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2019年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1
1. - 的倒数是（ ）
2
1
A. -2 B. C. 2 D. 1
2
2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值（GDP）为900300亿元．用科学记
数法表示900300亿是（ ）
A. 9.003×1012 B. 90.03×1012 C. 0.9003×1014 D. 9.003×1013
4. 下列运算正确的是（ ）
A. (-2a) 2=-4a2 B. (a+b) 2=a2+b2
C. (a5 ) 2=a7 D. (-a+2)(-a-2)=a2-4
k
5. 若函数y= 与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx+b的大致图象为（ ）
x
A. B.
C. D.
{5x+2＞3(x-1)
6. 不等式组 1 3 的所有非负整数解的和是（ ）
x-1≤7- x
2 2
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B. 平分弦的直径垂直于C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足
五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，
绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现
设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（ ）
{y-x=4.5 {x- y=4.5 {x- y=4.5 {y-x=4.5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
y- x=1 y- x=1 x- y=1 x- y=1
2 2 2 2
9. 如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则
∠ADC的度数是（ ）
A. 130∘ B. 140∘ C. 150∘ D. 160∘
1 1
10. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，乙中有三张
4 2
标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：
从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．
若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；
否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ）
2 5 4 1
A. B. C. D.
3 9 9 3
y - y
2 1
11. 在下列函数图象上任取不同两点P（x，y）、P（x，y），一定能使 ＜0
1 1 1 2 2 2 x -x
2 1
成立的是（ ）
A. y=3x-1(x<0) B. y=-x2+2x-1(x>0)
√3
C. y=- (x>0) D. y=x2-4x-1(x<0)
x
12. 如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，
CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长
1
CB至G，使BG= BC，连接CM．有如下结论：①DE=AF；
2
√2
②AN= AB；③∠ADF=∠GMF；④S ：S =1：8．上
4 △ANF 四边形CNFB
述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13. |x-3|=3-x，则x的取值范围是______．
6 3
14. 方程 - =1的解为______．
(x+1)(x-1) x-1
15. 如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这
时测得∠ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶
端A下移到C，这时又测得∠CDO=50°，那么AC的长度约为
______米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，
cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
16. 已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]=4，[-0.8]=-1．现定义：{x}=x-
[x]，例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}=______．
⏜ ⏜
17. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E， = ，
AB BF
CE=1，AB=6，则弦AF的长度为______．
k
18. 如图，点A、A、A…在反比例函数y= （x＞0）的图象上，点A、A、A……在
1 3 5 x 2 4 6
k
反比例函数y=- （x＞0）的图象上，∠OAA=∠AAA=∠AAA=…=∠α=60°，
x 1 2 1 2 3 2 3 4
且OA=2，则A（n为正整数）的纵坐标为______．（用含n的式子表示）
1 n
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养
浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书
馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进
馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平
均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）
2 1 m2+n2 5n m 2n
20. 先化简，再求值：（ - ）÷（ - ）•（ + +2），其中√m+1+
m n mn m 2n m
（n-3）2=0．
21. 《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良
好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质
健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行
分析．成绩如下：
七年级80 74 83 63 90 91 74 61 82 62
八年级74 61 83 91 60 85 46 84 74 82
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
优秀
良好 及格 不及格
七年级 2 3 5 0
八年级 1 4 ______ 1
分析数据：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 76 74 77
八年级 ______ 74 ______
（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级
达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．22. 如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=2√3．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．
要求：写出作法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．
23. 下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．
