文档内容
28.2 解直角三角形及其应用（第1课时）
教学目标
1．了解解直角三角形的意义和条件．
2．能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形．
教学重点
解直角三角形的依据和方法．
教学难点
根据条件解直角三角形．
教学过程
知识回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝
＝ ；
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ ＝ ；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ．新知探究
一、探究学习
【问题】我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题．
1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B
向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图）．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2
m，AB＝54.5 m，求∠A的度数．
【答案】∵BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，
∴ ．
利用计算器可得∠A≈5°28′．
【问题】意大利从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂
直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．
类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你能求出来吗？
【师生活动】教师与学生一起分析纠偏后的数据，得到对应的边角关系，然后学生作
答，教师补充．
【答案】∵43.8 cm＝0.438 m，
∴B′C＝BC－0.438＝5.2－0.438＝4.762（m）．
∴ ．
利用计算器可得∠A≈5°0′46″．【追问】1．将上述问题推广为一般的数学问题如何求解？
【师生活动】学生思考并作答：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的
度数．可利用锐角的正弦（或余弦）的概念直接求解．
【追问】2．在上述Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？
【师生活动】学生思考并说明求解思路：根据直角三角形两锐角互余可求得∠B的值，
根据 可求得AC的长．教师把问题一般化，给出解直角三角形的概念．
【新知】一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
【设计意图】通过实际问题，激发学生学习的兴趣，把实际问题转化为数学问题，并
一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数．通过求解的过程，初步体会
解直角三角形的概念，引入课题．
【问题】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
【师生活动】教师引导学生结合图形，梳理五个元素之间的关系，学生作答．
【归纳】如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，
c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系
上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换．
【设计意图】有条理地梳理直角三角形中五个元素之间的关系，明确各自的作用，便
于应用．
【问题】知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
【师生活动】教师直接给出结论．
【归纳】在直角三角形中，知道除直角以外的五个元素中的两个元素（至少有一个是
边），就可以求其余三个未知元素．
已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件时，三角形的大小不能确定，即有
无数多个三角形符合条件：已知一角、一边时，角必须是锐角，若已知的角是直角，则不
可解．
【设计意图】让学生熟悉解直角三角形的条件．
二、典例精讲
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，解这个直角三角形．【师生活动】学生在教师问题的引导下，思考如何求出所有未知元素．
【追问】1．解直角三角形的目标是什么？
【师生活动】学生回答，解直角三角形的目标是由已知元素求所有未知元素．
【追问】2．在Rt△ABC中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据
是什么？
【师生活动】先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求
每一个未知元素的方法和依据．教师引导学生结合图形，选择反映五个元素之间关系的式
子，鼓励学生采取不同方法求解，并引导学生选择简洁的解题途径，最后给出简洁、规范
的解题步骤．
【答案】解：∵
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
AB＝2AC＝2 ．
【设计意图】通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高
分析和解决问题的能力．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形
（结果保留小数点后一位）．
【师生活动】先由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路；然后由学生
独立完成，再小组交流；最后由学生代表展示解题步骤．对于求c，如果学生采取不同方
法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．【答案】解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°．
∵ ∴ ．
∵ ∴
【归纳】解直角三角形的类型及方法：
图示 已知类型 已知条件 方法与步骤
（1） ；
斜边，一条直角
边（如c，a）
（2）由 ，求∠A；
（3）∠B＝90°－∠A
两边
（1） ；
两条直角边a，
b
（2）由 ，求∠A；
（3）∠B＝90°－∠A
（1）∠B＝90°－∠A；
斜边，一个锐角
（2）由 ，得a＝c·sin A；
（如c，∠A）
（3）由 ，得b＝c·cos A
一边、一角（除
直角外） （1）∠B＝90°－∠A；
一条直角边，一
个锐角（如a， （2）由 ，得 ；
∠A）
（3）由 ，得
【设计意图】进一步训练学生解一般直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的
角度选用适当的关系式求解．
课堂小结板书设计
一、解直角三角形的概念
二、解直角三角形的条件
三、解直角三角形的类型及方法
课后任务
完成教材第74页练习．
教学反思
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