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第 06 课 一元二次方程应用题(1)
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课程标准
1、掌握列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、检、答．
2、能利用一元二次方程解决问题：
①传播类问题；
②平均增长(降低)率问题
③其他增长率问题
④握手问题与送礼问题
⑤面积类问题(内挖型、外扩型、开路型、建舍型)．
3、能理找出等量关系，理解解列等量关系的过程。
知识精讲
知识点01 传播类问题
1、传播类问题
一个人传染x人
传染源
第一轮新传染人数 第一轮传染后总感染人数 第二轮新传染人数 第二轮传染后总感染人数
【解释】
若传染源的数量为a,每轮传染的数量为x,则经过一轮传染后感染的总数量为a+ax,
则经过两轮传染后感染的总数量为a+ax+a(a+ax)整理后的结果为 a(1+x) 2 .若经过两轮传染后感染的总数量为
b,则所列方程为 a(1+x) 2 =b .
【注意】
传播类问题所列方程
1.开始数量为1,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为 (1+x) n =b .
2.开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为 a(1+x) n =b .
知识点02 平均增长(降低)率问题设平均增长率为x
终止量为b
起
增长1 起始量与 增长2次与
始 增长2次 三者总和
次 增长2次之差 增长1次之差
量
设平均降低率为x
终止量为b
起
降低1 起始量与 降低2次与
始 降低2次 三者总和
次 降低2次之差 降低1次之差
量
【解释】
①若开始的数量为a,增长率为x,则经过一次增长后的数量为a(1+x),经过两次增长后的总数量为 a(1+x) 2 ,若经
过两次增长后的数量为b,则可列方程 a(1+x) 2 =b .
②若开始的数量为a,降低率为x,则经过一次增长后的数量为 a(1 － x) ,经过两次增长后的总数量为 a(1 － x) 2 ,若
经过两次增长后的数量为b,则可列方程 a(1 － x) 2 =b .
【注意】
增长率(或降低率)问题的规律
1.增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x) 2 ,依次类推,n
次增长后的值为 a(1+x) n .
2.降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为 a(1-x) 2 ,依次类推,n
次降低后的值为 a(1-x) n .
知识点03 其他增长率问题
1、转发消息类
A收到一条微信，转发给x人，要求这些收到微信的人继续转发给x人，此时共有b个人收到微信。
一开始， 第一次转发后 第二次转发后
第一次转发次数 第二次转发次数
收到微信的人数 收到微信的总人数 收到微信的总人数
1 x
【解释】
A收到消息后，转发给x个人，此时，一共有 个人收到消息，第二次转发给 个人，此时，
一共有 个人收到消息。
【注意】
转发消息类问题与传染问题类型不同的是，收到消息的人，只转发1 次，转发给x个人后，再不转发；而传染问题，每个被感染的人，每一轮传播都会传染给x个人。
2、长枝干类
1个主干长x个枝干，每个枝干长x个小枝干，共有b个分支，
则
知识点04 握手问题和送礼问题
1、握手问题
设有x个人互相握手，每个人都站起来和其他 个人握手，每个人都站起来和其他人握手之后，一共
握手 次，但任意两人之间都握手2次，实际每两人之间只需要握手一次，设握手总次数为 b，则
；
2、送礼问题
设有x个人互相送卡片，每个人都给其余 个人送一张卡片，每个人都给其他人送卡片之后，一共送
了
知识点05 面积类问题
类型 图形 面积表示如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为
1、内挖类型
x,则阴影的面积可表示为 .
如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽
2、外扩类型 均 为 x, 则 矩 形 ABCD 的 面 积 可 表 示 为
.
如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的
3、开路问题 小路，路宽均为x,则剩余部分(绿色阴影)面积可表示
为 .
①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形
BC 边的长为 ，矩形 ABCD 的面积为
；
②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面
4、围栏问题
的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩
形ABCD的面积为 ；
③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙
面的边CD长为x，则矩形BC边的长为
，矩形ABCD的面积为 ；
能力拓展
考法01 传播问题
【例题1】肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染
将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程( )A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．(1+x)2＝225 D．1+(1+x2 )＝225
【答案】C
【解析】
【分析】
此题可设1人平均感染 人，则第一轮共感染 人，第二轮共感染 人，根据题
意列方程即可．
【详解】
解：设1人平均感染 人，
依题意可列方程： ．
故选：C．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决
问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【即学即练1】有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平
均一个人传染的人数是( )
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得 ，然后求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： (舍去)，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【即学即练2】2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对
人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】(1)每轮传染中平均每个人传染了15个人；(2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人
患病．
【解析】
【分析】
(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关
于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×(1+15)，即可求出结论．
【详解】
(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x(1+x)＝256，
解得：x＝15，x＝﹣17(不合题意，舍去)．
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
(2)256×(1+15)＝4096(人)．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考法02 平均变化率
【例题2】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均
增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．80(1+x)2=100 B．100(1﹣x)2=80 C．80(1+2x)=100 D．80(1+x2)=100
【答案】A
【解析】
【分析】
利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，
即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨，
2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80(1+x)2=100，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用(增长率问题)．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年
的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
【即学即练1】某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游
收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”
旅游收入的年平均增长率约为( )
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文
化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2(1+x)2=2.88，
解得：x=0.2=20%，x=﹣2.2(不合题意，舍去)．
1 2
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【即学即练2】某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产
钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方
程( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【详解】
第一个月是560，第二个月是560(1+x)，第三月是560(1+x)2
，所以第一季度总计560+560(1+x)+560(1+x)2=1850，选D.
