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专题 01 二次根式的性质的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、根据二次根式的定义求字母的值
类型二、根据二次根式有意义条件求范围
类型三、根据二次根式有意义求值
类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式
类型六、复杂的复合二次根式化简
压轴专练
类型一、根据二次根式的定义求字母的值
方法总结：
1. 定义抓形式：紧扣❑√a（a≥0）的格式，确保被开方数整体非负。
2. 方程列条件：根据“被开方数≥0且根指数=2（隐含）”列方程或不等式求解。
解题技巧：
1. 整体审题：先确定根号下的整体代数式，再分析其非负条件。
2. 双向验证：解出字母值后，代回原式验证二次根式有意义（避免增根）。
例1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知 是整数，则自然数 的所有可能的值为 ．
【答案】
， ， ， ，
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由
为整数，设 （ 为非负整数），则 ，且 ，求出所有可能的 值，再计算对应
的 值．
【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ，
．是自然数，
，
即 ，解得 ．
是非负整数，
可能取值为 ， ， ， ， ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
故自然数 的所有可能值为 ， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ， ．
【变式1-1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若二次根式 是整数，则整数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．先根据二次
根式的性质将 化为 ，再根据二次根式的定义求出 的范围，即可求解．
【详解】解： ，
，即 ，
整数 的最小值为 ，
故答案为： ．
【变式1-2】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）若 是整数，且 是自然数，则 的值是
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设 （ 为自然
数），则 ，整理得关于 的二次方程 ，其判别式 ，需为完
全平方数．令 ，得 ，因式分解后根据整数解条件求解 和 ，再代入求根公式得 的值即可解答．
【详解】解：设自然数 满足 （ 为自然数），
则 ，整理得 ，
将方程看作关于 的二次方程，
其判别式需为完全平方数： ，
设 （ 为整数），
则 ，
因式分解得 ，
由于 为质数，其整数因式分解为 或 ，
故有： ， ，解得 ， ，
① ， ，解得 ， ，
② ， ，解得 （舍去，因为 为自然数），
③ ， ，解得 （舍去，因为 为自然数），
④
将 代入原方程，解得 ，即 或 ，
验证这两个解均满足原方程，
故答案为： 或 ．
【变式1-3】（25-26八年级上·重庆·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“
”，如 ，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式．
（1）已知m为正整数，若 是整数，求m的最小值 ；
（2）设n为正整数，若 ，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ．
【答案】 15 10
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．（1）由题意知， ，然后求解作答即可；
（2）由题意知， ，则当 时， ，当n增大时，y减小，则当 时，
，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：∵ ，m为正整数， 是整数，
∴m的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，n为正整数，y是大于1的整数，
∴当 时， ，
∵当n增大时，y减小，
∴当 时， ，
∴y的最大值与y最小值的差为 ，
故答案为：10．
类型二、根据二次根式有意义条件求范围
方法总结
1. 紧扣核心定义：二次根式有意义的条件是“被开方数（整体）≥ 0”。
2. 正确建立不等式：根据条件列出关于未知数的不等式（组）并求解，得到字母的取值范围。
解题技巧
1. 整体处理：先将根号下的式子视为一个整体，再分析使其≥0的条件。
2. 数形结合：对于复杂的代数式，可结合函数图象（如抛物线）直观判断其非负区间。
例2．（25-26九年级上·山东日照·月考）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
．
【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此
建立关于 的不等式，求解不等式得到 的取值范围．
【详解】解： 二次根式 在实数范围内有意义，
，
解得 ，
故答案为： ．
【变式2-1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）若二次根式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，
同时分母不能为零，因此需满足 和 ，联立求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴被开方数 ，解得 ；
分母 ．
∴ 的取值范围是 且 ．
故答案为 且 ．
【变式2-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）使 有意义的 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的
条件是分母不为零，需同时满足这两个条件来确定 的取值范围．
【详解】解：要使 有意义，
∵二次根式 有意义的条件是 ，解得 ；
∵分式 有意义的条件是分母 ，解得 ；∴综上， 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【变式2-3】（2025·宁夏银川·三模）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围为
．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可．
【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ；
要使 在实数范围内有意义，需满足底数 ，即 ，
综上，实数 的取值范围为 且 ，
故答案为： 且 ．
类型三、根据二次根式有意义求值
方法总结
1. 明确定义：根据“被开方数≥0”建立方程或不等式。
2. 解求范围：求解方程（组）或不等式（组），得到字母的取值或范围。
解题技巧
1. 整体看待：将根号内整个式子看作一个整体，分析其非负条件。
2. 双向检验：将结果代回原式，确保二次根式有意义。
例3．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件先确定x的值，再求y的值，最后
