文档内容
§8.6 直线与椭圆
考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解
直线与椭圆相交的综合问题．
知识梳理
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆
相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝|x－x|＝
1 2
或|AB|＝|y－y|＝，k为直线斜率且k≠0.
1 2
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦AB，A(x ，y)，B(x ，y)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x ＋x)；过右焦点弦CD，
1 1 2 2 1 2
C(x，y)，D(x，y)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x＋x)．(e为椭圆的离心率)
3 3 4 4 3 4
(3)A，A 为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A，A 的任一点，则 .
1 2 1 2
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则k ·k ＝－.
OM AB
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k ·k ＝－.
PA PB
(6)点P(x，y)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
0 0
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ )
(2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．( √ )
(3)直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.( × )
(4)过椭圆上两点A(x，y)，B(x，y)的直线的斜率k＝.( × )
1 1 2 2
教材改编题
1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案 A解析 方法一 (通解)联立直线与椭圆的方程得
消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．
方法二 (优解)直线过点(0,1)，而0＋＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆
相交．
2．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(
)
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以右焦点坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立
消y得，5x2－8x＋8＝0，
则x＋x＝，x·x＝，
1 2 1 2
所以|AB|＝·
＝×＝.
即弦AB的长为.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方
程为________．
答案 ＋x2＝1
解析 因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，
所以b＝1，
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1.
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－30，得k2>.
所以k>或k<－，
所以k的取值范围为∪.题型二 弦长及中点弦问题
命题点1 弦长问题
例2 (2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点
P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．
解 (1)∵e2＝＝＝，
∴a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，
∴＋＝1，
∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，
点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立
整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2.
∴x＋x＝－2m，xx＝2m2－4.
1 2 1 2
则|AB|＝×
＝＝，
解得m＝±.
所求直线l的方程为y＝x±.
命题点2 中点弦问题
例3 已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所
在的直线方程为__________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线
与椭圆相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x＋x＝，
1 2
又∵x＋x＝2，
1 2
∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0，
∵x＋x＝2，y＋y＝2，
1 2 1 2
∴＋y－y＝0，
1 2
又x－x≠0，∴k＝＝－.
2 1
经检验，k＝－满足题意．
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
教师备选
已知直线l与椭圆＋＝1相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积．
解 (1)由斜率公式可知k ＝1，
OP
设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
代入椭圆方程得到，
⇒＋＝0，
化简得到－×＝＝k ，
AB
∵x＋x＝2，y＋y＝2，
1 2 1 2
∴k ＝－，
AB
∴直线方程为y－1＝－(x－1)，
∴直线l的方程为3x＋4y－7＝0.
(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x2－42x＋1＝0，
Δ＝422－4×21>0，
∴x＋x＝2，xx＝.
1 2 1 2
由弦长公式得到
|AB|＝|x－x|
1 2
＝×＝×＝，
再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB的距离d＝＝，
∴△OAB的面积S＝××＝.
思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
跟踪训练2 (1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，
若P为AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0
C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0
答案 B
解析 设点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由中点坐标公式可得
所以
由
①－②得＋＝0，
即＝－，
即·＝k ＝－，
AB
所以k ＝－，
AB
因此直线AB的方程为y－＝－(x－1)，
即3x＋2y－4＝0.
(2)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F，F，过原点的直线l与E交于A，B两点，且
1 2
AF，BF 都与x轴垂直，则|AB|＝________.
1 2
答案
解析 由题意得c2＝a2－b2＝4－3＝1，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以
A与B关于原点对称，又AF，BF 都与x轴垂直，
1 2
所以设A(－1，y)，B(1，－y)，
1 1
则|AB|＝＝.又点A在椭圆E上，
所以＋＝1，
得y＝，
则|AB|＝＝.
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线
l的方程．
解 (1)由题意可得
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知直线的斜率不为0，
则设直线的方程为x＝my＋1，A(x，y)，
1 1
B(x，y)．
2 2
联立
整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
则y＋y＝－，
1 2
yy＝－，
1 2
故|y－y|＝
1 2
＝
＝，
因为△ABO的面积为，
所以|OP||y－y|＝×1×
1 2
＝＝，
设t＝≥，
则＝，
整理得(3t－1)(t－3)＝0，
解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±.
故直线的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
教师备选
(2020·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其
中O为原点．(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3OC＝OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆
相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
解 (1)由已知可得b＝3，记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，
所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立方程组
消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为.
由3OC＝OF，得点C的坐标为(1,0)，
故直线CP的斜率为＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3，
即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和
椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建
立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
跟踪训练3 已知椭圆C的两个焦点分别为F(－1,0)，F(1,0)，短轴的两个端点分别为B ，
1 2 1
B.
