专题01二次根式的混合运算与化简求值（高效培优专项训练）（试题版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第二套-知_08讲义练习

专题 01 二次根式的混合运算与化简求值 题型一：二次根式的混合运算 题型二：二次根式与乘法公式 题型三：二次根式与分式 题型四：二次根式的分母有理化及双重根号化简 1．计算： √1 （1）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24； （2）(3❑√2+❑√3)(3❑√2−❑√3)−(1−❑√5) 2． 2 2．计算： √1 （1）❑√6×❑√2−❑√27+❑√18÷❑√6； （2）❑√12−3❑ +❑√27； 3 （3）❑√18×❑ √2 +(❑√3−1) 2 ； （4）❑√18−|❑√8−3|+(❑√2−1) 2． 3 3．计算： √1 （1）2❑√3+3❑√12−❑√48； （2）❑√4−3❑ +|2−❑√3|； 3√1 （3）❑√48÷❑√2−❑ ×❑√12+❑√54； （4）(2❑√2−❑√3)(2❑√2+❑√3)−(❑√2) 2． 2 4．计算： （1）❑√12+❑√27−|−❑√3|． （2）❑√2×❑√8−❑√32÷❑√2． √1 （3）❑√18−2❑ +❑√24÷❑√3−❑√2×（1−❑√2）0． （4）(❑√3−❑√2) 2+(❑√5+2)(❑√5−2)． 2 5．计算 （1）(❑√24−❑ √2 )×❑√3−√3−27+❑√ (1−❑√2) 2 ； 3 √ b √ a 1 2 （2）2a❑ −b❑ + ❑√a3b− ❑√ab3（其中a＞0，b＞0）； 9a 4b a b5 2 1 √4b （3） ❑√ab3×(− ❑√ab)÷ ❑ （其中a＞0，b＞0）； b 5 3 a m−n m−2❑√mn+n 1 （4）( − )÷ （其中m≥0，n≥0，m≠n）． ❑√m+❑√n ❑√n−❑√m ❑√m+❑√n 6．求当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，下列代数式的值． √ x √ y ①x2﹣y2； ②❑ +❑ ． y x 7．已知：a=2+❑√5，b=2−❑√5，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2+ab+b2． 8．已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求： （1）x+y和xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值．1 1 9．已知x= ，y= ，求下列各式的值． 2+❑√3 2−❑√3 x+ y （1） ； （2）x2﹣3xy+y2． x−y 10．已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列代数式的值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣4xy+y2． 11．已知5+❑√11的小数部分为a，5−❑√11的小数部分为b． a+2❑√ab+b ab❑√a ❑√b ❑√b 先化简，再求值： −( − )÷ ． a−b a+❑√ab b−❑√ab b+❑√ab x−2❑√xy+ y x+2❑√xy+ y 2x−❑√y 12．已知x=❑√2+1，y=❑√2−1，求 + − 的值． ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y ❑√xa−b a−2❑√ab+b 1 13．先化简，再求值： − ，其中a＝3，b= ． ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b 3 √ 1 √1 x−4 y x+ y+2❑√xy 1 1 14．已知y=❑ x− +❑ −x+8，求 − ÷( + )的值． 2 2 ❑√x−2❑√y x+❑√xy ❑√x ❑√y 15．细心观察下列等式： 1 1(❑√2−1) 第一个等式：a = = =❑√2−1； 1 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 1 1(❑√3−❑√2) 第二个等式：a = = =❑√3−❑√2； 2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1 1(2−❑√3) 第三个等式：a = = =2−❑√3． 3 2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3) 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：a ＝ ＝ ＝ 4 ； （2）利用以上规律计算：a +a +a +…+a ． 1 2 3 202416．观察下列等式： 1 ❑√3−1 1 ❑√5−❑√3 1 ❑√7−❑√5 a = = ； a = = ； a = = ； 1 1+❑√3 2 2 ❑√3+❑√5 2 3 ❑√5+❑√7 2 1 ❑√9−❑√7 a = = ⋯ 4 ❑√7+❑√9 2 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式： ； （2）请写出第n个等式： ； （3）求a +a +a +…+a 的值． 1 2 3 60 17．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分 到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、 新结论的重要方法．例如(❑√2+1)(❑√2−1)=1，(❑√6+❑√3)(❑√6−❑√3)=3，观察它们的结果，积不含 根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除 1 1×❑√2 ❑√2 2+❑√2 (2+❑√2) 2 法可以这样解：如 = = ， = =3+2❑√2.像这样通过分子、分 ❑√2 ❑√2×❑√2 2 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2) 母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： 1 1 （1）将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ❑√5 ❑√6−❑√5 ． 3 3 3 3 （2）利用上述方法，化简 + + +⋯+ ． 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√10018．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写 的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： 1 ❑√3−1 ❑√3−1 = = ； ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) 2 1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3 = = ． ❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 1 直接写出以下算式的结果： = ． 5+❑√23 （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： (❑√3+1) 2=4+2❑√3．(❑√5+❑√3) 2=8+2❑√15．(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab(a≥0，b≥0)； 再 根 据 平 方 根 的 定 义 可 知 ❑√4+2❑√3=❑√3+1． ❑√8+2❑√15=❑√5+❑√3． ❑√a+b+2❑√ab=❑√a+❑√b(a≥0，b≥0)． 直接写出以下算式的结果：❑√7+4❑√3= ． （ 3 ） 数 学 老 师 编 的 题 ： 根 据 你 的 发 现 ， 完 成 以 下 计 算 ： （ 2 2 2 2 2 + + + + ）×❑√12+2❑√11． ❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√9+❑√7 ❑√11+❑√919．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 3 √2 材 料 一 ： 在 进 行 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 时 ， 我 们 有 时 会 碰 上 如 ， ❑ ， ❑√5 3 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 1 = = = =❑√3−1， 一样的式子，分母中含有根号， ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2−12 3−1 ❑√6+❑√5 3 3×❑√5 3❑√5 √2 √2×3 ❑√6 其 实 我 们 还 可 以 将 其 进 一 步 化 简 ： = = ； ❑ =❑ = ； ❑√5 ❑√5×❑√5 5 3 3×3 3 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) = = = =❑√3−1． ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2−12 3−1 1 1×(❑√6−❑√5) = =❑√6−❑√5．以上这种化简的过程叫分母有理化． ❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5) 解答问题： 1 √2 1 （1）化简： = ；❑ = ； = ❑√3 5 ❑√n+❑√n−1 ； 1 1 1 1 1 （2）利用上面所提供的解法，请化简： + + +⋯+ + ． 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100 材料二：形如❑√m+2❑√n的化简，只要我们找到两个正数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，使得 (❑√a) 2+(❑√b) 2=m，❑√a×❑√b=❑√n，那么便有：❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=❑√a±❑√b(a＞b)． 例如：化简❑√7+4❑√3． 解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即： (❑√4) 2+(❑√3) 2=7，❑√4×❑√3=❑√12， 所以❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4+❑√3) 2=2+❑√3． 解答问题： （3）填空：❑√4+2❑√3= ，❑√3−2❑√2= ；