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人教版初中数学七年级下册
8.3.1 实际问题与二元一次方程组（1） 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．学校八年级师生共468人准备乘车到兰山教育实践基地参加研学活动，现已预备了49座和37座两种客
车共10辆，刚好坐满，设49座客车 辆，37座客车 辆，根据题意可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意可得
故选B．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
2．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在
的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方
程组即可．
【详解】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．
由题意得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列出方程组．3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比
原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据十位上的数字比个位上的数字大2，列方程 ，交换十位上的数字与个位上的数字后
得到的两位数比原数小18，列方程 ，即可解答．
【详解】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴ ；
∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．
∴ ；
故可列方程组： ，
故选：A
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出正确的方程组．
4．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单
位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可
列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据题意可直接列出方程组．
【详解】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴ ；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴ ．
∴可列方程组为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
5．某加工厂有工人50名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母
20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设应安排x人生产
螺栓，y人生产螺母，则所列方程组为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝50；生产的螺栓的数量×2＝生
产的螺母的数量．由此可列出方程组
【详解】设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人．
由题意，得 ，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
6．某班分组活动，若每组 人，则余下 人:若每组 人，则少 人．设总人数为 ，组数为 ，则可列方
程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】关系式为：6×组数=总人数-5；7×组数=总人数+4，把相关数值代入即可求解．【详解】解：每组6人得到的关系式为6y=x-5；每组7人得到的关系式为7y=x+4．
可列方程组为：
；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到两种分法所需要的实
际人数的等量关系．
7．1号仓库和2号仓库共存粮400吨，现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果
1号仓库和2号仓库所余粮食之比是2：1，则1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？设1号仓库和2号仓
库原来各存粮x吨、y吨，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设1号仓库和2号仓库原来各存粮 吨、 吨，根据1号仓库和2号仓库共存粮400吨，从1号仓
库运出存粮的 ，从2号仓库运出存粮的 ，1号仓库和2号仓库所余粮食之比是 ，列方程组即
可．
【详解】解：设1号仓库和2号仓库原来各存粮 吨、 吨，
由题意得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列方程组．
二、填空题：
8．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思
是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶
加2小桶共盛____________斛米．
【答案】 ##
【分析】设一个大桶盛米 斛，一个小桶盛米 斛，根据 个大桶加上 个小桶可以盛米 斛， 个大桶加上个小桶可以盛米 斛即可得出关于 、 的二元一次方程组，进而即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛米 斛，一个小桶盛米 斛，
根据题意得： ，
得： .
.
故答案为： ．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
9．现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张
铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？若设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，列
方程组为__________
【答案】
【分析】若设设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，根据共用190张铁皮做盒可得x+y=190，根据一张可
以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子可得 ，由此得到方程组．
【详解】解：设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意，掌握配套问题的解题思路是解题的关键．
10．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，
那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组______．
【答案】
【分析】设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，
那么就空出2间客房．再得出方程组即可．【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．
11．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在
这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁．
【答案】70
【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可．
【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁，
根据题意： ，
解得： ，
故答案为：70．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
12．某公司向银行申请了甲 、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年
的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为_____________.
【答案】42万元、26万元
【详解】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元、y万元，
由题意得,
，
解得：
，
所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元、26万元．故答案为42万、26万．
13．小亮的储蓄罐里有面值5角和1元的两种硬币，共20枚 ，合计15元，面值5角的有______枚，1元
的有______枚．
【答案】 10 10
【分析】设0.5元硬币有x枚，1元硬币有y枚，根据共20枚以及合计15元列方程组求解.
【详解】解：设0.5元硬币有x枚，1元硬币有y枚，
解得
答：0.5元硬币有10枚，1元硬币有10枚.
