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2024 届高三年级上学期期初模拟测试（一）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.
【详解】 ， ，
,
故选：C
2. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，根据 求得 ，根据 求得 代入运算，再
根据模长公式即可求解 .
【详解】设 ，
因为 ，所以 ，
解得 或
所以 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以
当 时，
，则 ；
当 时，
，则 ；
故选：A
3. 设 ， 均为锐角，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由于 ， 均为锐角，所以 ， .先讨论充分性，当 时，
，结合函数 在 上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当
时，由于 ，结合函数 在 上单调递增，即可得出
，进而求解.
【详解】因为 ， 均为锐角，所以 ， .
当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由函数 在 上单调递增，所以 ，
故“ ”是“ ”的充分条件.
当 时，由 ， ，则 ，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
故“ ”是“ ”的必要条件.
综上所述，“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
4. 某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之
比为 ，则该圆台体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设小锥体的底面半径为 ，大锥体的底面半径为 ，小锥体的高为 ，大锥体的高为为 ，通
过表示大圆锥和小圆锥体积，作差可得圆台体积.
【详解】设小锥体的底面半径为 ，大锥体的底面半径为 ，小锥体的高为 ，大锥体的高为为 ，
则大圆锥的体积即为 ，整理得 ，
即小圆锥的体积为
所以该圆台体积为
故选：A.
5. 贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中
间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几
何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为 ，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为 ，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可
得.
【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为 ，由上到下的三个几何体体积分别记为 ，
则 ，
，
，
所以
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】将 用 替换后，解方程解出 即可.
【详解】因为 ，
可得 ，
可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
7. 已知在 中， ，以斜边 的中点 为圆心， 为直径，在点 的另一侧作半圆
弧 ，点 在圆弧上运动，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出半圆弧所在的圆的方程，利用数量积的坐标形式可求数量
积的取值范围.
【详解】
因为直角三角形 为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，
其中 ，
而以 为直径的圆的方程为： ，
整理得到： ，
设 ，则 ，故 ，
因为 在半圆上运动变化，故 ，
故 的取值范围为： ，
故选：A.
8. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数 ,然后结合导数与单调性关系分析
出 时,函数取得最大值 ,可得 最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设 ,则 ,
当 时, ,函数单调递减,当 时, ,函数单调递增,
故当 时,函数取得最大值 ,
因为 , ,
,
当 时, ,函数单调递减,可得 ,
即 .
故选:C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. 向量 的夹角为 D. 在 方向上的投影向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；
对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；
对于C，根据向量夹角公式，可得答案；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.
详解】对于A， ，由 ，则 ，故A正确；
【
对于B， ， ，故B错误；
对于C， ， ， ，则
，即向量 的夹角为 ，故C正确；
对于D， 在 方向上的投影向量是 ，故D错误.
故选：AC.
10. 已知点 ，若过点 的直线 交圆 ： 于A， 两点， 是圆 上一动
点，则（ ）
A. 的最小值为 B. 到 的距离的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意画出图形，分别求出 的最小值及 到 的距离的最大值判断A与B；设
，写出数量积，利用三角函数求最值判断C；求出 到圆心的距离，加上半径判断
D．
【详解】如图，当直线 与 轴垂直时， 有最小值，且最小值为 ，所以A正确；
当直线 与 垂直时， 到 的距离有最大值，且最大值为 ，所以B正确.
设 ，则 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，所以C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ， ， 三点共线时， 最大，且最大值为 ，所以D错误；
故选：ABC.
11. 已知 为坐标原点，椭圆 .过点 作斜率分别为 和 的两条
直线 ， ，其中 与 交于 两点， 与 交于 两点，且 ，则（ ）
A. 的离心率为 B.
C. D. 四点共圆
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得 点坐标并代入椭圆方程，由此求得 ，进而求得椭圆的离心率.设出直线 和 的参数方程
并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案.
【详解】依题意 ，即 ，
所以 ，解得 （负根舍去）.
所以椭圆 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依题意可知直线 的倾斜角 为锐角，且 ，
由 解得 .
直线 倾的斜角 为钝角，且 ，
由 解得 .
设直线 的参数方程为 （ 为参数），
由 整理得 ，
解得 （不妨设）.
设直线 的参数方程为 （ 为参数），
由 整理得 ，
解得 （不妨设）.
