文档内容
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
教学目标：掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．
教学重难点：垂径定理的综合应用
知识点一：圆的轴对称性
圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
例题．下列命题中，正确的是（ ）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴
【分析】根据圆的有关基本概念，结合图形，逐一判断．
【解答】解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误；
B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误；
C，对称轴为直线，直径只是线段，错误；
D，结合上述分析可知，此项正确．
故选D．
【点评】本题考查了圆的对称性知识及对称的概念，正确理解其含义是解题的关键．
变式1．下列语句中，不正确的是（ ）
A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
【分析】根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解．
【解答】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对
称图形，正确；
B、正确；
C、根据A知错误；
D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确．
故选C．
【点评】理解圆的对称性是解题的关键．
变式2．下列结论正确的是（ ）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与直径相交的直线是圆的对称轴
【分析】利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判断．
【解答】解：A、经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A正确；
B、直径所在的直线为圆的对称轴，所以B错误；
C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，所以C错误；
D、与直径相交的圆心的直线是圆的对称轴，所以D错误．故选A．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．
知识点二：垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
例题．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD= AB=4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC﹣OD即可得
到DC．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD= =3，∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
【分析】根据垂径定理，可得答案．
【解答】解：连接OC ，
由题意，得
OE=OB﹣AE=4﹣1=3，
CE=ED= = ，
CD=2CE=2 ，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．变式 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则 CD 的长为
（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6
可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=
OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= ，所以CD=2CH=2 ．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定
理以及含30度的直角三角形的性质．
变式3．如图．⊙O的直径AB垂直弦CD于E点，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
【分析】根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA=22.5°，再根据三角形外角的性质可得∠COE=45°，然后利用
三角函数可得CE的长，再根据垂径定理可得答案．
【解答】解：∵CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA=22.5°，
∴∠COE=45°，
∵CD⊥AB，∴∠CEO=90°，CD=2CE，
∴CE=EO，
∴CE=CO•sin45°=4× =2 ，
∴CD=4 ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂径定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
变式4．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，CD=2 ，BD= ，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接OD，利用吹径定理求得HD的长，在直角△BDH中，利用勾股定理求得BH的长，然后设
半径是r，在直角△OHD中利用勾股定理列方程求得半径，则直径即可求得．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴DH= CD= ×2 = ．
∴在直角△BDH中，BH= =1，
则OH=OB﹣BH=r﹣1，
在△ODH中，OD2=HD2+OH2，则r2=（ ）2+（r﹣1）2，
解得：r= ，
则AB=3．
故选B．
【点评】本题考查了吹径定理的应用和勾股定理，正确根据勾股定理列方程是关键．
变式5．如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】最短弦是过A点垂直于OA的弦．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：由垂径定理得，该弦应该是以OA为中垂线的弦BC．
连接OB．
已知OB=5，OA=3，由勾股定理得AB=4．
所以弦BC=8．
故选C．【点评】此题主要考查了学生对垂径定理及勾股定理的理解运用．
变式6．A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】连接OA，作弦CD⊥OA，则CD是过点A的最短的弦．运用垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，作弦CD⊥OA，则CD是过点A的最短的弦．
连接OC，运用垂径定理和勾股定理求得弦长是8．
∴8≤弦＜10，即过点A的最短整数弦有8、9（2条对称的）共三条．
所以过点A且长小于10的弦有3条．
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，正确作出过圆内一点的最短的弦，结合勾股定理和垂径
定理进行计算．
变式7．如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP
于E、F两点，则线段EF的长是 6 cm．【 分 析 】 过 O 点 作 OH⊥EF 于 H ， 连 OF ， 根 据 垂 径 定 理 得 EH=FH ， 在 Rt△AOH 中 ，
AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到OH= OA=4，再利用勾股定
理计算出HF，由EF=2HF得到答案．
【解答】解：过O点作OH⊥EF于H，连OF，如图
则EH=FH，
在Rt△AOH中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°，
则OH= OA=4，
在Rt△OHF中，OH=4，OF=5，
则HF= =3，
则EF=2HF=6cm．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了含30度的直角三
角形三边的关系以及勾股定理．
拓展点一：垂径定理及其推论的简单应用例题．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于E，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOC=∠AOD B．BE=OE C．CE=DE D．AC=AD
【分析】根据等腰三角形性质求出∠COB=∠DOB，根据邻补角即可求出∠AOC=∠AOD，根据垂径定理即
可求出CE=DE，根据线段垂直平分线即可求出AC=AD．
【解答】解：A、∵AB⊥CD，OC=OD，
∴∠COB=∠DOB，
∴∠AOC+∠COB=180°，∠AOD+∠DOB=180°，
∴∠AOC=∠AOD，故本选项错误；
B、根据已知不能推出BE=OE，故本选项正确；
C、∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CE=DE，故本选项错误；
D、∵AB⊥CD，AB过O，
∴CE=DE，
∴AC=AD，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，线段垂直平分线性质的应用，能熟记定理的内容是解
此题的关键．变式1．已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是（ ）
A．弦CD一定是⊙O的直径 B．点O到AC、BC的距离相等
C．∠A与∠ABD互余D．∠A与∠CBD互补
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及线段垂直平分线的性质对各个选项进行判
断即可．
【解答】解：∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴弦CD一定是⊙O的直径，A正确；
点O到AC、BC的距离相等，B正确；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，即∠ABC+∠ABD=90°，又∠ABC=∠A，
∴∠A与∠ABD互余，C正确；
∵A、C、B、D四点共圆，
∴∠CAD与∠CBD互补，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，掌握相
关定理、灵活运用定理是解题的关键．
