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第九章 不等式与不等式组
第二课时9.1.2不等式的性质
一、温故知新（导）
1、不等式的性质有哪些？
性质1：不等式两边加上(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2、直接得出下列不等式的解集.
（1）不等式 x+2＞5的解集是 x ＞ 3 ；
（2）不等式3x﹤15的解集是 x ＜ 5 .
不等式3x-3﹤15-5x的解集你能直接说出来吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的
学习目标和重难点.
学习目标
1.进一步巩固对不等式的性质的理解.
2.会根据“不等式的性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
3.知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时实心点与空心圈的区别.
学习重难点
重点：不等式的性质和解法；
难点：不等号方向的确定.
二、自我挑战（思）
1、解方程的依据是： 等式的性质 .
解不等式的依据是： 不等式的性质 .
2、如何利用不等式的性质解不等式呢？
例如解不等式：3x-3﹤15-5x
解：根据不等式的性质1，不等式两边加5x，不等号的方向不变，所以
3x-3+5x﹤15-5x+5x
8x-3﹤15
根据不等式的性质1，不等式两边加3，不等号的方向不变，所以
8x-3+3﹤15+3
8x﹤18
根据不等式的性质2，不等式两边同除以8，不等号的方向不变，所以
8x 18
<
8 8
1
x<2
4
三、互动质疑（议、展）1、归纳总结：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式．
2、实例：
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
2
(1)x -7＞26； (2)3x＜2x＋1；（3） x>50；（4）-4x﹥3.
3
解：（1）根据不等式的性质 1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，所以
x -7+7＞26+7，
x ＞33.
（2）根据不等式的性质 1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变，所以
3x – 2x＜2x + 1 – 2x ，
x＜1．
3
（3）根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
2
3 2 3
× x> × 0，
2 3 2
x＞75． 5
（4）根据不等式的性质 3，不等式两边除以 – 4，不等号的方向改变，所以
−4x 3
< ，
−4 −4
3
x< .
4
3、−不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式x -7＞26的解集在数轴上的表示如图9.1-2
所示，
不等式3x＜2x＋1的解集在数轴上的表示如图9.1-3所示，
4、你能在数轴上表示例1中其它两个不等式的解集吗？
2
解：不等式 x>50的解集在数轴上的表示如图9.1-4所示，
3
不等式-4x﹥3的解集在数轴上的表示如图9.1-5所示，5、通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子，也称为 不等式 ，它们同样具有类似
前面所说的不等式的性质.符号“≥”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“ 大于或等于
”，也可以说是“ 不小于 ”；符号“≤”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“ 小于或
等于 ”，也可以说是“ 不大于 ”.
6、实例
例2 某长方体形状的容器长 5 cm，宽 3 cm，高 10 cm．容器内原有水的高度为 3 cm，现准备
向它继续注水．用V(单位：cm³)表示新注入水的体积，写出V的取值范围．
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V＋3×5×3≤3×5×10，
V≤105．
又由于新注入水的体积 V 不是负数，因此，V 的取值范围是
V≥0并且V≤105．
在数轴上表示V的取值范围如图9.1-6所示：
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、若a＞b,则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．2a-5＞2b-5 B．-4a＞-4b
a b
C．a+1＞b+1 D．− ＜−
2 2
1、解：∵a＞b,
∴2a＞2b,
∴2a-5＞2b-5，
因此选项A不符合题意；
∵a＞b,
∴-4a＜-4b,
因此选项B符合题意；
∵a＞b,
∴a+1＞b+1，