所以 ，B选项正确.
，C选项错误.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 ，而 ，所以 ，
所以 ，所以 四点共圆.
（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由 判断出 四点共圆）
所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】待定系数法求椭圆的方程，可利用题目所给已知条件，列出等量关系式，由此来求得椭圆方程中
的未知参数.四点共圆的证明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所对的圆周角相等”来证
明.
12. 已知数列 的项数均为 （ 为确定的正整数，且 ），若 ，
，则（ ）
A. 中可能有 项为1 B. 中至多有 项为1
C. 可能是以 为公比的等比数列 D. 可能是以2为公比的等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过举特例判断ACD，选项B通过反证法证明．
【详解】数列 中， ， 中有 项为1，A正确；
中如果有 项为1，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，所以 无整数解，B
错；
若 ， ，则满足 ， ，
此时 ， 是以 为公比的等比数列，C正确；
若 ， ， ，满足题意，且 ， ，
， 是公比为2的等比数列，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 数列 满足 ， ，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】由已知整理得 ，先利用累乘法求数列 的通项，再利用错位相减法求其前2021项
的和，从而得到结果.
【详解】由 得： ，
；
设 ，
则 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，即 ，
， ，
.
故答案为： .
14. 在三棱锥 中， ，且 ，则直线PC与平面
ABC所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得 面 ，从而得到 为直线PC与平面
ABC所成角的平面角，再利用余弦定理与勾股定理求得 ，从而求得 ，由此得解.
【详解】记 的中点为 ，连结 ，过 作 交 的延长线于 ，如图，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 为 的中点，所以 ，
因为 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
因为 ， 面 ，所以 面 ，
所以 为直线PC与平面ABC所成角的平面角，
不妨设 ，
在 中， ，则 ，
，
在 中， ，
在 中， ，则 ，
即 ，故 ，
在 中， ，
所以在 中， ，
又 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 .
故答案为： .
15. 已知直线 与双曲线C： 交于点 ， . 为C上一点，
且 ， ，则 PAB的面积最大值为__________.
△
【答案】
【解析】
【分析】先求得 两点的坐标，然后求得与直线 平行且与双曲线相切的直线方程，根据
三角形面积公式以及两平行线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意， ，
由 解得 或 ，
所以 为定值，
由于 ， ，所以 在双曲线 两点间的曲线上， 在第一象限，
当 距离 最远时，三角形 的面积取得最大值，
设直线 与双曲线C： 相切于 点，
由 消去 并化简得 ，
由 解得 （正根舍去），
故切线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 与直线 的距离为 ，
所以 PAB的面积最大值为 .
△
故答案为：
【点睛】求解双曲线的切线方程，可先设出切线的方程，然后联立切线的方程和双曲线的方程，化简成一
元二次方程的形式，结合判别式即可求得切线方程.
16. 已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， 恒成立，则m
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由 是奇函数求出a，b，得到 .利用分离参数法把题意转化为
恒成立. 令 .记 ，利用基本不等式
求出 ，即可求出m的取值范围.
【详解】因为函数 是定义在R上的奇函数，
所以 ，即 ，解得： .
又 ，所以 ，解得： .
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
因为 在 上单增，所以 在 上单增，所以 在 上单减，
所以 在 上单增，所以 .
所以要使 恒成立，只需 恒成立.
因为 在 上单增，所以 ，所以 .
令 .
记 （当且仅当
，即 时2等号成立），
所以 .
所以 .
即m的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列 和等比数列 满足， .
（1）求数列 ， 通项公式
（2）设数列 中满足 ，求和
【答案】（1） ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列 的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 ，
，
，解得 ，
，
即 ， ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
.
18. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B﹔
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；
（2）由切化弦结合三角恒等变换及正弦定理得 ，再由（1）中结论得到关于 的齐次方程，即
可求出 ，进而求得 .
【小问1详解】
由 ，可得 ，由正弦定理得
，
即 ，由余弦定理得 ，因 为，可得 ；
【小问2详解】
，则
，
又 ，可得 ﹐又由（1） ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
19. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排
放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决
心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．
新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y(单位：万台)关于x(年份)的线
性回归方程为 ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差 ，年份x的方差为 ．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽
购买电动汽车 总计
车
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人
中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
(i)线性回归方程： ，其中 ， ；
(ii)相关系数： ，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
(iii) ，其中n＝a＋b＋c＋d．
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ， 与 线性相关较强.