收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.1
B 50 50 0.1
C 100 不限时
（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y，y，y都是x的函
1 2 3
数，请分别求出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小
王该月的通话时间．
24. （1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接
写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：
GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后
的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．5
25. 如图，抛物线y=mx2- mx-4与x轴交于A（x，0），B
2 1
11
（x，0）两点，与y轴交于点C，且x-x= ．
2 2 1 2
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x，y），Q（x，y）是抛物线上的两点，当
1 1 2 2
9
a≤x≤a+2，x≥ 时，均有y≤y，求a的取值范围；
1 2 2 1 2
（3）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，
动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：- 的到数是-2，
故选：A．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】B
【解析】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其
中不是中心对称的图形．
题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直
线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面
内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．
3.【答案】D
【解析】
解：将900300亿元用科学记数法表示为：9.003×1013．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】
解：（-2a）2=4a2，故选项A不合题意；
（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；
（a5）2=a10，故选项C不合题意；
（-a+2）（-a-2）=a2-4，故选项D符合题意．
故选：D．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
5.【答案】C
【解析】
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，
∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确
定答案即可．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．6.【答案】A
【解析】
解： ，
解不等式①得：x＞-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非
负整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的
根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
7.【答案】C
【解析】
解：A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假
命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故选：C．
A、根据全等三角形的判定方法，判断即可．
B、根据垂径定理的推理对B进行判断；
C、根据平行四边形的判定进行判断；
D、根据平行线的判定进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性
是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8.【答案】B
【解析】
解：设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得 ，
故选：B．
本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长- 绳长=1，据此可列方程组求解．
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准
解．
9.【答案】B
【解析】
解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=40°，
∴∠ADC=140°，故选：B．
根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为 ，
故选：C．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程
根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜
的概率
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．
11.【答案】D
【解析】
解：A、∵k=3＞0
∴y随x的增大而增大，即当x＞x 时，必有y＞y
1 2 1 2
∴当x＜0时， ＞0，
故A选项不符合；
B、∵对称轴为直线x=1，
∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时：当x＞x 时，必有y＞y
1 2 1 2
此时 ＞0，
故B选项不符合；
C、当x＞0时，y随x的增大而增大，
即当x＞x 时，必有y＞y
1 2 1 2
此时 ＞0，
故C选项不符合；
D、∵对称轴为直线x=2，
∴当x＜0时y随x的增大而减小，
即当x＞x 时，必有y＜y
1 2 1 2
此时 ＜0，
故D选项符合；
故选：D．
根据各函数的增减性依次进行判断即可．本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一
一分析，有点难度．
12.【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE=AF；故①正确；
∵AB∥CD，
∴ = ，
∵AF：FB=1：2，
∴AF：AB=AF：CD=1：3，
∴ = ，
∴ = ，
∵AC= AB，
∴ = ，
∴AN= AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC= a，
由△CMD∽△CDE，可得CM= a，
由△GHC∽△CDE，可得CH= a，
∴CH=MH= CM，
∵GH⊥CM，
∴GM=GC，
∴∠GMH=∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FEG=∠DCE，
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF；故③正确，
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，∴ = = ，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴S ：S =1：11，故④错误，
△ANF 四边形CNFB
故选：C．
①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC= a，通过计算
证明MH=CH即可解决问题．
