文档内容
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
学习目标：1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (重点、难点)
自主学习
一、知识链接
1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角
形相似还有哪些方法？
2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
合作探究
一、要点探究
探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
操作 利用刻度尺和量角器画 △ ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，
，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角
形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？思考 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
证明 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， ，求证：
△ABC∽△A′B′C′.
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥
B′C′，交 A′C′ 于点 E.【补全后面的证明过程】
【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：∵ ，∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
思考 对于△ABC和 △A′B′C′，如果∠B= ∠B′， ，这两个三角形一定
会相似吗？试着画画看.【结论】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个
三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
【典例精析】
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
【针对训练】在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =
2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：
△ABC ∽△ADE.
例3 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且
，求 DE 的长.例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证： ∠ACB=90°．
【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高可以转化为90°等.
二、课堂小结
当堂检测
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
第2题图 第3题图
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD
的长．
5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED.
拓展提升
6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD
= 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 解：三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有SAS和HL.
2. 解：能.
合作探究
一、要点探究
探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
证明 解：∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.∴ .
∵ A′D=AB， ，∴ ，∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
【典例精析】
例1 解：∵ ， ，∴ ，又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
【针对训练】证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，∴
.又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
例 2 证明：∵ △ABC 与 △ADE 都 是等腰三角形，∴ AD =AE，AB = AC，∴
，又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
例 3 解：∵ AE=1.5，AC=2， ∴ .又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE
∽△ABC，∴ ，∴ .
例4 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵ ，∴△ADC ∽△CDB.∴ ∠ACD =∠B.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
当堂检测
1. (1) √ (2) × (3) × (4) × 2. D 3. 相似
4. 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，∴ .
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，∴ ，∴AD= .
5. 证明：∵ AB · AD = AE·AC，∴ .
又∵ ∠DAB =∠CAE，∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED.
拓展提升
6. 4 或 9
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP =
9；当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.∴
当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