因此选项C不符合题意；
∵a＞b,
a b
∴ ＞ ，
2 2
a b
∴- ＜- ，
2 2
因此选项D不符合题意；
故选：B．
2、若x＜y,则下列不等式中正确的是（ ）
A．x-6＞y-6 B．5x＞5yx y
C．x+2＞y+2 D．− ＞−
3 3
2、解：A、∵x＜y,
∴x-6＜y-6，
故A不符合题意；
B、∵x＜y,
∴5x＜5y,
故B不符合题意；
C、∵x＜y,
∴x+2＜y+2，
故C不符合题意；
D、∵x＜y,
x y
∴- ＞- ，
3 3
故D符合题意；故选：D．
3、不等式2x＞x+1的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＜2
3、解：∵2x＞x+1，
∴2x-x＞x+1-x，
则x＞1，
故选：C．
4、不等式x+3≤4的解集是 ．
4、解：x+3≤4，x+3-3≤4-3
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
5、不等式-2x＞1的解集为 ．
5、解：-2x＞1，
−2x 1
< ，
−2 −2
1
x＜- ，
2
1
故答案为：x＜- ．
2
6、将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x-1；
（2）-x-2＜7．
6、解：（1）两边同时减去4x,
得5x-4x＞4x-1-4x,
即x＞-1；
（2）两边同时加上2，
得-x＜9，
两边同时乘-1，
得x＞-9．六、用
（一）必做题
1、下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．若x＞y,则-x＜-y B．若x＞y,则x2＞y2
x y
C．若x＜y,则 ＜ D．若x+m＜y+m,则x＜y
3 3
1、解：A、在不等式 x＞y的两边同时乘-1，不等号的方向改变，即-x＜-y,原变形正确，故本
选项不符合题意；
B、当0＞x＞y时，则x2＞y2不成立，故本选项符合题意．
C、在不等式 x＜y 的两边同时除以 3，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题
意．
D、在不等式 x+m＜y+m 的两边同时减去 m,不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符
合题意．
故选：B．
2、若a＜b,则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ax＜bx B．3a＜2b
C．-a+3＞-b+3 D．2-a＜2-b
2、解：A、∵a＜b,x＞0，
∴ax＜bx,
故A不符合题意；
B、∵a＜b,
∴3a＜3b,
故B不符合题意；
C、∵a＜b,
∴-a＞-b,
∴-a+3＞-b+3，
故C符合题意；
D、∵a＜b,
∴-a＞-b,
∴2-a＞2-b,
故D不符合题意；
故选：C．
3、一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可以是（ ）
4、A．1-x＞-2 B．x-3＞0
C．2x≤6 D．3-x≤0
3、解：A．1-x＞-2的解集为x＜3，与数轴表示的解集相符，此选项符合题意；
B．x-3＞0的解集为x＞3，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
C．2x≤6的解集为x≤3，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
D．3-x≤0的解集为x≥3，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
故选：A．4、不等式3x-12＜0的解集是 ．
4、解：3x-12＜0，
根据不等式性质1，不等式两边加12，不等号的方向不变，所以
3x＜12，
x＜4；
所以，不等式3x-12＜0的解集是x＜4．
故答案为：x＜4．
5、不等式3x-5＞1的解集是 ．
5、解：3x-5＞1，
3x-5+5＞1+5，
3x＞6，
3x 6
> ，
3 3
x＞2，
则不等式3x-5＞1的解集是x＞2，
故答案为：x＞2．
6、解不等式5x+3≥3x-1，并在数轴上表示解集．
6、解：5x+3≥3x-1，
5x+3-3x≥3x-1-3x
2x+3＞-1，2x+3-3＞-1-3，
2x −4
2x＞-4， >
2 2
x＞-2，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（二）选做题
7、解不等式3（1-2x）＞7-2（x-4），并把它的解集在数轴上表示出来．
7、解：∵3（1-2x）＞7-2（x-4），
∴3-6x＞7-2x+8，
-6x+2x＞7+8-3，
-4x＞12，
则x＜-3，
将解集表示在数轴上如下：
x−3
8、解不等式 ≤1-2x,并把它的解集在数轴上表示出来．
2
8、解：两边同乘以2得，x-3≤2（1-2x）,x-3≤2-4x,
x+4x≤2+3，
5x≤5，
x≤1．
在数轴上表示不等式的解集为：
．