【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼题，解答此题的关键是根据相等关系列方程组求解．
14．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品
数量的2倍多7幅．设展出的国画作品x幅，油画作品y幅，根据题意，可列方程组为____．
【答案】
【分析】设展出的油画作品的数量是 幅，展出的国画作品是 幅，则根据“展出的油画作品和国画作品
共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅”列出方程组即可．
【详解】解：设展出的油画作品的数量是 幅，展出的国画作品是 幅，依题意得
，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等
量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
三、解答题：
15．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于
“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？
（请列二元一次方程组解答此题）
【答案】笼中有23只鸡，12只兔
【分析】设笼中各有x只鸡，y只兔，根据：①鸡数+兔数=35，②鸡足+兔足=94，列出方程组求解可得．
【详解】解：设笼中各有x只鸡，y只兔，根据题意得：
，
解得 ，
∴笼中有23只鸡，12只兔
答：笼中有23只鸡，12只兔．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关
键．
16．甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的 ，从乙仓库运出存粮的 ，这时甲仓库剩下
的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？
【答案】甲、乙两仓库原来各存粮 吨， 吨．
【分析】设甲、乙两仓库原来各存粮 吨，根据题意，列二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设甲、乙两仓库原来各存粮 吨，由题意可得：
，解得
答：甲、乙两仓库原来各存粮 吨， 吨．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程组．
17．足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在某次比赛中共踢了15场
球，其中负3场，共得30分，求这个队共胜了多少场？
【答案】9场
【分析】设该队胜了x场，平了y场，根据该队共踢了15场球，其中负3场，共得30分，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，依题意得： ，
解得： ，
答：这个队共胜了9场．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居
住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少
名学生？
【答案】有30间学生宿舍，有160名学生
【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人
居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个
三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和
两位数．
【答案】这个三位数为101，两位数为75．
【分析】设两位数是a，三位数是b，找到两个关系式，列出方程组即可解答．
【详解】解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得，
，解得： ，
答：这个三位数为101，两位数为75．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，
相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍．
能力提升篇
一、单选题：
1．在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明
又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“第一次购买数量+第二次购买数量=15本、第一次购买花销+第二次购买花销=43元”列出
方程组即可．
【详解】解：根据题意，得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．
2．有黑、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如
果每只砝码质量为5克，那么一只黑球和一只白球的质量和是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D
【分析】设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，根据图中信息和已知条件可以列出方程组 ，
解方程组即可求出每只黑球和白球的质量．
【详解】设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，
依题意得 ，
解得 ，
3+1=4．
故选D
【点睛】此题考查二元一次方程组，解题关键在于从图中找出隐含条件，然后列出方程组解决问题．
3．A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对
A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程
组： ，消去x，可整理得： ，由n为正整数分析，即可求得结果．
【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，
由题意可得方程组： ，
将 代入②中得，消去x得：
即：
∵ 为正整数∴ 的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注
意消元思想和分类讨论思想的运用．
二、填空题：
4．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为 ，9只饭碗摞起
来的高度为 ，李老师家碗橱每格的高度为 ，则李老师一摞碗最多只能放___________只．
【答案】14
【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案．
【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm，
则 ；
解得： ，
∴(30-6) ， ，
∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只），
故答案为：14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式
求解．
5．塑料凳子轻便实用，人们生活中随处可见．如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为 ，5支塑料凳子叠放在一起的高度为 ，当有8支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是______ ．
【答案】80
【分析】根据题意可设塑料凳子厚度为x(cm)，凳子腿高为y(cm)，可列出关于x，y方程组，求出x，y，然
后可计算出8张塑料凳子叠在一起的高度．
【详解】解：设塑料凳子厚度为x(cm)，凳子腿高为y(cm)，
由题意可得 ，
解得： ，
则8支塑料凳子整齐叠放在一起的高度为 cm．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解决问题的关键．
6．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 ，把这个两位数加上 后，结果恰好成为数字对调后组成
的两位数，设这两个数的十位数的十位数字为 ，个位数字为 ，根据题意列得方程组_______．
【答案】
【分析】根据关键语句“十位数字与个位数字的和是7”可得方程 ，十位数字为x，个位数字为y，
则这个两位数是 ，对调后组成的两位数是 ，根据关键语句“这个两位数加上45，则恰好成
为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程 ，联立两个方程即可得到答案．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得：
，故答案为： ．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
三、解答题：
6．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年
级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹
妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年
13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差
的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2） （年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
8．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车
均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）第一次 12 8 360
第二次 18 12 ▄
第三次 5 4 160
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
【答案】(1)540
(2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨
(3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆
【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求
解即可；
（2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨；
（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，
n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案．
（1）
设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得 ，
解得 ，
（吨）；
故答案为：540；
（2）
由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（3）
设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则20m+15n=190,∴ ，
①当m=2时，n=10；
②当m=5时，n=6；
③当m=8时，n=2．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运
输方案．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输
总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答．