④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出 = = ，△AFN∽△CDN，推出
△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此
即可判断．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴
题．
13.【答案】x≤3
【解析】
解：3-x≥0，
∴x≤3；
故答案为x≤3；
根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3-x≥0，即可求解；
本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
14.【答案】x=-4
【解析】
解： - =1，
=1，
=1，
=1，
x+1=-3，
x=-4，
经检验x=-4是原方程的根；
故答案为x=-4；
根据分式方程的解法，先将式子通分化简为 =1，最后验证根的情况，进而求解；
本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，勿遗漏验根环节是解题的关键．
15.【答案】1.02
【解析】
解：由题意可得：
∵∠ABO=70°，AB=6m，
∴sin70°= = ≈0.94，解得：AO=5.64（m），
∵∠CDO=50°，DC=6m，
∴sin50°= ≈0.77，
解得：CO=4.62（m），
则AC=5.64-4.62=1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．
16.【答案】0.7
【解析】
解；根据题意可得：{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7，
故答案为：0.7
根据题意列出代数式解答即可．
此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．
48
17.【答案】
5
【解析】
解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE= AB=3，
设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，
在Rt△OAE中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，
∵ = ，
∴OB⊥AF，AG=FG，
在Rt△OAG中，AG2+OG2=52，①
在Rt△ABG中，AG2+（5-OG）2=62，②
解由①②组成的方程组得到AG= ，
∴AF=2AG= ．
故答案为 ．
连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE=BE=3，设⊙O的半径为r，则
OE=r-1，OA=r，根据勾股定理得到32+（r-1）2=r2，解得r=5，再利用垂径定理得到
OB⊥AF，AG=FG，则AG2+OG2=52，AG2+（5-OG）2=62，然后解方程组求出AG，从而得到
AF的长．
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
18.【答案】（-1）n+1√3（√n-√n-1）
【解析】
解：过A 作AD⊥x轴于D，
1 1 1 1
∵OA=2，∠OAA=∠α=60°，
1 1 2
∴△OAE是等边三角形，
1∴A（1， ），
1
∴k= ，
∴y= 和y=- ，
过A 作AD⊥x轴于D，
2 2 2 2
∵∠AEF=∠AAA=60°，
2 1 2 3
∴△AEF是等边三角形，
2
设A（x，- ），则AD= ，
2 2 2
Rt△EAD 中，∠EAD=30°，
2 2 2 2
∴ED= ，
2
∵OD=2+ =x，
2
解得：x=1- （舍），x=1+ ，
1 2
∴EF= = = =2（ -1）=2 -2，
AD= = = ，
2 2
即A 的纵坐标为- ；
2
过A 作AD⊥x轴于D，
3 3 3 3
同理得：△AFG是等边三角形，
3
设A（x， ），则AD= ，
3 3 3
Rt△FAD 中，∠FAD=30°，
3 3 3 3
∴FD= ，
3
∵OD=2+2 -2+ =x，
3
解得：x= （舍），x= + ；
1 2
∴GF= = =2（ - ）=2 -2 ，
AD= = = （ - ），
3 3
即A 的纵坐标为 （ - ）；
3
…
∴A（n为正整数）的纵坐标为：（-1）n+1 （ ）；
n故答案为：（-1）n+1 （ ）；
先证明△OAE是等边三角形，求出A 的坐标，作高线AD，再证明△AEF是等边三角
1 1 1 1 2
形，作高线AD，设A（x，- ），根据OD=2+ =x，解方程可得等边三角形的边
2 2 2 2
长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A、A、A…在x轴的上
1 3 5
方，纵坐标为正数，点A、A、A……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（-1）
2 4 6
n+1来解决这个问题．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形
30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问
题．
19.【答案】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2=608
化简得：4x2+12x-7=0
∴（2x-1）（2x+7）=0，
∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
27
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128× =432＜500
8
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【解析】
（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第
二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比
较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档
题．
2 1 m2+n2 5n m 2n
20.【答案】解：（ - ）÷（ - ）•（ + +2）
m n mn m 2n m
2n-m m2+n2-5n2 m2+4n2+4mn
= ÷ •
mn mn 2mn
2n-m mn (m+2n) 2
= • •
mn (m+2n)(m-2n) 2mn
m+2n
=- ．
2mn
∵√m+1+（n-3）2=0．
∴m+1=0，n-3=0，
∴m=-1，n=3．
m+2n -1+2×3 5
∴- =- = ．
2mn 2×(-1)×3 6
5
∴原式的值为 ．
6
【解析】
先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．
本题是分式化简求值题，需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算．
21.【答案】74 78
【解析】
解：（1）八年级及格的人数是4，平均数=
，中位数= ；
故答案为：4；74；78；
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×
人；
（3）根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好．
（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据数据调查信息解答即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以
及用样本估计总体是解题的关键．
22.【答案】解：（1）如图，
（2）已知：如图，∠BPD=120°，点
A、C分别在射线PB、PD上，
∠PAC=30°，AC=2√3，过A、C分别作
PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA
为半径作⊙O，OA⊥PB，