【即学即练3】某药品原价每盒 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在
售价每盒 元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
【答案】20%
【解析】
【详解】
解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×(1-x)(1-x)=16，
整理得 ，
解得x=0.2或1.8(不合题意，舍去)；
即该药品平均每次降价的百分率是20%．
考法03 枝干问题
【例题3】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支
干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】
设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： (舍去)， ．
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程【即学即练1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和
小分支的总数是13，则每个支干长出( )
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
【答案】B
【解析】
【分析】
先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出x个小分支，x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1
个，分支有x个，小分支有x2个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可.
【详解】
设每个支干长出x个分支，
根据题意得
1+x+x•x=13，
整理得x2+x-12=0，
解得x=3，x=-4(不符合题意舍去)，
1 2
即每个支干长出3个分支.
故应选B.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量
关系，列出方程，再求解．
【即学即练2】某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总
数共57根，则主干长出枝干的根数为 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
分别设出枝干和小分支的数目，列出方程，解方程即可得出答案.
【详解】
设枝干有x根，则小分支有 根
根据题意可得：
解得：x=7或x=-8(不合题意，舍去)故答案选择A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是根据题目意思列出方程.
考法04 握手问题与送礼问题
【例题4】“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他
成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是(
)
A．x(x+1)＝210 B．x(x﹣1)＝210
C．2x(x﹣1)＝210 D． x(x﹣1)＝210
【答案】B
【解析】
【详解】
设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；
则总共送出的图书为x(x−1)；
又知实际互赠了210本图书，
则x(x−1)=210．
故选：B．
【即学即练1】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，
并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，
则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x(x-1)=90，
解得：x=-9(舍去)或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
【即学即练2】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】
解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x(x﹣1)＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x＝9，x＝﹣8(舍去)，
1 2
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
【即学即练3】在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有二人参加这次聚会，则列
出方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x-1)次，x人共需握手x(x-1)次；而每两个人都握了一次
手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手： 次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出
关于x的方程．
解答：解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1(次)；依题意，可列方程为： =10；
故选B．
考法05 面积问题
【例题5】原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021
年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在
长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如
图)，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】
依题意得： ，
即 ；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列式是解题的关键．
【即学即练1】如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为
50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是( )A．(50+x)(80+x)＝2800 B．(50+2x)(80+2 x)＝2800
C．(50﹣x)(80﹣x)＝2800 D．(50﹣2x)(80﹣2x)＝2800
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案.
【详解】
由题意得：风景画的长为： ，宽为：
利用矩形的面积公式得：
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键.
【即学即练2】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余
的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是( ).
A．(32﹣2x)(20﹣x)=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．(32﹣x)(20﹣x)=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【详解】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A【即学即练3】如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地
方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
【答案】1．
【解析】
【详解】
试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30-2x)(20-x)=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x=1，x=34．
1 2
∵34＞30(不合题意，舍去)，
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
考点：一元二次方程的应用．
【即学即练4】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三
个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】
【详解】
解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100﹣4x)米．
根据题意得 (100﹣4x)x=400，
解得 x=20，x=5．
1 2
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x=5舍去．
2即AB=20，BC=20．
故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【即学即练5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长
的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为
多少时，猪舍面积为80m2？
【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为 m，
由题意得 ，
化简，得 ，解得： ，
当 时， (舍去)，
当 时， ，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【即学即练6】一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：
2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
【答案】(1) ；(2)横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【解析】(1)根据题意可知，横彩条的宽度为 xcm，
∴y=20× x+2×12•x﹣2× x•x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
(2)根据题意，得：﹣3x2+54x= ×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x=2，x=16(舍)，
1 2
∴ x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
【即学即练7】如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹
篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
(1)要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
(2)围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】(1)养鸡场的宽是10m，长为15m；(2)围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析
【解析】
解：(1)设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x(35﹣2x)＝150，
解得：x＝10，x＝7.5，
1 2
当x＝10时，35﹣2x＝15＜18，
1
当x＝7.5时35﹣2x＝20＞18，(舍去)，
2
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
(2)设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x(35﹣2x)＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝(﹣35)2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
分层提分
题组A 基础过关练
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方
程为( )
A．1+x+x(1+x)=100 B．x(1+x)=100
C．1+x+x2=100 D．x2=100
【答案】A
【解析】
【分析】
每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有(x+1)人感染,则经过第二轮有[(x+1)+x(x+1)]人得
了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程.
