专题01二次根式的混合运算与化简求值（高效培优专项训练）（解析版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第二套-知_08讲义练习

专题 01 二次根式的混合运算与化简求值 题型一：二次根式的混合运算 题型二：二次根式与乘法公式 题型三：二次根式与分式 题型四：二次根式的分母有理化及双重根号化简 1．计算： √1 （1）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24； 2 （2）(3❑√2+❑√3)(3❑√2−❑√3)−(1−❑√5) 2． 【答案】（1）4+❑√6； （2）9+2❑√5． √1 【解答】解：（1）原式=❑√48÷3−❑ ×12+2❑√6 2 ＝4−❑√6+2❑√6 ＝4+❑√6； （2）原式＝18﹣3﹣（1﹣2❑√5+5） ＝18﹣3﹣6+2❑√5 ＝9+2❑√5． 2．计算： （1）❑√6×❑√2−❑√27+❑√18÷❑√6； √1 （2）❑√12−3❑ +❑√27； 3 （3）❑√18×❑ √2 +(❑√3−1) 2 ； 3 （4）❑√18−|❑√8−3|+(❑√2−1) 2． 【答案】（1）0； （2）4❑√3； （3）4； （4）3❑√2． 【解答】解：（1）原式=2❑√3−3❑√3+❑√3=0；（2）原式=2❑√3−❑√3+3❑√3=4❑√3； √ 2 （3）原式=❑18× +3−2❑√3+1 3 =2❑√3+3−2❑√3+1 ＝4； （4）原式=3❑√2−(3−2❑√2)+(2−2❑√2+1) =3❑√2−3+2❑√2+3−2❑√2 =3❑√2． 3．计算： （1）2❑√3+3❑√12−❑√48； √1 （2）❑√4−3❑ +|2−❑√3|； 3 √1 （3）❑√48÷❑√2−❑ ×❑√12+❑√54； 2 （4）(2❑√2−❑√3)(2❑√2+❑√3)−(❑√2) 2． 【答案】（1）4❑√3； （2）4−2❑√3； （3）4❑√6； （4）3． 【解答】解：（1）原式=2❑√3+6❑√3−4❑√3 =4❑√3； √1 （2）❑√4−3❑ +|2−❑√3| 3 =2−❑√3+2−❑√3 =4−2❑√3； √1 （3）❑√48÷❑√2−❑ ×❑√12+❑√54 2 =❑√24−❑√6+3❑√6 =2❑√6−❑√6+3❑√6 =4❑√6； （4）(2❑√2−❑√3)(2❑√2+❑√3)−(❑√2) 2 ＝8﹣3﹣2 ＝3． 4．计算： （1）❑√12+❑√27−|−❑√3|．（2）❑√2×❑√8−❑√32÷❑√2． √1 （3）❑√18−2❑ +❑√24÷❑√3−❑√2×（1−❑√2）0． 2 （4）(❑√3−❑√2) 2+(❑√5+2)(❑√5−2)． 【答案】（1）4❑√3； （2）0； （3）3❑√2； （4）6﹣2❑√6． 【解答】解：（1）❑√12+❑√27−|−❑√3| ＝2❑√3+3❑√3−❑√3 ＝4❑√3； （2）❑√2×❑√8−❑√32÷❑√2 =❑√16−❑√16 ＝4﹣4 ＝0； √1 （3）❑√18−2❑ +❑√24÷❑√3−❑√2×（1−❑√2）0 2 ＝3❑√2−❑√2+❑√8−❑√2×1 ＝3❑√2−❑√2+2❑√2−❑√2 ＝3❑√2； （4）(❑√3−❑√2) 2+(❑√5+2)(❑√5−2) ＝3﹣2❑√6+2+5﹣4 ＝6﹣2❑√6． 5．计算 （1）(❑√24−❑ √2 )×❑√3−√3−27+❑√ (1−❑√2) 2 ； 3 √ b √ a 1 2 （2）2a❑ −b❑ + ❑√a3b− ❑√ab3（其中a＞0，b＞0）； 9a 4b a b 5 2 1 √4b （3） ❑√ab3×(− ❑√ab)÷ ❑ （其中a＞0，b＞0）； b 5 3 a m−n m−2❑√mn+n 1 （4）( − )÷ （其中m≥0，n≥0，m≠n）． ❑√m+❑√n ❑√n−❑√m ❑√m+❑√n 【答案】（1）6❑√2+2； 5❑√ab （2）− ； 6（3）−3a❑√ab； （4）2m﹣2n． ❑√6 【解答】解：（1）原式=(2❑√6− )×❑√3−(−3)+|1−❑√2| 3 5❑√6 = ×❑√3+3+❑√2−1 3 =5❑√2+3+❑√2−1 =6❑√2+2； ❑√ab ❑√ab 1 2 （2）原式=2a× −b× + ×a❑√ab− ×b❑√ab 3a 2b a b 2❑√ab ❑√ab = − +❑√ab−2❑√ab 3 2 5❑√ab =− ； 6 5 2 √ a （3）原式= ❑√ab3×(− ❑√ab)×3❑ b 5 4b 5 2 √ a =[ ×(− )×3]×❑ab3×ab× b 5 4b 6 ❑√a3b3 =− × b 2 6 ab❑√ab =− × b 2 =−3a❑√ab； (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) (❑√m−❑√n) 2 1 （4）原式=[ − ]÷ ❑√m+❑√n ❑√n−❑√m ❑√m+❑√n =[❑√m−❑√n+(❑√m−❑√n)]×(❑√m+❑√n) =2(❑√m−❑√n)(❑√m+❑√n) ＝2（m﹣n） ＝2m﹣2n． 6．