计算 即可．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【变式3-1】（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数， ，则 的值为；
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而
求出y的值，最后计算 的值．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得 ，解得 ，
代入得 ，
所以 ，
故答案为：1．
【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若 ，则 的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数非负的性质，确
定x的取值范围，进而求出x和y的值，然后计算 的值，最后求其平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
将 代入原式得： ，
∴ ，
16的平方根为 ．
故答案为： ．
【变式3-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且 ，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关
键．先根据二次根式有意义的条件确定 的值，再代入计算式子的值．
【详解】解：∵ 二次根式 、 有意义，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
方法总结
1. 定符号：利用已知参数范围，确定被开方数中因式的正负。
2. 套公式：依据公式❑√a2=|a|，将绝对值根据参数范围化简化简。
解题技巧
1. 先拆后判：将被开方数化为完全平方形式，再逐个判断各部分的符号。
2. 数轴辅助：结合数轴直观分析参数范围对应的代数式符号，确保化简无误。
例4．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知 ，化简 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质 ，再结合x的取值范围去
掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题．
【详解】解： ，
， ，
因此 ， ，
原式 ，
故答案为： ．
【变式4-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若 ，化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判
断 ， ，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案．【详解】解：原式 ，
，
， ，
原式
．
故答案为： ．
【变式4-2】（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
由数轴得 ，继而得出 ，再根据二次根式的性质和绝对值化简
即可．
【详解】解：由数轴得 ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【变式4-3】（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点 在第三象限，化简 的结果为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的
取值范围，再化简绝对值与根式．
【详解】解：因为点 在第三象限，
所以 且 ，解得 ．
所以原式 ．
故答案为2．
类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式
方法总结
1. 挖掘隐含：从已知等式、不等式或根式本身有意义出发，推导参数的隐含范围。
2. 定向化简：根据推导出的范围，确定被开方数中代数式的符号，再用❑√a2=|a|化简。
解题技巧
1. 由内而外：先分析根号内代数式的符号（利用因式分解、配方法等），再结合整体范围判断。
2. 特值检验：在化简后，取参数范围内特殊值代入原式与化简式，验证结果一致性。
例5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
提取根号下的完全平方因子进行化简．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【变式5-1】（24-25八年级上·上海·月考）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ，故答案为： ．
【变式5-2】（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定
的范围，再将根号外的因式移到根号内化简．
先由 得 ，从而确定 的符号；再将 变形为负的形式，移到根号内进行化简．
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得 ，
，即 ，
．
原式 ．
故答案为： ．
【变式5-3】（25-26八年级上·上海·月考）化简：当 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件 且平方根内表达式非负，推出 且 ，
再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，且 为实数，
∴ ，
∵ 和 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 且 ．
∴ ．故答案为： ．
类型六、复杂的复合二次根式化简
方法总结
1. 目标结构：将复合根式化为形如❑√a+b±2❑√ab的结构，使其匹配完全平方公式。
2. 配凑常数：寻找两个数m、n，满足m+n为外层系数，m·n为内部常数，从而转化为❑√m±❑√n的形
式。
解题技巧
1. 平方试探：令原式等于❑√m±❑√n，两边平方后对比系数建立方程组求解。
例6．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一
些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）根据定义化成完全平方式的形式即可；
（2）根据定义化成完全平方式的形式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
【变式6-1】（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于
思考的小颖进行了以下探索：
设 （其中x，y，m，n均为正整数），则有 ，
∴ ， ．这样小颖就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当x，y，m，n均为正整数且 时，请用含m，n的式子分别表示x，y：
______， ______；
(2)若 ，且x，m，n均为正整数，求x的值；
(3)①填空： ______；
②化简： ．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)① ②【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用．
（1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可；