【详解】
解：由题可知1+x+x(1+x)=100,
故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,认真审题,找到等量关系是解题关键.
2．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一
横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根
据题意，列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】
解：如图，设小道的宽为 ，
则种植部分的长为 ，宽为
由题意得： ．
故选C．
【点睛】
考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长
与宽是解决本题的关键．
3．一棵树主干长出若干个枝干，每个枝干又长出枝干数两倍的小分支，主干、枝干和小分支共 个，则
主干长出的枝干数是( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【解析】
【分析】
设主干长出x根枝干，根据主干、枝干和小分支总数共56根，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论．
【详解】
解：设主干长出x根枝干，
依题意，得：1+x+2x2=56，
解得：x=5，x= (不合题意，舍去)．
1 2
故选：A．【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．
要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为( )
A．x2+100x﹣400＝0 B．x2﹣100x﹣400＝0
C．x2+50x﹣100＝0 D．x2﹣50x﹣100＝0
【答案】C
【解析】
【分析】
如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为(40+2x)和(60+2x)，根据总面积即可列出方程．
【详解】
解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为(60+2x)和(40+2x)，
根据题意可得出方程为：(60+2x)(40+2x)＝2800，
整理得：x2+50x﹣100＝0，
故选C．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知面积的公式.
5．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万
人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的
年平均下降率为 ，根据题意列方程得( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
等量关系为：2016年贫困人口 年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【详解】
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 ，根据题意得：
，
故选B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为
x，则由题意列方程应为( )
A．200(1+x)2＝1000 B．
200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+(1+x)+(1+x)2]＝1000
【答案】D
【解析】
【分析】
根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200(1+x)，三月为200(1+x)2，三个月相加即得第一季度的营业
额．
【详解】
解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×(1+x)，
∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)＝200×(1+x)2，
∴可列方程为200+200×(1+x)+200×(1+x)2＝1000，
即200[1+(1+x)+(1+x)2]＝1000．
故选D．
【点睛】
此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和．
7．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方
程为_____．
【答案】x(x﹣1)＝110
【解析】
【分析】设这个小组有 人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人
要送 －1张贺卡，所以全组共送 ( －1)张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列
出方程即可．
【详解】
设这个小组有x人，则每人应送出x−1张贺卡，由题意得：
x(x−1)＝110，
故答案为x(x−1)＝110.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
8．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年
屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【答案】20%
【解析】
【详解】
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答
案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×(1+x)2=2880
解得：x=20%，x=-220%(舍去)
1 2
故答案为20%．
9．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
【答案】20%
【解析】
【分析】
解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×(1-每次降价的百分率)2=现在价格，设出未知数，列方程解答
即可．
【详解】
设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
125(1−x)2=80
解得：x=0.2=20%，x=1.8(不合题意，舍去)
1 2
故答案为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键．
10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.
