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5.2 平行线及其判定
平行线的定义
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行或相交，垂直是相交的一种。
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就
平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属
于上述任何一种位置关系．
题型1：平面内两条直线的位置关系（注意与立体图形中的比较）
1.下列叙述正确的是 ( )
A．两条直线不相交就平行
B．在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【变式1-1】如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面BCGF垂直，又与面EFGH平行的棱是
．【变式1-2】在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
【新题速递】（2022年春杨浦区）在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（ ）
A.1条 B.2条 C.条 D.4条
平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
注意：原理：同位角相等，两直线平行.
题型2：平行线的画法
2.（2022七下·佛山月考）已知，如图，直线 与直线 相交于点 ，点 是直线 上一点．
求作：直线 ，使直线 ．【变式2-1】如图.直线a.点B.点C.
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条?
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗?
【变式2-2】（2022七下·绥德期末）如图，点C为直线AB上方一点，用尺规作图法在点C的右侧找一
点P，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
题型3：平行公理及推论
3.下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为 a∥b，c∥d，所以
a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】下列说法正确的是（ ）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【变式3-2】下面推理正确的是（ ）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【变式3-3】如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由
．
直线平行的判定1-同位角相等，两直线平行
如右图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
题型4：同位角相等，两直线平行
4.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠3+∠4＝180° D．∠3+∠5＝180°
【变式4-1】（2022七下·延庆期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB CD．请将下面的
证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝ （ ）．
∴AB CD（ ）．
【变式4-2】按要求补全证明条件
如图，∠1＝70°，∠2＝70°．直线AB与CD平行吗？为什么？
解：理由如下：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3（ ）．
∵∠2＝70°（已知），
∴∠3＝70°（ ）．
又∠1＝70°（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换）．
∴ ∥ （ ）．
直线平行的判定2-内错角相等，两直线平行.
如右图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
题型5：内错角相等，两直线平行
5.补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（ ），
∴∠C＝ （ ）．
∴AC∥BD（ ）．【变式5-1】如图，下列条件中能判断直线l ∥l 的是（ ）
1 2
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠5
【变式5-2】如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．
解：因为CD⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（ ）．
同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（ ）．
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（ ）．
所以DF∥AE（ ）．
【变式5-3】（2022七下·浦北月考）如图， ， ， .问
吗？为什么？直线平行的判定3-同旁内角互补，两直线平行
如右图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
题型6：同旁内角互补，两直线平行
6.完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ BAC ＝90° （ ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ），
即∠ +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ ）．
【变式6-1】在下列括号内，填上推理的根据．
已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，求证：a∥b．
解：∵∠1＝110°（ ），
∠3＝∠1（ ），
∴∠3＝110°（ ），
又∵ （已知）
∴∠2+∠3＝180°
∴a∥b（ ）．
【变式6-2】推理填空：
已知∠B＝∠CGF，∠DGF＝∠F
求证：∠B+∠F＝180°证明：∵∠B＝∠CGF（已知）
∴AB∥CD
∵∠DGF＝ （已知）
∴CD∥
∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠B+ ＝180° ．
【变式6-3】如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝
∠BCD，能判定AD∥BC的是 ．
题型7：与角平分线结合证平行
7.如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平
分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
【变式7-1】如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明
AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．【变式7-2】已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：
AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
【变式7-3】填写下列空格：
已知：如图，CE平分∠ACD，∠AEC＝∠ACE．
求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠ ＝∠ （ ）．
∵∠AEC＝∠ACE（已知），
∴∠AEC＝∠ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．题型8：与垂线结合证平行
8.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【变式8-1】按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ＝∠2（ ）．
∴DE∥BC（ ）．
【变式8-2】（2021七下·乾安期末）已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂
直于EF，∠1+∠2=90°．求证：AB//CD．
【变式8-3】已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA．题型9：利用常见的辅助线证平行
9.如图，已知∠B＝30°，∠D＝20°，∠BCD＝50°，试说明AB∥DE．
【变式9-1】如图，已知AB∥EF，∠ABC＝∠DEF，试判断BC和DE的位置关系，并说明理由．
【变式9-2】MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和
CD的位置关系，并说明理由．
10.（2022秋•驻马店期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A=∠D．
（1）若∠A=78°，∠C=47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD=180°，求证：AB∥CD．【变式10-1】（2022春•榆林期末）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF．
（1）试说明：AE⊥CE；
（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，试判断AB与CD平行吗？为什么？
【变式10-2】（2022春•龙凤区校级期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）填空：∠2和∠D可用关系式表示为 ；∠1与∠D有怎样的关系式：
（2）求证：AB∥CD．一、单选题
1．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3
C．∠1＝∠4 D．∠A+∠2＝180°
2．下面说法正确的个数为（ ）
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③相等的角是对顶角；④画一条线段的垂线段可以画无数条．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，直线 、 被直线 所截，下列条件不能判定直线 与 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，下列推理不正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．如图，能判定 的条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，下列推理不正确的是（ ）
A．若∠AEB＝∠C，则AE∥CD
B．若∠AEB＝∠ADE，则AD∥BCC．若∠C＋∠ADC＝180°，则AD∥BC
D．若∠AED＝∠BAE，则AB∥DE
二、填空题
7．将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 .
8．设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 .
9．如图，如果∠1=∠3，可以推出一组平行线为 .
10．如图，要使 ，可以添加的条件是 （填写一个你认为正确的即可）．
11．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是
．通过作图可以发现，过直线l外一点，能且只能画出一条平行线，于是得到平行线的一条基本性质:
．三、作图题
12．如图，点M在∠AOB的内部．
画图： ①过点M画AO的平行线，交OB于点C；
②过点M画OB的垂线，交OB于点D；
四、解答题
13．推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）
∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ）
∴ = （ ）
∴BE∥CF（ ）
14．如图，BE∥CG，∠1＝∠2，求证：BD∥CF15．已知：如图，AB CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF=180°．
求证：AE DF．
五、综合题
16．如图，已知射线 ， ， ， 在射线 上，且满足 平分 ，
平分 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