求证：PB、PC为⊙O的切线；
证明：∵∠BPD=120°，PAC=30°，
∴∠PCA=30°，
∴PA=PC，
连接OP，
∵OA⊥PA，PC⊥OC，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵OP=OP，
∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）
∴OA=OC，
∴PB、PC为⊙O的切线；
（3）∵∠OAP=∠OCP=90°-30°=60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA=AC=2√3，∠AOC=60°，
∵OP平分∠APC，
∴∠APO=60°，
√3
∴AP= ×2√3=2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积=S -S
3 四边形APCO 扇形
1 60⋅π⋅(2√3) 2
=2× ×2√3×2- =4√3-2π．
AOC 2 360
【解析】
（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；
（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根
据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA=AC=2 ，∠AOC=60°，再计算出AP=2，然
后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积进行计算．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结
合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周
角定理和扇形面积公式．
85 85 175 175
23.【答案】0≤x≤ ≤x≤ x＞
3 3 3 3
【解析】
解：（1）∵0.1元/min=6元/h，
∴由题意可得，
y= ，
1
y= ，
2
y=100（x≥0）；
3
（2）作出函数图象如图：
结合图象可得：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为：0≤x≤ ，
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为： ≤x≤ ，
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为：x＞ ．
故答案为：0≤x≤ ， ≤x≤ ，x＞ ．
（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，∴结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，
将y=80分别代入y= ，可得
2
6x-250=80，
解得：x=55，
∴小王该月的通话时间为55小时．
（1）根据题意可以分别写出y、y、y 关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的
1 2 3
取值范围；
（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；
（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y=81代入y 关于
2
x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】解：（1）连接AG，
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，
∴∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，
OG √3
∴ =cos30°= ，
GN 2
∵GC=2OG，
GN 1
∴ = ，
GC √3
∵HGND为平行四边形，
∴HD=GN，
∴HD：GC：EB=1：√3：1．
（2）如图2，连接AG，AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，
∴AD：AC=AH：AG=1：√3，∠DAC=∠HAG=30°，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1：√3，
∵∠DAB=∠HAE=60°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，
{
AD=AB
∠DAH=∠BAE∴△DAH≌△BAE（SAS）
AH=AE
∴HD=EB，
∴HD：GC：EB=1：√3：1．（3）有变化．
如图3，连接AG，AC，
∵AD：AB=AH：AE=1：2，∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC=AH：AG=1：√5，
∵∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1：√5，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：AB=HA：AE=1：2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=1：2，
∴HD：GC：EB=1：√5：2
【解析】
（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，易得A，
G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则
GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与
△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得
结论．
本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．
b 5 x +x 11
25.【答案】解：（1）函数的对称轴为：x=- = = 1 2，而且x-x= ，
2a 4 2 2 1 2
3
将上述两式联立并解得：x=- ，x=4，
1 2 2
3 3
则函数的表达式为：y=a（x+ ）（x-4）=a（x2-4x+ x-6），
2 2
2
即：-6a=-4，解得：a= ，
3
2 5
故抛物线的表达式为：y= x2- x-4；
3 39
（2）当x= 时，y=2，
2 4 2
5 3
①当a≤a+2≤ 时（即：a≤- ），
4 4
2 5
y≤y，则 a2- a-4≤2，
1 2 3 3
9 3
解得：-2≤a≤- ，而a≤- ，
2 4
3
故：-2≤a≤- ；
4
5 5
②当 ≤a≤a+2（即a≥ ）时，
4 4
2 5
则 （a+2）2- （a+2）-4≤2，
3 3
3 5
同理可得：- ≤a≤ ，
4 4
5
故a的取值范围为：-2≤a≤ ；
4
（3）∵当∠BDC=∠MCE，△MDC为等腰三角形，
故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，
1 9
点H（ ，- ），
2 2
将点C、D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：
直线CD的表达式为：y=-x-4，
5 20
同理可得：直线BD的表达式为：y= x- …①，
3 3
直线DC⊥MH，则直线MH表达式中的k值为1，
同理可得直线HM的表达式为：y=x-5…②，
5
联立①②并解得：x= ，
2
5 5
故点M（ ，- ）．
2 2
【解析】
（1）函数的对称轴为：x=- = = ，而且x-x= ，将上述两式联立并解得：
2 1
x=- ，x=4，即可求解；
1 2（2）分a≤a+2≤ 、 ≤a≤a+2两种情况，分别求解即可；
（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件
的点，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等，其中（2），
要注意分类求解，避免遗漏．