（2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可；
（3）①根据完全平方公式进行求解即可；
②根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵m，n均为正整数，
∴当 时， ，
此时， ；
当 时， ；
此时， ；
∴ 或 ；
（3）解：① ；
②．
【变式6-2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根
号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
(1)请你仿照上面的方法将 化成另一个式子的平方；
(2)请你仿照上面的方法化简： ；
【类比归纳】
(3)若 ，其中 ，且 ， ， 均为正整数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16或32
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键．
（1）将7转化为 ，进行求解即可；
（2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解；
（3）根据 可得 ，进而根据题意即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，；
（2）解：
；
（3）解：
由题意得，
，
∴ ，
∵ ，且 ， ， 均为正整数，
∴ ， 的值可能为15，1或5，3，
∴当 、 时， ，
则 ；
当 、 时， ，
则 ．
【变式6-3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如 的式子，我们可以通过完
全平方公式将其变形为 的形式，并进行化简，其中 ， ．
例如： ．或找 ， 满足 ， ，易知 ， ，所以 ．
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如 的式子化为 的形式；
（1）直接应用例题的方法求解；
（2）分别化简后求和；
（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：设 ， ，得 ， 或 ， ．
．
（2）解：对于 ，设 ， ，得 ， 或 ， ．
．
对于 ，同理， （ ）．
原式 ．
（3）解：．
一、单选题
1．（25-26九年级上·吉林四平·期末）若 是二次根式，则 的值不能是（ ）
A． B．3.14 C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据 是二次根式，则 ，即可得到答案．
【详解】解：若 是二次根式，则被开方数 需满足 ，
选项A、B、D均满足 ，此时 属于二次根式，不符合题意；
选项C为负数，不满足 ，此时 没有意义，不属于二次根式．
故选：C．
2．（24-25九年级上·四川巴中·月考）化简 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用二次根式的化简，熟练掌握二次根
式的性质是解题的关键．先判断x的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知 为实数，则代数式 的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件确定 的值，再代入代数式计算．
【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则
由 ，得： ．
将 代入代数式：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过 的非负性确定 的
唯一值，再代入计算．
4．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的
结果是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观
察数轴得 ， ， ，则 ， ，再化简 ，即可作答．
【详解】解：由图知 ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
故选：A．
5．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定 的取值范围为 ，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】∵ 3，4， 为三角形的三边长，
∴ ,即 ，
∴ ， ，
∴ 原式 ，
故选：A．
二、填空题6．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二
次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得
到答案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围是 ；
故答案为： ．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知 ， 是实数，且满足 ，则 的值为
．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据二次根式有意义条件，确定 的值，进而求出 的值，然后计算 的值即可．
【详解】解：由二次根式有意义条件，
得解得 ，
当 时， ．
∴ ．
故答案为：1．
9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）设 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是
．
【答案】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出 的整数部分为 ，小数部分为
，代入 计算即可求出值．
将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴
，
故答案为：5．10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算： ， ，故
化简： 可得 或 两种不同结果．给出下列说法：
①化简： ，一共有4种不同的结果；
②化简： ，一共有4种不同的结果；
③若 ， （n为正整数），则当 时， ．
以上说法中正确的为 （ 填序号即可 ）
【答案】 /
【分析】①本题③主③要①考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．分别根据算术平方
根的意义化简各式后，再进行判断即可．
【详解】解：① ，
所以，有 4种不同的结果，故①正确；
②
∵ ，
∴ ，
当 时，原式 ；
当 ，原式 ；
当 ，原式 ；
∴②错误；
③∵ ，
∴
前8项为从 开始依次减2直到1，故前8项的和为64；从第9项起为从1开始依次加2，直到 ，和为 ，
则 ，
当 时， ；
；
（n为正整数，舍去负值）；
，故③正确；
故③正确，
所以，正确的结论是①③，
故答案为：①③．
三、解答题
11．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)x为任意实数
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式，熟知二次根式的被开方数为非
负数是解答的关键．
（1）根据二次根式的被开方数为非负数得到 ，进而解不等式即可；