【答案】11
【解析】
【分析】
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得： x(x-1)=55，
整理，得：x2-x-110=0，
解得：x=11，x=-10(不合题意，舍去)．
1 2
答：参加酒会的人数为11人．
故答案为11.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传
染后共有64人患病．
(1)求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；
(2)如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？
【答案】(1)每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；(2)第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【解析】
【分析】
(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出关
于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)利用经过两轮传染后的人数乘以每轮平均传染人数，即可求出结论．
【详解】
(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人．
依题意，得 ，
解得 (不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人．
(2) (个)．
答：第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是
361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】(1)每个月生产成本的下降率为5%；(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【解析】
【分析】
(1)设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解
之取其较小值即可得出结论；
(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率)，即可得出结论．
【详解】
(1)设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400(1﹣x)2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95(不合题意，舍去)．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为5%；
(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元)，
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
题组B 能力提升练
1．如图， 是一面长 米的墙，用总长为 米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地 ，中间用栅
栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为 平方米，则 的长为________米．
【答案】
【解析】
【分析】由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意
可得方程x(32-4x)=60，解此方程即可求得x的值，又由AB=32-4x(米)，即可求得AB的值，注意EF是一
面长18米的墙，即AB＜18米．
【详解】
解：∵与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，
∴BC=MN=PQ=x米，
∴AB=32-AD-MN-PQ-BC=32-4x(米)，
根据题意得：x(32-4x)=60，
解得：x=3或x=5，
当x=3时，AB=32-4x=20＞18(舍去)；
当x=5时，AB=32-4x=12(米)，
∴AB的长为12米．
故答案为12．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．
2．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，
并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通
道的宽度应是多少米？
【答案】人行道的宽度为2米
【解析】
【分析】
人行道的宽度为x米，则每块矩形绿地的长度为： 米，宽度为：(8-2x)米，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解即可．
【详解】
解：根据题意，得 ，
整理得 ．
解得 ， ．
∵ 不符合题意，舍去，
．
答：人行通道的宽度是2米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程法应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
3．如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相
等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？
【答案】1米
【解析】
【分析】
设道路宽为x米，根据题意列出一元二次方程即可求出结论．
【详解】
解：设道路宽为x米，依题意得：
解得 (不合题意，舍去)
答：道路宽为1米．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
4．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长
15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，(1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
(2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】(1)鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m；(2)不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
(1)设BC=xm，则AB=(33-3x)m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一
元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入(33-3x)中，取使得(33-3x)小于等于15的值即可得出结论；
(2)不能，理由如下，设BC=ym，则AB=(33-3y)m，同(1)可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式
△=-111＜0，即可得出结论．
【详解】
解：(1)设BC=xm，则AB=(33-3x)m，
依题意，得：x(33-3x)=90，
解得：x=6，x=5．
1 2
当x=6时，33-3x=15，符合题意，
当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m．
(2)不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=(33-3y)m，
依题意，得：y(33-3y)=100，
整理，得：3y2-33y+100=0．
∵△=(-33)2-4×3×100=-111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，
围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另
外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m
【解析】
【分析】
设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为(69+1﹣2x)m，根据茶园的面积为600m2，列出方
程并解答．
【详解】
设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为(69+1﹣2x)m，
根据题意，得x(69+1﹣2x)＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x＝15，x＝20，
1 2
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
题组C 培优拔尖练
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：(1)设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为(40﹣x)cm．就可以表示出这两个正方形的面
积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
(2)设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为(40﹣m)cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两
个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为 cm，两个正方形面积之和为 cm2，则 ，(其中 )，当 时， ，解这个方程，得 ，
，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
(2)两正方形面积之和为48时， ， ，∵
， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李
明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
2．已知两条线段长分别是一元二次方程 的两根，
(1)解方程求两条线段的长．
(2)若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积．
(3)若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积．
【答案】(1)2和6；(2) ；(3)
【解析】
【分析】
(1)求解该一元二次方程即可;
(2)先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
(3)设分为两段分别是 和 ，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.
【详解】
解：(1)由题意得 ，
即： 或 ，
∴两条线段长为2和6；
(2)由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：
∴此等腰三角形面积为 = ．(3)设分为 及 两段
∴ ，
∴ ，
∴面积为 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答
本题的关键.
3．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个
矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2, 求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的
粗细)，求花园面积S的最大值.
【答案】(1)12m或16m；(2)195m2.
【解析】
【分析】
(1)根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值；
(2)根据题意列出S和x的函数关系熟，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值.
【详解】
(1)∵AB=xm，则BC=(28﹣x)m，
∴x(28﹣x)=192，
解得：x=12，x=16，
1 2答：x的值为12m或16m
(2)∵AB=xm，
∴BC=28﹣x，
∴S=x(28﹣x)=﹣x2+28x=﹣(x﹣14)2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28-x≥15，x≥6
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣(13﹣14)2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分
为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
(1)求A社区居民人口至少有多少万人？
(2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，
B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平
均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了 m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，
两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．
【答案】(1)A社区居民人口至少有2.5万人；(2)m的值为50．
【解析】
【分析】
(1)设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等
式求解即可；
(2)A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．
【详解】
解：(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区有(7.5-x)万人，
依题意得：7.5-x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
(2)依题意得：1.2(1+m%)2+1.5×(1+ m%)+1.5×(1+ m%)(1+2m%)=7.5×92%，解得m=50
答：m的值为50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关
系，列出不等式或方程．
5．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓
地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全
用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方
形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．(注：
每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余)
(1)求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？
(2)实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了 ，铺满B
种地砖的公寓套数增加了 ，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在(1)问的基础上降低了 ，
但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了 ，求a的值．
【答案】(1)A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A种地砖的数量
及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为(x+40)元，根
据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可；
(2)根据等量关系： 购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的方
程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可．
【详解】
(1)一套公寓用A种地砖需要： 块
一套公寓用B种地砖需要： 块
设B种地砖每块的进价为x元
由题可得：
解得：
元故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元．
(2)由题可得：
整理得：
解得然： ．
∵ ，
∴
