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第二课时 直线与椭圆
考点一 直线与椭圆的位置关系
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m>0
C.00且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，
∴m≥1且m≠5.
2.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.
这时直线l与椭圆C没有公共点.
感悟提升 研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方
程组解的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有
交点.
考点二 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
例1 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过 P引一条弦，使此弦被 P点平分，
则此弦所在的直线方程为________________.
答案 x＋2y－3＝0
解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B两点，A(x ，
1
y )，B(x ，y ).
1 2 2
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x ＋x ＝.
1 2
又∵x ＋x ＝2，
1 2
∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
法二 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x ，y )，B(x ，y )，则＋＝1，①
1 1 2 2
＋＝1，②
①－②得＋＝0.
∵x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∴＋y －y ＝0.
1 2
又x －x ≠0，∴k＝＝－.
2 1
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
感悟提升 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2 弦长问题
例2 (2022·贵阳联考)在平面直角坐标系中，椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，
且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C左焦点F 的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于A，B两点，若点
1
H满足|HA|＝|HB|，求|AB|.
解 (1)由题意得2c＝2，即c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝b2＋1.
将代入＋＝1，可得＋＝1，
即2b2＋b2＋1＝2b2(b2＋1)，整理得(2b2＋1)(b2－1)＝0，
解得b2＝－(舍)或b2＝1，则a2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意得F (－1，0).
1
设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
联立椭圆C与直线l的方程，
可得x2＋2k2(x＋1)2＝2，
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝16k4－4(2k2＋1)(2k2－2)＝8(k2＋1)>0，
则x ＋x ＝－，x x ＝.
1 2 1 2
设AB的中点M(x ，y )，
0 0则x ＝＝－，
0
y ＝k(x ＋1)＝.
0 0
因为点H满足|HA|＝|HB|，
所以k ＝－，即＝－，解得k＝±1，
MH
则x ＋x ＝－＝－，x x ＝＝0，
1 2 1 2
所以|AB|＝＝×＝.
感悟提升 1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两
1 1 2 2
个不同的点，则
|AB|＝或|AB|＝.
2.注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥
曲线的焦点.
训练1 (1)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B
两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.
(2)已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，
D两点，当|CD|＝时，则直线l的方程为________________.
答案 (1) (2)x－y＋1＝0或x＋y－1＝0
解析 (1)设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴＝.
即椭圆C的离心率e＝.
(2)由题意得b＝1，c＝1，
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2，
∴椭圆方程为＋x2＝1.当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.
设C(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2
∴x ＋x ＝－，x x ＝－，
1 2 1 2
∴|CD|＝|x －x |
1 2
＝
＝，
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±，
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
考点三 直线与椭圆的综合问题
例3 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|
OF|，其中O为原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3OC＝OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C
为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.
解 (1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，
设直线AB的方程为y＝kx－3.由方程组
消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝，
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为.由3OC＝OF，得点C的坐标为(1，0)，
故直线CP的斜率为
＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
感悟提升 1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，
列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运
用设而不求的方法.
2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程
为x＝ty＋m，避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为 y＝kx
＋b的形式，若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨
论.
训练2 已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x
轴交于点N，求四边形ABNM的面积.
解 (1)由题意知，a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为c＝＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设P(x ，y )(x <0，y <0)，则x＋4y＝4.
0 0 0 0
因为A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)，
令x＝0，得y ＝－，
M
从而|BM|＝1－y ＝1＋，
M
直线PB的方程为y＝x＋1，
令y＝0，得x ＝－，
N
从而|AN|＝2－x ＝2＋，
N
所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝2，
所以四边形ABNM的面积为2.
1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.故选B.
2.已知F (－1，0)，F (1，0)是椭圆C的两个焦点，过F 且垂直于x轴的直线与
1 2 2
椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.
因为过F 且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，
2
所以＝，b2＝a2－c2，
所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
3.直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A.2 B.