（2）根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零得到 ，然后解不等式即可；
（3）根据x为任意实数时， ，即可解答．【详解】（1）解：要使 有意义，则 ，解得 ，
即当 时， 有意义；
（2）解：要使 有意义，分母 ，且被开方数 ，
∴ ，解得 ．
即当 时， 有意义；
（3）解：因为 ，所以 ，
即无论x取何实数， 都大于0，所以 对任意实数x都有意义．
即当x为任意实数时， 有意义．
12．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】本题考查了二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．（ ）根据二次根式的性质进行化简即可；
（ ）根据二次根式的性质进行化简即可；
（ ）根据二次根式的性质进行化简即可；
（ ）根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
13．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若实数 ， ， 满足关系式 ，
求 的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据 ，得 ，整理得 ，即
，然后再整理 ，最后化简 ，得
，故 ，再求出它的平方根，即可作答．
【详解】解：结合被开方数为非负数，得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
依题意，，
∵ ，
∴ ，
∴
即 ，
∴ 的平方根为 ．
14．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了 个单位长度到达点 ，点
表示 ，设点 所表示的数为 ．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有 、 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点间的距离公式确定 的值，再代入 ，然后根据绝对值的性质和二
次根式的性质进行计算即可；
（2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于 、 的方程，解方程求出 、 ，继而得到
的值，再根据平方根的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点 表示 ，且一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了 个单位长度到达点 ，点 所表
示的数为 ，
∴ ，
∴；
（2）∵ 与 互为相反数， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质，平方根的定义，掌握平方根的定义和二
次根式的性质是解题关键．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数 ， 满足等式 ．
(1)当 时，求 的值．
(2)若 ， 都是正整数，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键；
（1）把 代入计算即可；
（2）对二次根式进行变形再根据m、n的取值要求求解即可．
【详解】（1）解： ，
，解得 ．
（2）解： ， 满足等式 ，
又∵m，n为正整数，
∴ 为正整数
∴ 为完全平方数
由于 ，
则
又∵ 为奇数
最小值为9，
此时 最小，值为4．
16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）通过计算下列各式的值探究问题：
(1)① ___________； ；
② ___________，
探究：对于任意负有理数 ___________．
综上，对于任意有理数 ___________．
(2)应用（ ）所得的结论解决问题：有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示．
化简： ．
【答案】(1)
①
②
(2)
【分析】此题主要考查了算术平方根的计算，实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究
结果并能运用其正确化简是解题的关键此题重点培养学生的归纳应用能力．( )①根据平方根计算 的值；
②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出 ；
( )先利用( )式的探究结果化简二次根式，再根据字母 在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合
并后即可得出结果
【详解】（1）解：依题意① ；
故答案为： ；
探究：对于任意负有理数 ， ；
综上，对于任意有理数 ， ，
故答案为： ；
（2）观察数轴可知： ， ， ，
．
17．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程：
；
；
；
…(1) __________， __________．
(2)利用这一规律计算： ．
(3)观察上面的解题过程，计算： （ 为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简；
（2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积；
（3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简．
【详解】（1）解：对于 ：
∵ ，
∴ ．
对于 ：
∵ ，
∴ ．（2）解：
．
（3）解：对被开方数通分并化简：
∵ 为正整数
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利
用分式约分、完全平方公式等知识进行计算．
18．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：
（一）如果我们能找到两个正整数x，y使 且 ，这样
，那么我们就称 为“和谐二次根式”，则
上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如： ．（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其
进一步化简：
我们称这个过程为分母有理化．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；② ______．
(2)求 的值
(3)设 的小数部分为b，求证：
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的
关键．
（1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可；
②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可；
（2）观察式子发现， ，据此进行分母有理化，化简式子即可；
（3）根据“和谐二次根式”的定义，化简 ，求出b的值，再求出 的值，据此证明即可．
【详解】（1）解：① ，
故答案为： ；
② ，
故答案为： ；（2）解： ， ，
原式
（3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得，
由于
则
由于 的小数部分为b，
则
、
所以
因此 ．