（2）有 的把握认为购买电动汽车与车主性别有关.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）分布列见解析， .
【解析】
【分析】（1）利用相关系数 的求解公式，并转化为 和方差之间的关系，代入计算即可；
（2）直接利用独立性检验公式求出 ，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；
（3）采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出 可能取值0,1,2，3，4，分别求出对应
概率，即可得 的分布列，再结合期望公式，即可求解.
【小问1详解】
相关系数为
，
所以 ，故 与 线性相关较强.
【小问2详解】
零假设为 ：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 .
【小问3详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11人中，男性车主 人，女性车主 人，
则 的可能取值为0，1，2，3，4，故
， ， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
.
20. 在四棱锥 中， ．
（1）证明：平面 平面 ﹔
（2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合
面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线 的方向向量
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】及平面 的法向量，利用向量的夹角公式及两点间的距离公式即可求解.
【小问1详解】
在平面四边形ABCD中， ，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点
作 于 ,因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以 , ,
，
所以 ，所以 ，
又 ，BC， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以，平面 平面 .
【小问2详解】
因为 , , BC， 平面 ，
所以 平面 ，由（1）知， ，以C为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
因为 平面 ， ，可设 ( ),所以 ，则
，
设平面PAC的法向量为 ，则
,即 ，令 ，则 ，所以 ，
因为直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以 ，又 ，
所以 .
21. 已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为A，且 ， 到C的
渐近线的距离为1，过点 的直线 与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交
于M，N两点.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理
由.
【答案】（1）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）是定值，
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ， ，再结合 可求出 ，从而可求出双曲
线方程，
（2）设直线 ： ， ， ， ，将直线方程代入双曲线方程消去 ，
利用根与系数的关系，表示出直线 的方程，可表示出点 的坐标，同理可表示出点 的坐标，从而
可表示 ， ，然后计算化简 即可
【小问1详解】
由题意得 ， ，渐近线方程为 ，
则 到渐近线的距离为 ，
又因为 ，
所以 ， ， ，
故双曲线 的标准方程为 .
【小问2详解】
设直线 ： ， ， ， ，
联立方程组 得 ，
所以 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线 的方程为 ，
所以 的坐标为 ，同理可得 的坐标为 .
因为 ， ，
所以
，
即 为定值 .
22. 已知函数 ．
（1）若 在 单调递增，求a的取值范围；
（2）当 时， ，求a的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求导，转化为 恒成立，分别讨论 ， ， ，将问题转化为 与
的关系，令 ，求导并解得 的值域，联立不等式解出 的范围即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）将原不等式整理并令 ，因为 ，则由
得到 的范围，再证明即可.
【小问1详解】
， ，
要使 在 单调递增，只需 ， 恒成立.
即 ， ，
又 ， ，即 ；
当 时， 符合题意，故 ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
令 ，
，
当 时， ，
即 ， ；
当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ， ；
， ，
， ；
时， ；
所以 在 ， 上单调递增；
在 上单调递减.
由 知，分子是一个周期函数，而分母却是一个增函数，
不妨把 看成是振幅越来越小的“类周期函数”，
所以 最值只能出现在第一个周期，如图所示：
所以 ， ；
所以有 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 ；
由上知 已成立，
综上 ，即 的取值范围是 .
【小问2详解】
由 得，
整理得 ，
不妨令 ，
只需证 即可；
又 ， ，
所以 即 ，下面证 时符合题意，
时，令 恒成立；
所以有 时， ；
变形为 ，
当 时， 成立；
当 时， ，
所以有 ， 且 ；
令 ， 且 ，
只需求 的最小值即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
令 ， 且 ，
，
当 时，因为 ，所以 ，
而 ，所以有 ，当且仅当 取等号，
所以 ，
当 时， ，
所以
所以 在 上单调递增，又 ，
所以 ，所以 ，
即 在 上单调递增， ；
当 时， ，即 ；
综上， ，所以 ，
即当 时， 恒成立， ，符合题意；
所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第一问中分类讨
论将参变分离是关键；第二问中自变量的分段讨论；巧妙利用均值不等式得出导数为正是关键点，考查数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】学转化思想，属于难题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