求当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，下列代数式的值． ①x2﹣y2； √ x √ y ②❑ +❑ ． y x 【答案】①24❑√3； 4❑√33 ② ． 11 【解答】解：当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，x+y＝12，x﹣y＝2❑√3，xy＝33，①x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝12×2❑√3 ＝24❑√3； √ x √ y ②❑ +❑ y x ❑√xy ❑√xy = + y x x❑√xy+ y❑√xy = xy ❑√xy(x+ y) = xy ❑√33×12 = 33 4❑√33 = ． 11 7．已知：a=2+❑√5，b=2−❑√5，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2+ab+b2． 【答案】（1）8❑√5；（2）17． 【解答】解：∵a=2+❑√5，b=2−❑√5， ∴a+b＝4，a﹣b＝2❑√5， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2❑√5=8❑√5； （2）∵a=2+❑√5，b=2−❑√5， ∴a+b＝4，ab＝﹣1， ∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝42﹣（﹣1）＝16+1＝17． 8．已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求： （1）x+y和xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 【答案】（1）x+ y=2❑√3，xy＝2； （2）14． 【解答】解：（1）由条件可知： x+ y=❑√3+1+❑√3−1=2❑√3，xy=(❑√3+1)(❑√3−1)=(❑√3) 2 −12=2， ∴x+ y=2❑√3，xy＝2． （2）∵x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy，且由（1）得：x+ y=2❑√3，xy＝2，∴x2+3xy+ y2=(x+ y) 2+xy=(2❑√3) 2+2=14， ∴x2+3xy+y2＝14． 1 1 9．已知x= ，y= ，求下列各式的值． 2+❑√3 2−❑√3 x+ y （1） ； x−y （2）x2﹣3xy+y2． 2❑√3 【答案】（1）− ； 3 （2）11． 1 1 【解答】解：（1）x = = 2−❑√3，y = = 2+❑√3， 2+❑√3 2−❑√3 x+y＝2−❑√3+2+❑√3=4， x﹣y＝2−❑√3−2−❑√3=−2❑√3， 4 2❑√3 ∴原式= =− ； −2❑√3 3 （2）x2﹣3xy+y2＝（x﹣y）2﹣xy， xy＝（2−❑√3）（2+❑√3）＝1，x﹣y＝﹣2❑√3， 代入，得原式＝（﹣2❑√3）2﹣1＝11． 10．已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列代数式的值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣4xy+y2． 【答案】（1）4❑√3； （2）0． 【解答】解：（1）x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝（❑√3+1）×（❑√3−1）×（❑√3+1+❑√3−1） ＝2×2❑√3 ＝4❑√3； （2）x2﹣4xy+y2 ＝（x﹣y）2﹣2xy ＝（❑√3+1−❑√3+1）2﹣2×（❑√3+1）×（❑√3−1） ＝4﹣4 ＝0． 11．已知5+❑√11的小数部分为a，5−❑√11的小数部分为b．a+2❑√ab+b ab❑√a ❑√b ❑√b 先化简，再求值： −( − )÷ ． a−b a+❑√ab b−❑√ab b+❑√ab 【答案】﹣ab，23−7❑√11． 【解答】解：∵3＜❑√11＜4， ∴8＜5+❑√11＜9，1＜5−❑√11＜2， ∴5+❑√11的整数部分为8，小数部分为a=5+❑√11−8=❑√11−3； 5−❑√11的整数部分为1，小数部分为b=5−❑√11−1=4−❑√11， a+2❑√ab+b ab❑√a ❑√b ❑√b ∵原式= −( − )÷ a−b ❑√a(❑√a+❑√b) ❑√b(❑√b−❑√a) ❑√b(❑√a+❑√b) a+2❑√ab+b ab 1 1 = −( + )÷ a−b ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b ❑√a+❑√b a+2❑√ab+b ab(❑√a−❑√b)+❑√a+❑√b 1 = − ÷ a−b (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) ❑√a+❑√b a+2❑√ab+b ab(a−b)+a+b+2❑√ab = − a−b a−b −ab(a−b) = a−b ＝﹣ab， ∴原式=−ab=−(❑√11−3)(4−❑√11)=23−7❑√11． x−2❑√xy+ y x+2❑√xy+ y 2x−❑√y 12．