Ⅱ）求sin(2A+ )的值.
4
16.（本小题满分13分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的
第3页 | 共14页1 1 1
概率分别为 , , .
2 3 4
（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望
；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
（17）（本小题满分13分）
如图，在三棱锥P-
ABC中，PA⊥底面ABC，ÐBAC =90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD
的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
7
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长.
21
18.（本小题满分13分）
已知{a }为等差数列，前n项和为S (nÎN*)，{b }是首项为2的等比数列，且公比大于0
n n n
，b +b =12,b =a -2a ，S =11b .
2 3 3 4 1 11 4
（Ⅰ）求{a }和{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求数列{a b }的前n项和(nÎN*).
2n 2n-1
（19）（本小题满分14分）
第4页 | 共14页x2 y2 1
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A，离心率为 .已知A是抛物线
a2 b2 2
1
y2 =2px(p>0)的焦点，F 到抛物线的准线l的距离为 .
2
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直
6
线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为 ，求直线AP的方程.
2
（20）（本小题满分14分）
设aÎZ，已知定义在R上的函数 f(x)=2x4 +3x3 -3x2 -6x+a在区间(1,2)内有一个零
点x ，g(x)为 f(x)的导函数.
0
（Ⅰ）求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）设mÎ[1,x ) (x ,2]，函数h(x)= g(x)(m-x )- f(m)，求证：h(m)h(x )<0；
0 U 0 0 0
p
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数 p,q，且
q
Î[1,x
0
)
U
(x
0
,2],
p 1
满足| -x |³ .
q 0 Aq4
第5页 | 共14页天津理数答案
1-4BDCA 5-8BCAA
9.−2；
9π
10. ；
2
11.2；
12.4 ；
3
13. ；
11
14.1080
3 4
15.（Ⅰ）解：在△ABC中，因为a>b，故由sinB= ，可得cosB= .由已知及余弦
5 5
定理，有b2 =a2 +c2 -2accosB=13，所以b= 13.
a b asinB 3 13
由正弦定理 = ,得sinA= = .
sinA sinB b 13
3 13
所以，b的值为 13，sinA的值为 .
13
2 13 12
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a= 1 2 =- ，于是sin= .
1 2 |n ||n | 21 1 2 21
1 2
105
所以，二面角C—EM—N的正弦值为 .
21
uuuur
（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（0£h£4），则H（0，0，h），进而可得NH =(-1,-2,h)，
uuuur uuur
uuur uuuur uuur |NH×BE| |2h-2| 7
BE=(-2,2,2).由已知，得|cos|=
uuuur uuur
= = ，整理得
|NH ||BE| h2 +5´2 3 21
8 1
10h2 -21h+8=0，解得h= ，或h= .
5 2
8 1
所以，线段AH的长为 或 .
5 2
18.【解析】（I）设等差数列{a }的公差为d ，等比数列{b }的公比为q.
n n
由已知b +b =12，得b(q+q2)=12，而b =2，所以q2 +q-6=0.
2 3 1 1
又因为q>0，解得q=2.所以，b =2n.
n
由b =a -2a ，可得3d -a =8 ①.
3 4 1 1
由S =11b ，可得a +5d =16 ②，
11 4 1
联立①②，解得a =1，d =3，由此可得a =3n-2.
1 n
所以，数列{a }的通项公式为a =3n-2，数列{b }的通项公式为b =2n.
n n n n
（II）解：设数列{a b }的前n项和为T ，
2n 2n-1 n
第8页 | 共14页由a =6n-2，b =2´4n-1，有a b =(3n-1)´4n，
2n 2n-1 2n 2n-1
故T =2´4+5´42 +8´43 + +(3n-1)´4n，
n L
4T =2´42 +5´43+8´44 + +(3n-4)´4n +(3n-1)´4n+1，
n L
上述两式相减，得-3T =2´4+3´42 +3´43 + +3´4n -(3n-1)´4n+1
n L
12´(1-4n)
= -4-(3n-1)´4n+1
1-4
=-(3n-2)´4n+1-8.
3n-2 8
得T = ´4n+1+ .
n 3 3
3n-2 8
所以，数列{a b }的前n项和为 ´4n+1+ .
2n 2n-1 3 3
c 1 p 1
19.（Ⅰ）解：设F 的坐标为(-c,0).依题意， = ， =a，a-c= ，解得a =1，
a 2 2 2
1 3
c= ， p=2，于是b2 =a2 -c2 = .
2 4
4y2
所以，椭圆的方程为x2 + =1，抛物线的方程为y2 =4x.
3
（Ⅱ）解：设直线AP的方程为x=my+1(m¹0)，与直线l的方程x=-1联立，可得点
2 2 4y2
P(-1,- )，故Q(-1, ).将x=my+1与x2 + =1联立，消去x，整理得
m m 3
-6m
(3m2 +4)y2 +6my =0，解得y =0，或y = .由点B异于点A，可得点
3m2 +4
-3m2 +4 -6m 2
B( , ).由Q(-1, )，可学*科.网得直线BQ的方程为
3m2 +4 3m2 +4 m
-6m 2 -3m2 +4 2 2-3m2
( - )(x+1)-( +1)(y- )=0，令y =0，解得x= ，故
3m2 +4 m 3m2 +4 m 3m2 +2
2-3m2 2-3m2 6m2 6
D( ,0).所以| AD|=1- = .又因为△APD的面积为 ，故
3m2 +2 3m2 +2 3m2 +2 2
1 6m2 2 6 6
´ ´ = ，整理得3m2 -2 6|m|+2=0，解得|m|= ，所以
2 3m2 +2 |m| 2 3
6
m=± .