C.4 D.不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
则弦长为
＝＝，
当y＝－时，弦长最大为.4.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两
点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 k ＝＝，k ＝－1.
AB OM
由k ·k ＝－，得＝，∴a2＝2b2.
AB OM
∴c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
5.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A.3 B. C.2 D.
答案 D
解析 设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，
所以d ＝＝.
max
6.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为 F ，F ，直线l：y＝kx＋m与椭圆相切，
1 2
记F ，F 到直线l的距离分别为d ，d ，则d ·d 的值为( )
1 2 1 2 1 2
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，
由Δ＝0得m2＝2＋6k2，
所以d ·d ＝·
1 2
＝＝＝2.
7.已知P为椭圆＋y2＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此
弦所在的直线方程为________.
答案 2x＋4y－3＝0
解析 易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为k，
弦的两端点为A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则有＋y＝1，＋y＝1，
两式作差，得
＋(y －y )(y ＋y )＝0，
2 1 2 1∵x ＋x ＝1，y ＋y ＝1，
1 2 1 2
∴＋(y －y )＝0，
2 1
∴k＝＝－，
经检验，k＝－满足题意，
∴此弦所在的直线方程为
y－＝－，
即2x＋4y－3＝0.
8.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为
1，则椭圆方程为________.
答案 ＋x2＝1
解析 因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1.
9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，A ，且以线段A A 为直径
1 2 1 2
的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
答案
解析 以线段A A 为直径的圆是x2＋y2＝a2，
1 2
直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，
整理为a2＝3b2，
即a2＝3(a2－c2) 2a2＝3c2，
即＝，e＝＝.
⇒
10.(2021·西安调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.
直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
解 (1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由消y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，显然Δ>0.设点M，N的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
所以|MN|＝
＝.
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
11.(2022·郑州适应性考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l
与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.
(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，
当PA·PB＝1时，求椭圆C的方程.
解 (1)由题意知直线l：y＝x＋a与x轴交于点(－a，0)，
∴点M为椭圆C的左顶点，即M(－a，0)，P(0，a)，
∴N，代入＋＝1，
得＋＝1，即＝.
∴e2＝＝1－＝，
∴e＝，即椭圆C的离心率e＝.
(2)由题意得a＝2，
∴椭圆C的方程为b2x2＋4y2＝4b2(b>0).
由消去y，得
(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0.
∴
∵直线QM：y＝(x－2)，
∴A，PA＝.
∴y ＝kx ＋2，∴y －2＝kx ，
M M M M
即PA＝.
同理PB＝，
∴PA·PB＝
＝4－b2＝1，∴b2＝3.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
12.(2022·豫北名校联考)已知F (－1，0)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，过F
1 1
的直线与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于D点.若AD＝2DB，|AD|＝|F B|，则
1
椭圆C的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 因为AD＝2DB，所以|AD|＝2|DB|.
又直线AB过点F ，且|AD|＝|F B|，所以|AF |＝|F D|＝|DB|.不妨设点B在第一象
1 1 1 1
限，作出示意图如图.
由D为线段F B的中点，且F (－1，0)，可设B(1，y )(y >0).
1 1 0 0
又点B在椭圆C上，所以＋＝1，
所以y＝＝，
所以B，D.
又F 为线段AD的中点，
1
所以A.
又点A在椭圆C上，所以＋＝1，所以b2＝4a2－16.
又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
13.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于
A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设第一象限的交点为A(x，y)，直线y＝x的倾斜角为α，由tan α＝，得sin α＝，cos α＝，
即A，
把点A的坐标代入椭圆方程，整理得
8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，
又0b>0)的离心率为，过椭圆右
焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.
解 (1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0时，另一条弦所在直线的斜率不存
在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则直线CD的方程为y＝－(x－1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x
1
＋x ＝，x ·x ＝，
2 1 2
所以|AB|＝|x －x |
1 2
＝·
＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|
＝＋
＝＝，
解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