已知x=❑√2+1，y=❑√2−1，求 + − 的值． ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y ❑√x 【答案】❑√2−1． x−2❑√xy+ y x+2❑√xy+ y 2x−❑√y 【解答】解： + − ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y ❑√x (❑√x) 2 −2❑√x❑√y+(❑√y) 2 (❑√x) 2+2❑√x❑√y+(❑√y) 2 2x−❑√y = + − ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y ❑√x (❑√x−❑√y) 2 (❑√x+❑√y) 2 2x−❑√y = + − ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y ❑√x 2(❑√x) 2 ❑√y =❑√x−❑√y+❑√x+❑√y− + ❑√x ❑√x √ y =2❑√x−2❑√x+❑ x √ y =❑ x ❑√xy = ， x√❑√2−1 当x=❑√2+1，y=❑√2−1时，原式=❑ =❑√ (❑√2−1) 2=❑√2−1． ❑√2+1 a−b a−2❑√ab+b 1 13．先化简，再求值： − ，其中a＝3，b= ． ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b 3 【答案】0． a−b a−2❑√ab+b 【解答】解： − ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) (❑√a−❑√b) 2 = − ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b =❑√a−❑√b−（❑√a−❑√b） =❑√a−❑√b−❑√a+❑√b ＝0； ∴当a＝3时，原式＝0． √ 1 √1 x−4 y x+ y+2❑√xy 1 1 14．已知y=❑ x− +❑ −x+8，求 − ÷( + )的值． 2 2 ❑√x−2❑√y x+❑√xy ❑√x ❑√y 【答案】见试题解答内容 √ 1 √1 【解答】解：∵y=❑ x− +❑ −x+8， 2 2 1 1 ∴x− ≥0且 −x≥0， 2 2 1 解得：x= ， 2 代入得：y＝8， x−4 y x+ y+2❑√xy 1 1 ∴ − ÷( + ) ❑√x−2❑√y x+❑√xy ❑√x ❑√y (❑√x+2❑√y)(❑√x−2❑√y) (❑√x+❑√y) 2 ❑√x+❑√y = − ÷ x−2❑√y ❑√x(❑√x+❑√y) ❑√xy ❑√x+❑√y ❑√xy =❑√x+2❑√y− • ❑√x ❑√x+❑√y =❑√x+2❑√y−❑√y =❑√x+❑√y √1 =❑ +❑√8 2 1 = ❑√2+2❑√2 2 5 = ❑√2． 215．细心观察下列等式： 1 1(❑√2−1) 第一个等式：a = = =❑√2−1； 1 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 1 1(❑√3−❑√2) 第二个等式：a = = =❑√3−❑√2； 2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1 1(2−❑√3) 第三个等式：a = = =2−❑√3． 3 2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3) 按上述规律，回答以下问题： 1 ❑√5−2 （1）按上面规律填空：a ＝ ＝ ＝ ❑√5−2 ； 4 ❑√5+2 (❑√5+2)×(❑√5−2) （2）利用以上规律计算：a +a +a +…+a ． 1 2 3 2024 1 ❑√5−2 【答案】（1） ， ，❑√5−2； ❑√5+2 (❑√5+2)×(❑√5−2) （2）44． 1 ❑√5−2 【解答】解：（1）a = = =❑√5−2， 4 ❑√5+2 (❑√5+2)×(❑√5−2) 1 ❑√5−2 故答案为： ， ，❑√5−2； ❑√5+2 (❑√5+2)×(❑√5−2) （2）原式=❑√2−1+❑√3−❑√2+2−❑√3+⋯+❑√2025−❑√2024 =❑√2025−1 ＝45﹣1 ＝44． 16．观察下列等式： 1 ❑√3−1 1 ❑√5−❑√3 1 ❑√7−❑√5 a = = ； a = = ； a = = ； 1 1+❑√3 2 2 ❑√3+❑√5 2 3 ❑√5+❑√7 2 1 ❑√9−❑√7 a = = ⋯ 4 ❑√7+❑√9 2 按照上述规律，回答以下问题： 1 ❑√13−❑√11 （1）请写出第6个等式：a = = ； 6 ❑√13+❑√11 2 1 ❑√2n+1−❑√2n−1 （2）请写出第n个等式：a = = ； n ❑√2n+1+❑√2n−1 2 （3）求a +a +a +…+a 的值． 