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专项 19 完全平方公式的几何背景（两大类型）
【典例1】（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线
用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法① ；方
法② ；
（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【变式1-1】（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，
我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【变式1-2】（2022秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝
7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）A．10 B．1 1 C．12 D．13
【变式1-3】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，
用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后
按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2
【典例2】（2022春•双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x
﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝
5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝
6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【变式2】（2022春•盐都区月考）阅读理解：若 x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求
（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x
﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE
＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方
形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
1．（2022春•盱眙县期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正
方形，面积分别是S 和S ，两正方形的面积和S +S ＝20，已知BG＝6，则图中阴影部
1 2 1 2
分面积为（ ）A．4 B．6 C．7 D．8
2．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到
一个新的图形其周长为16 ，同时此图形中四个半圆面积之和为44 ，则长方形ABCD
的面积为（ ） π π
A．10 B．20 C．40 D．80
3．（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，
用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图 1可得等式（a+b）
（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
4．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均
分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b） 2，ab之间的等量关系；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S +S ＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．
1 2
5．（2022秋•上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，
从中你有什么发现，请用等式表示出来；
（2）利用你发现的结论，解决下列问题：
①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．
②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；
③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是 ．
6．（2022春•顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b
米的道路．
（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：
.方法②： .请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式
的等式是： ．
（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．7．（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，
然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．
（1）图2中阴影部分的面积可表示为 ；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三
者间的等量关系为 ．
（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣ ，则x﹣y＝ ．
（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒
等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求 的值．
8．（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，
四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．
（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）
（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．9．（2022•平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有
两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分
别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．
（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；
（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求
（m+n）2的值．
10．（2022春•江都区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算
同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图①，从整体看，是一个面积为可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）（i）由图②，可得等式： ；
（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝ ；
（2）如图③，将边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线
上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影
部分的面积；
（3）图④中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸
片，现有足量的这三种纸片．
（i）请用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图①②画出拼法
并标注a、b；
（ii）结合（i）拼图试着分解因式2a2+5ab+2b2．
11．（2022秋•高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得
到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．