2
(1)若△FBB 为等边三角形，求椭圆C的方程；
1 1 2
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F 的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直
2
线l的方程．
解 (1)由题意知，△FBB 为等边三角形，
1 1 2
所以c＝b，又c＝1，所以b＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝，
故椭圆C的方程为＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
F1P＝(x＋1，y)，
1 1
F1Q＝(x＋1，y)，
2 2
因为F1P⊥F1Q，
所以F1P·F1Q＝0，
即(x＋1)(x＋1)＋yy
1 2 1 2
＝xx＋(x＋x)＋1＋k2(x－1)(x－1)
1 2 1 2 1 2
＝(k2＋1)xx－(k2－1)(x＋x)＋k2＋1
1 2 1 2
＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
课时精练
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0，
得m>1且m≠3.
2．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 直线AB的斜率k＝＝－1，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
代入椭圆方程可得＋＝1，
＋＝1，
两式相减，整理得－＝0，
又c＝3，a2＝b2＋c2.
联立解得a2＝18，b2＝9.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
3．(多选)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(
)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案 AB
解析 由消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
Δ＝16m2－12(2m2－2)
＝－8m2＋24>0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，xx＝.
1 2 1 2
由题意，
得|AB|＝＝，
解得m＝±1，满足题意．
4．已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A．2 B.
C．4 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为
＝
＝＝，
所以当y＝－时，弦长最大为.
5．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
答案 BD
解析 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k ·k ＝－＝－2≠－1，所以
AB OM
A项不正确；
对于B项，根据k ·k ＝－2，所以k ＝－2，
AB OM AB
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为y＝x＋1，
点M，
则k ·k ＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确；
AB OM
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，
与椭圆方程＋＝1联立，
得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，
整理得3x2＋4x＝0，
解得x＝0，x＝－，
1 2
所以|AB|＝＝，
所以D项正确．
6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两焦点分别是F ，F ，其中|FF|＝2c.直线l：
1 2 1 2
y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有( )
A．△ABF 的周长为4a
2
B．若AB的中点为M，则k ·k＝
OM
C．若AF1·AF2＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝
答案 AC
解析 由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c，0)，知弦AB过椭圆的左焦点F.
1
所以△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|
2 2 2
＝|AF|＋|BF|＋|AF|＋|BF|＝4a，
1 1 2 2
所以A正确；
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则M，
k ＝，k＝，
OM所以k ·k＝·＝，
OM
由
①－②得＋＝0，
所以＝－，
则k ·k＝＝－，
OM
所以B错误；
AF1＝(－c－x，－y)，AF2＝(c－x，－y)，
1 1 1 1
所以AF1·AF2＝x－c2＋y
＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，
则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
可得e＝∈，
所以C正确；
由过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有＝3c，
即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，
所以e＝＝，所以D错误．
7．已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为，
则k＝________.
答案 ±
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由
得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
因为直线l过椭圆内的定点(1,0)，
所以Δ>0，x＋x＝，
1 2
所以＝＝，
即k2＝，所以k＝±.
8．与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．
答案
解析 因为所求椭圆与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为
＋＝1(a＞1)，
联立方程组⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
因为直线l与椭圆相切，
所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，
化简得a4－6a2＋5＝0，
即a2＝5或a2＝1(舍)．则a＝.
又c＝1，所以e＝＝＝.
9．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率
为，且过点.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线
PQ的方程．
解 (1)∵e＝＝＝，
则3a2＝4b2，
将代入椭圆方程得
＋＝1，
解得a＝2，b＝，
∴椭圆M的方程为＋＝1.
(2)设P(x ，y )，Q(x ，y )，
P P Q Q
∵线段PQ的中点恰为点N，
∴x ＋x ＝2，y ＋y ＝2.
P Q P Q
∵＋＝1，＋＝1，两式相减可得
(x ＋x )(x －x )＋(y ＋y )(y －y )＝0，
P Q P Q P Q P Q
∴＝－，
即直线PQ的斜率为－，
∴直线PQ的方程为y－1＝－(x－1)，
即3x＋4y－7＝0.
10．设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为.F为E的右焦点，P为E上一
点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.
(1)求椭圆E和⊙F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－)(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一
象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设E的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题设知＋＝1，＝.
解得a＝2，b＝1，故椭圆E的方程为＋y2＝1.
因此F(，0)，|PF|＝，即⊙F的半径为.
所以⊙F的方程为(x－)2＋y2＝.
(2)由题设可知，A在E外，B在E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在l上的四点A，B，C，D
满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.设C(x，y)，D(x，y)，将l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
1 1 2 2
则x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
|CD|＝
＝＝1＋＞1，
又⊙F的直径|AB|＝1，
所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，
故不存在正数k使|AC|＝|BD|.
11．(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．
在椭圆＋＝1中，过点M(4，0)的所有“好弦”的长度之和为( )
A．120 B．130
C．240 D．260
答案 C
解析 由已知可得a＝8，b＝4，
所以c＝4，故M为椭圆的右焦点，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，
所以当x＝4时，
最短的弦长为＝＝4，
当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，
则弦长的取值范围为[4,16]，
故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，
则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.