1 2 3 60 1 ❑√13−❑√11 【答案】（1）a = = ； 6 ❑√13+❑√11 2 1 ❑√2n+1−❑√2n−1 （2）a = = ； n ❑√2n+1+❑√2n−1 2（3）5． ❑√5−❑√3 【解答】解：（1）观察，如a 的下标2，与 中被开方数：5和3，得出5＝2×2+1，3＝2×2﹣ 2 2 1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 1 ❑√13−❑√11 因此第6个等式6×2+1＝13，6×2﹣1＝11，得a = = ， 6 ❑√13+❑√11 2 1 ❑√13−❑√11 故答案为：a = = ； 6 ❑√13+❑√11 2 （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n﹣1，所以第n个等式 1 ❑√2n+1−❑√2n−1 a = = ， n ❑√2n+1+❑√2n−1 2 1 ❑√2n+1−❑√2n−1 故答案为：a = = ； n ❑√2n+1+❑√2n−1 2 （3）a +a +a +…+a 1 2 3 60 ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√121−❑√119 = + + +...+ 2 2 2 2 −1+❑√121 = 2 ＝5． 17．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分 到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、 新结论的重要方法．例如(❑√2+1)(❑√2−1)=1，(❑√6+❑√3)(❑√6−❑√3)=3，观察它们的结果，积不含 根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除 1 1×❑√2 ❑√2 2+❑√2 (2+❑√2) 2 法可以这样解：如 = = ， = =3+2❑√2.像这样通过分子、分 ❑√2 ❑√2×❑√2 2 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2) 母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： 1 ❑√5 1 （1）将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ❑√6+❑√5 ． ❑√5 5 ❑√6−❑√5 3 3 3 3 （2）利用上述方法，化简 + + +⋯+ ． 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100 ❑√5 【答案】（1） ，❑√6+❑√5； 5 （2）27． 1 1×❑√5 ❑√5 【解答】解：（1） = = ， ❑√5 ❑√5×❑√5 51 1×(❑√6+❑√5) = =❑√6+❑√5． ❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5) ❑√5 故答案为： ，❑√6+❑√5． 5 3 3 3 3 （2） + + +⋯+ 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100 3(❑√2−1) 3(❑√3−❑√2) 3(❑√4−❑√3) 3(❑√100−❑√99) = + + +⋯+ (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99) =3×(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√100−❑√99) =3×(❑√100−1) ＝3×（10﹣1） ＝27． 18．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写 的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： 1 ❑√3−1 ❑√3−1 = = ； ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) 2 1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3 = = ． ❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 1 5−❑√23 直接写出以下算式的结果： = ． 5+❑√23 2 （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： (❑√3+1) 2=4+2❑√3．(❑√5+❑√3) 2=8+2❑√15．(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab(a≥0，b≥0)； 再 根 据 平 方 根 的 定 义 可 知 ❑√4+2❑√3=❑√3+1． ❑√8+2❑√15=❑√5+❑√3． ❑√a+b+2❑√ab=❑√a+❑√b(a≥0，b≥0)． 