3
所以，直线AP的方程为3x+ 6y-3=0，或3x- 6y-3=0.
第9页 | 共14页20.（Ⅰ）解：由 f(x)=2x4 +3x3 -3x2 -6x+a，可得
g(x)= f¢(x)=8x3 +9x2 -6x-6，
1
进而可得g¢(x)=24x2 +18x-6.令g¢(x)=0，解得x=-1，或x= .
4
当x变化时，g¢(x),g(x)的变化情况如下表：
1 1
x (-¥,-1) (-1, ) ( ,+¥)
4 4
g¢(x) + - +
g(x) ↗ ↘ ↗
1 1
所以，g(x)的单调递增区间是(-¥,-1)，( ,+¥)，单调递减区间是(-1, ).
4 4
（Ⅱ）证明：由h(x)= g(x)(m-x )- f(m)，得h(m)= g(m)(m-x )- f(m)，
0 0
h(x )= g(x )(m-x )- f(m).
0 0 0
令函数H (x)= g(x)(x-x )- f(x)，则H¢(x)= g¢(x)(x-x ).由（Ⅰ）知，当
1 0 1 0
xÎ[1,2]时，g¢(x)>0，故当xÎ[1,x )时，H¢(x)<0，H (x)单调递减；当
0 1 1
xÎ(x
0
,2]时，H
1
¢(x)>0，H
1
(x)单调递增.因此，当xÎ[1,x
0
)
U
(x
0
,2]时，
H (x)> H (x )=-f(x )=0，可得H (m)>0,即h(m)>0.
1 1 0 0 1
令函数H (x)= g(x )(x-x )- f(x)，则H ¢(x)= g(x )-g(x).由（Ⅰ）知，g(x)
2 0 0 2 0
在[1,2]上单调递增，故当xÎ[1,x )时，H ¢(x)>0，H (x)单调递增；当
0 2 2
xÎ(x
0
,2]时，H
2
¢(x)<0，H
2
(x)单调递减.因此，当xÎ[1,x
0
)
U
(x
0
,2]时，
H (x)< H (x )=0，可得H (m)<0,即h(x )<0.
2 2 0 2 0
所以，h(m)h(x )<0.
0
p
（III）证明：对于任意的正整数 p，q，且
q
Î[1,x
0
)
U
(x
0
,2]，
p
令m= ，函数h(x)= g(x)(m-x )- f(m).
q 0
第10页 | 共14页由（II）知，当mÎ[1,x )时，h(x)在区间(m,x )内有零点；
0 0
当mÎ(x ,2]时，h(x)在区间(x ,m)内有零点.
0 0
所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x ，则
1
p p
h(x )= g(x )( -x )- f( )=0.
1 1 q 0 q
由（I）知g(x)在[1,2]上单调递增，故0< g(1)< g(x )< g(2)，
1
p p
f( ) | f( )|
p q q |2p4 +3p3q-3p2q2 -6pq3 +aq4 |
于是| -x |=| |³ = .
q 0 g(x ) g(2) g(2)q4
1
因为当xÎ[1,2]时，g(x)>0，故 f(x)在[1,2]上单调递增，
p p
所以 f(x)在区间[1,2]上除x 外没有其他的零点，而 ¹ x ，故 f( )¹0.
0 q 0 q
又因为 p，q，a均为整数，所以|2p4 +3p3q-3p2q2 -6pq3 +aq4 |是正整数，
从而|2p4 +3p3q-3p2q2 -6pq3 +aq4 |³1.
p 1 p 1
所以| -x |³ .所以，只要取A= g(2)，就有| -x |³ .
q 0 g(2)q4 q 0 Aq4
选择填空解析
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
（1）【2017年天津，理1，5分】设集合A={1,2,6},B={2,4},C ={xÎR|-1£x£5}，则
(A B) C =（ ）
U I
（A）2 （B）1,2,4 （C）1,2,4,6 （D）xÎR|-1£x£5
【答案】B
【解析】(A B) C =1,2,4,6 -1,5=1,2,4，故选B．
U I I
第11页 | 共14页ì2x+ y³0,
ï
ïx+2y-2³0,
（2）【2017年天津，理2，5分】设变量x,y满足约束条件í 则目标函数
x£0,
ï
ï îy£3,
z=x+y的最大值为（ ）
2 3
（A） （B）1 （C） （D）3
3 2
【答案】D
3 2 4
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中A(0,1),B(0,3),C(- ,3),D(- , )，所以
2 3 3
直线z=x+ y过点B时取最大值3，故选D．
（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入
N 的值为
24，则输出N 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
【解析】依次为N =8 ，N =7,N =6,N =2，输出N =2，故选C．
π π 1
（4）【2017年天津，理4，5分】设qÎR，则“|q- |< ”是“sinq< ”的（ ）
12 12 2
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
p p p 1 1
【解析】q- < Û00,b>0)的左焦点为F ，离心
a2 b2
率为 2．若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方
程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
（A） - =1 （B） - =1 （C） - =1 （D） - =1
4 4 8 8 4 8 8 4
【答案】B
4 x2 y2
【解析】由题意得a=b, =-1Þc=4,a=b=2 2Þ - =1，故选B．
-c 8 8
（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数 f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)．若
a=g(-log 5.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
（A）a0时， f x>0，从而
gx=xf x是R上的偶函数，且在0,+¥上是增函数，
a=g -log5.1 =g log5.1，20.8 <2，又4<5.1<8，20，|j|
2p，所以0
