文档内容
28.2 解直角三角形及其应用（第3课时）
教学目标
1．巩固解直角三角形的有关知识，掌握仰角、俯角的概念．
2．掌握利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤．
3．能运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，并从这些问题中归纳
出常见的基本模型及解题思路，在解题过程中进一步体会数形结合与方程的数学思想．
教学重点
运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．
教学难点
运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，并从这些问题中归纳出常
见的基本模型及解题思路．
教学过程
知识回顾
解直角三角形的依据有哪些？
【师生活动】直接找学生回答，教师补充．
【答案】（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系： ， ， ．
【设计意图】巩固解直角三角形的有关知识，为本节课的学习作铺垫．新知探究
一、探究学习
【问题】如图所示，某探险者某天到达点A处时，所在地的海拔为0 m，他准备估算
出自己与海拔为3 500 m的山峰顶点B处之间的水平距离．你能想出一个可行的办法吗？
【师生活动】学生思考，然后找学生代表说一说思路，教师纠正．
【答案】如图，BC＝3 500 m，如果测量出此时他看向点B的视线AB与水平线AC的
夹角（∠A）的度数，根据 即可求出他与山峰顶点B处之间的水平距离AC．
【思考】观察物体时，我们的视线相对于水平线来说有几种情况？
【师生活动】学生思考，然后找学生说一说思路，教师总结．
【答案】三种：重叠、向上和向下．
【新知】在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角
叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．【设计意图】通过这两个问题，让学生了解仰角和俯角的概念，并知道在实际生活中
可以利用仰角或俯角帮助我们解决一些难以测量的问题．
二、典例精讲
【例1】2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成
功实现交会对接．“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km的圆形轨道
上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最
远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400 km，π取3.142，
结果取整数．）
【分析】点Q为最远点，FQ是☉O的切线，∠FQO为直角，求 的长，要先求α的
度数，解此题时，需要综合利用圆和解直角三角形的知识．
【答案】解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是☉O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵ ，
∴α≈18.36°．
∴ 的长为 （km）．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2
051 km．【归纳】利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
【设计意图】通过这个问题，检验学生对利用解直角三角形解决实际问题的掌握情况．
【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的
俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线
在水平线下方的是俯角．因此，在图中，α＝30°，β＝60°．
在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类
似地可以求出CD，进而求出BC．
【答案】解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120．
∵ ， ，
∴BD＝AD·tan α＝120×tan 30°＝120× ＝ ，
CD＝AD·tan β＝120×tan 60°＝120× ＝120 ．∴BC＝BD＋CD＝ ＋120 ≈277（m）．
因此，这栋楼高约为277 m．
【归纳】求解有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找
准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形．
【设计意图】通过这个问题，检验学生对运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯
角的实际问题的掌握情况．
【例3】如图（示意图），小明想测量塔AB的高度．他在D处仰望塔顶，测得仰角为
30°，再往塔的方向前进50 m至C处，测得仰角为60°，已知小明的身高为1.5 m，那么该
塔有多高（结果取整数）？
【答案】解：如图，∠AD′B′＝30°，∠AC′B′＝60°，CD＝50 m，
∴∠D′AB′＝60°，∠C′AB′＝30°，C′D′＝50 m．
设AB′＝x m，
∵tan∠D′AB′＝ ，tan∠C′AB′＝ ．
∴D′B′＝x·tan 60°，C′B′＝x·tan 30°．
又∵D′B′－C′B′＝D′C′，
∴x·tan 60°－x·tan 30°＝50．
∴ ，即AB′＝43.3 m．
由题意知，DD′＝BB′＝1.5 m，
∴AB＝AB′＋BB′＝43.3＋1.5＝44.8≈45（m）．
因此，该塔的高约为45 m．
【设计意图】通过这个问题，进一步检验学生对运用解直角三角形的知识解决有关仰
角和俯角的实际问题的掌握情况．
课堂小结板书设计
一、仰角、俯角的概念
二、利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
三、运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
课后任务
完成教材第76页练习第1～2题．
教学反思
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