直接写出以下算式的结果：❑√7+4❑√3= 2+❑√3 ． （ 3 ） 数 学 老 师 编 的 题 ： 根 据 你 的 发 现 ， 完 成 以 下 计 算 ： （ 2 2 2 2 2 + + + + ）×❑√12+2❑√11． ❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√9+❑√7 ❑√11+❑√9 5−❑√23 【答案】（1） ； 2 （2）2+❑√3； （3）10．1 5−❑√23 5−❑√23 5−❑√23 【解答】解：（1） = = = ； 5+❑√23 (5+❑√23)(5−❑√23) 25−23 2 5−❑√23 故答案为： ； 2 （2）❑√7+4❑√3=❑√22+4❑√3+(❑√3) 2=❑√(2+❑√3) 2=2+❑√3； 故答案为：2+❑√3； （3）原式=(❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+❑√9−❑√7+❑√11−❑√9)(❑√11+1) =(❑√11−1)(❑√11+1) ＝11﹣1 ＝10． 19．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 3 √2 材 料 一 ： 在 进 行 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 时 ， 我 们 有 时 会 碰 上 如 ， ❑ ， ❑√5 3 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 1 = = = =❑√3−1， 一样的式子，分母中含有根号， ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2−12 3−1 ❑√6+❑√5 3 3×❑√5 3❑√5 √2 √2×3 ❑√6 其 实 我 们 还 可 以 将 其 进 一 步 化 简 ： = = ； ❑ =❑ = ； ❑√5 ❑√5×❑√5 5 3 3×3 3 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) = = = =❑√3−1． ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2−12 3−1 1 1×(❑√6−❑√5) = =❑√6−❑√5．以上这种化简的过程叫分母有理化． ❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5) 解答问题： 1 ❑√3 √2 ❑√10 1 （1）化简： = ；❑ = ； = ❑√n−❑√n−1 ； ❑√3 3 5 5 ❑√n+❑√n−1 1 1 1 1 1 （2）利用上面所提供的解法，请化简： + + +⋯+ + ． 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100 材料二：形如❑√m+2❑√n的化简，只要我们找到两个正数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，使得 (❑√a) 2+(❑√b) 2=m，❑√a×❑√b=❑√n，那么便有：❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=❑√a±❑√b(a＞b)． 例如：化简❑√7+4❑√3． 解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即： (❑√4) 2+(❑√3) 2=7，❑√4×❑√3=❑√12， 所以❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4+❑√3) 2=2+❑√3． 解答问题： （3）填空：❑√4+2❑√3= ❑√3+1 ，❑√3−2❑√2= ❑√2−1 ；❑√3 ❑√10 【答案】（1） ； ；❑√n−❑√n−1； 3 5 （2）9； （3）❑√3+1，❑√2−1． 1 ❑√3 ❑√3 【解答】解：（1） = = ； ❑√3 ❑√3×❑√3 3 √2 √2×5 ❑√10 ❑ =❑ = ； 5 5×5 5 =❑√n−❑√n−1， ❑√3 ❑√10 故答案为： ； ；❑√n−❑√n−1； 3 5 1 1 1 1 1 （2） + + +⋯+ + 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100 =❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+...+❑√99−❑√98+❑√100−❑√99 ＝﹣1+❑√100 ＝﹣1+10 ＝9； （3）❑√4+2❑√3=❑√(1+❑√3) 2=❑√3+1， ❑√3−2❑√2=❑√(❑√2−1) 2=❑√2−1， 故答案为：❑√3+1；❑√2−1．