12．(2022·江南十校模拟)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直
1 2 1
线与椭圆交于M，N两点，若△MNF 的周长为8，则△MF F 面积的最大值为( )
2 1 2
A. B.
C．2 D．3
答案 B
解析 由椭圆的定义可得△MNF 的周长为
2
|MN|＋|MF |＋|NF |
2 2
＝|MF |＋|NF |＋|MF |＋|NF |＝4a＝8，
1 1 2 2
∴a＝2，则c＝，
则△MF F 面积的最大值为·2c·b＝bc＝.
1 213．(2022·兰州质检)已知P(2，－2)是离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)外一点，经过点P的光
线被y轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是( )
A．－ B．－
C．1 D.
答案 D
解析 由题意可知e＝＝，
又a2＝b2＋c2，故b2＝a2，
设过点P的直线斜率为k，
则直线方程为y＋2＝k(x－2)，
即y＝kx－2k－2，
则反射后的切线方程为y＝－kx－2k－2，
由
得(3＋4k2)x2＋16k(k＋1)x＋16k2＋32k＋16－3a2＝0，
∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
∴Δ＝[16k(k＋1)]2－4(3＋4k2)(16k2＋32k＋16－3a2)＝0，
化简得4a2k2＋3a2＝16k2＋32k＋16，
即
解得
∴此切线的斜率为.
14．(多选)已知O为坐标原点，椭圆T：＋＝1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，
B两点，则下列结论正确的是( )
A．|AB|的最小值为
B．若M(异于点F)为线段AB的中点，则直线AB与OM的斜率之积为－
C．若AF＝－2BF，则直线AB的斜率为±
D．△AOB面积的最大值为3
答案 BC
解析 对于A，易知当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，由椭圆T的方程知F(1,0)，
当x＝1时，y＝±，
所以|AB|的最小值为3，故A错误；
对于B，设A(x，y)，B(x，y)，M(x，y)，x≠x，x≠0，
1 1 2 2 0 0 1 2 0
因为M为线段AB的中点，
所以x＝，y＝，
0 0
又点A，B在椭圆T上，
所以＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－·
＝－·，
所以·＝－，
即直线AB与OM的斜率之积为－，故B正确；
对于C，易知直线AB的斜率存在且不为零，
设直线AB的方程为x＝my＋1，
代入椭圆T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
因为AF＝－2BF，
所以y＝－2y，
1 2
所以y＋y＝－y＝，
1 2 2
则y＝，y＝，
2 1
所以yy＝·＝，
1 2
解得m＝±，
所以直线AB的斜率为±，故C正确；
对于D，△AOB的面积
S＝|OF||y－y|＝|y－y|
1 2 1 2
＝＝，
令＝t，则t≥1，
S＝＝，
因为函数y＝3t＋在t∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，△AOB的面积取得
最大值，且最大值为，故D错误．
15．(多选)已知F ，F 是椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为
1 2 1
椭圆C的离心率，过右焦点 F 的直线 l与椭圆交于 A，B两点，若AF1·BF1＝0,3AF2＝
2
2F2B，|AF|＝2|AF|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k，k，直线
1 2 1 2
BM和直线BN的斜率分别为k，k，则下列结论一定正确的是( )
3 4
A．e＝ B．k＝± C．k·k＝－ D．k·k＝
1 2 3 4
答案 AC
解析 ∵AF1·BF1＝0，
∴AF⊥BF，过点F 作FB的平行线，交AF 于点E，
1 1 2 1 1∴AF⊥EF.设|FA|＝2t，
1 2 2
|FA|＝4t，又3AF2＝2F2B，
1
∴|AB|＝5t，
∵AF⊥BF，∴|FB|＝3t，
1 1 1
∴12t＝4a，∴a＝3t.
∴|BF|＝|BF|＝3t＝a，∴B(0，±b)．
1 2
在△EFF 中，|EF|＝|AF|＝，
1 2 1 1
|EF|＝|BF|＝，
2 1
|FF|＝2c，
1 2
∵|EF|2＋|EF|2＝|FF|2，
1 2 1 2
∴c＝，b＝＝，
椭圆离心率e＝＝，故A正确；
k＝±＝±2，故B错误；
设A(x，y)，易得M(－a，0)，N(a，0)，
则k·k＝·＝
1 2
＝
＝－＝－，
故C正确；
同理k·k＝－＝－，
3 4
故D错误．
16．已知直线l经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭
圆C的左焦点，△ABF的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m
与直线l的交点P在定直线上．
(1)解 由已知得∴
∴b2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明 若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点
P矛盾，∴直线l的斜率存在．
设l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，N(x ，y )．
A A B B M M N N
将直线m的方程代入椭圆方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，
∴x ＋x ＝－，
M N
x x ＝，
M N
∴|MN|2＝(1＋k2)·.
同理，|AB|＝·
＝.
由|MN|2＝4|AB|得t＝0，
此时，Δ＝64k4t2－16(3＋4k2)(k2t2－3)＞0，
∴直线m：y＝－kx，
∴P，即点P在定直线x＝上．