变式2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为
（ ）A．2 B．3或4 C．1 D．1或7
【分析】连接OC、OA，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据
勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，连接 OA，OC．作直线 EF⊥AB 于 E，交 CD 于 F，则 EF⊥CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE= AB=4，CF= CD=3，
根据勾股定理，得
OE= = =3，OF= = =4，
所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF﹣OE=1，
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情
况．
变式3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ）A．OE=BE B． =
C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
【分析】根据垂径定理判断即可．
【解答】解：∵AB⊥CD，AB过O，
∴DE=CE， = ，
根据已知不能推出OE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
变式4．如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD=4，EM=6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC=R，OM=6﹣R，根据垂径定理求出CM，根据勾
股定理得出方程，求出即可．【解答】解：
连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC=R，OM=6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD=4，
∴CM=DM=2，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（6﹣R）2+22，
R= ，
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．
变式5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD=30°，下列结论：①AE=BE；②OE=DE；
③AB=BC；④BE= DE．其中正确的是（ ）
A．① B．①②③ C．①③ D．①②③④
【分析】根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE，故①正确；
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴OE=DE，BE= DE，故②④正确；
连接AC，∵∠ACB=2∠BCD=60°，
又∵AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，故③正确．
故选D．
【点评】此题考查了垂径定理．此题难度不大，注意掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
分弦所对的两条弧．
变式5．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC=（ ）A． B．4 C．3 D．
【分析】根据相交弦定理列方程求解．
【解答】解：设OC=x，利用圆内相交弦定理可得：2×6=（5﹣x）（5+x）
解得x= ．
故选A．
【点评】圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等．
变式6．如图，过⊙O内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．6cm B． cm C． cm D．9cm
【分析】过M的最长弦应该是⊙O的直径，最短弦应该是和 OM垂直的弦（设此弦为CD）；可连接
OM、OC，根据垂径定理可得出CM的长，再根据勾股定理即可求出OM的值．
【解答】解：连接OM交圆O于点B，延长MO交圆于点A，
过点M作弦CD⊥AB，连接OC
∵过圆O内一点M的最长的弦长为12cm，最短的弦长为8cm，
∴直径AB=12cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，
∴CM=MD= CD=4cm．
在Rt△OMC中，OC= AB=6cm；
∴OM= = =2 cm．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
拓展点二：垂径定理在实际生活中的应用
例题．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10cmB．16cmC．24cmD．26cm
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC= =12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
变式1．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米D．15米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．
连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD=6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
故选：A．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行
有关的计算．
变式 2．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为6m，桥拱半径 OC 为4m，则水面宽 AB 为
（ ）
A． mB．2 m C．4 m D．6 m
【分析】连接 OA，根据桥拱半径 OC 为 4m，求出 OA=4m，根据 CD=6m，求出 OD=2m，根据 AD=
求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵桥拱半径OC为4m，
∴OA=4m，
∵CD=6m，
∴OD=6﹣4=2m，
∴AD= = =2 m，∴AB=2AD=2×2 =4 （m）；
故选C．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
变式3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面上升
1m，油面宽度为8m，圆柱形油槽的直径为（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
【分析】如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为
E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理得AE= AB=3m，CF= CD=4m，设OE=xm，则OF=（x
﹣1）m，在Rt△OAE中和Rt△OCF中，根据勾股定理求得OA、OC的长度，然后由OA=OC，列方程求x
即可求半径OA，得出直径MN．
【解答】解：如图，依题意得AB=6m，CD=8m，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接
OA，OC，
由垂径定理，得AE= AB=3m，CF= CD=4m，设OE=xm，则OF=（x﹣1）m，
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，
∵OA=OC，
∴32+x2=42+（x﹣1）2，
解得x=4，
∴半径OA= =5（m），
∴直径MN=2OA=10m．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径
的平方，根据半径相等列方程求解．
变式4．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不
知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD
为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为 2 6 ．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE= AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，
解得：r=13，
所以CD=2r=26，
即圆的直径为26．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．
易错点：解决平行弦问题时，因考虑问题不全面而造成漏解
例题．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（
）
A．2 cm B．4 cm C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= = =3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC= = =4 cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC= = =2 cm．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为（
）
A．2 B．3或4 C．1 D．1或7
【分析】连接OC、OA，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据
勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，连接 OA，OC．作直线 EF⊥AB 于 E，交 CD 于 F，则 EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE= AB=4，CF= CD=3，
根据勾股定理，得
OE= = =3，OF= = =4，
所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF﹣OE=1，
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情
况．
