文档内容
专题 01 高频考点精选选择 60 道（35 个
考点）实战训练
一．一元二次方程的解
1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）
A．2012 B．2016 C．2020 D．2021
试题分析：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，然后利用整体代入的方法计算 2015
﹣a+b的值．
答案详解：解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，
所以a﹣b＝﹣5，
所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣5）＝2020．
所以选：C．
二．根的判别式
2．下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣1）（x+1）＝0 B．（x﹣1）（x﹣1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
试题分析：只需将一元二次方程转化为一般形式，然后运用根的判别式就可解决问题．
答案详解：解：A、原方程转化为一般式方程为：x²﹣1＝0，Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方
程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；
B、原方程转化为一般式方程为：x²﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的两
个实数根，故符合题意；
C、原方程转化为一般式方程为：x²﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有
两个不相等的两个实数根，故不符合题意；
D、原方程转化为一般式方程为：x²﹣x＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，方程有两个不相等
的两个实数根，故不符合题意．
所以选：B．
3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≠1 D．m≤0且m≠﹣1
试题分析：根据一元二次方程的定义可知m+1≠0，再由方程有实数根可得出Δ＞0，联立关于m
的不等式组，求出m的取值范围即可
答案详解：解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，{ m+1≠0
∴ ，
△=4−4(m+1)≥0
解得m≤0且m≠﹣1．
所以选：D．
4．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．m≥ B．m≥− C．m≤ D．m≤−
4 4 4 4
试题分析：根据方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可．
答案详解：解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣m）＝1+4m≥0，
1
解得：m≥− ，
4
所以选：B．
三．根与系数的关系
5．下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A．x2+x+2＝0 B．x2+x﹣2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝0
试题分析：利用判别式的意义对A、C进行判断；根据根与系数的关系对B、D进行判断．
答案详解：解：A、方程没有实数解，所以A选项错误；
B、两个实数根之和为﹣1，所以B选项错误；
C、方程没有实数解，所以C选项错误；
D、两个实数根之和为1，所以D选项正确．
所以选：D．
四．由实际问题抽象出一元二次方程
6．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等
式（ ）
A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16
C．25（1﹣x）2＝16 D．16（1+x）2＝25
试题分析：等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2＝现价，把相关数值代入即可．
答案详解：解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2＝16．所以选：C．
7．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅挂图，如
图所示．设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是5400cm2，那么下列方程符合题意的是（
）
A．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 B．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400
C．（50+x）（80+x）＝5400 D．（50+2x）（80+2x）＝5400
试题分析：根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸
边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程，化为一般形
式即可．
答案详解：解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，
（80+2x）（50+2x）＝5400，
所以选：D．
五．函数图像共存
a
8．a≠0，函数y= 与y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
试题分析：分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
a
答案详解：解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y
x
轴的正半轴，没有符合的选项，a
当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选
x
项符合；
所以选：D．
9．抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y＝bx+b2﹣4ac 与反比例函数 y
(a+b+c)(a−b+c)
= 在同一坐标系内的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
试题分析：根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＜0，然后根据x＝
﹣1，x＝1时函数图象的位置求出a﹣b+c和a+b+c的符号，最后确定出b2﹣4ac与c﹣2b的正负
情况，从而确定出一次函数图象与反比例函数图象即可得解．
答案详解：解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
b
∵对称轴为直线x=− ＞0，
2a
∴b＜0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．
所以选：D．
六．二次函数的性质
10．关于x的二次函数y＝﹣（x+1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象与y轴的交点坐标为（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
试题分析：由二次函数解析式可求得其开口方向、顶点坐标、增减性，则可判断A、C、D，令x
＝0可求得与y轴的交点，则可判断D，可求得答案．
答案详解：解：
∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，2），对称轴为x＝﹣1，故A错误、D正确；
当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故C错误；
在y＝﹣（x+1）2+2中，令x＝0可得y＝1，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故B不正确；
所以选：D．
11．设二次函数y＝（x﹣1）2﹣2图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是
（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（1，0） D．（0，﹣1）
试题分析：根据函数解析式可确定对称轴为x＝1，点M在直线l上，因此M的横坐标为1，进
而可得答案．
答案详解：解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2图象的对称轴为x＝1，
∵点M在直线l上，
∴M的横坐标为1，
所以选：C．
七．二次函数图象与系数的关系
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），
（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；
2
②﹣1≤a≤− ；
3
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
c
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合 b＝﹣2a可得出a=− ，再结合抛物线与y轴交点的
3
2
位置即可得出﹣1≤a≤− ，结论②正确；
3
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数
m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得
出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有
两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
答案详解：解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
c
∴a=− ．
3
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
2
∴﹣1≤a≤− ，结论②正确；
3
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
所以选：C．
八．二次函数图象上点的坐标特征
13．若点M（m，n）（mn≠0）在二次函数y＝ax2（a≠0）图象上，则下列坐标表示的点也在该抛
物线图象上的是（ ）
A．（﹣m，n） B．（n，m） C．（m2，n2） D．（m，﹣n）
试题分析：利用二次函数图象的对称性即可解决．
答案详解：解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的对称轴是y轴，
∴点M（m，n）（mn≠0）关于y轴的对称点（﹣m，n）也在该抛物线图象上，
所以选：A．
14．在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2）
试题分析：计算出自变量为0所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判
断．
答案详解：解：当x＝0时，y＝3x2＝0；
所以抛物线y＝3x2经过点（0，0）．
所以选：B．
九．二次函数图象与几何变换
15．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
试题分析：找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
答案详解：解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣
2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2
﹣2．
所以选：D．
十．二次函数的最值
16．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或3 D．﹣2或3
试题分析：利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数
有最小值4，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
答案详解：解：当y＝4时，有x2﹣2x+1＝4，
解得：x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4，
∴a＝3或a+1＝﹣1，
∴a＝3或a＝﹣2，
所以选：D．
十一．抛物线与x轴的交点
1
17．已知抛物线 y＝x2+2mx+m﹣7 与 x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于 x 的方程 x2+
4
（m+1）x+m2+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．无实数根
试题分析：根据抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，可知当x＝1时，y
1
＜0，从而可以求得m的取值范围，即可判断方程 x2+（m+1）x+m2+5＝0中△的正负情况，从
4而可以判断根的情况，本题得以解决．
答案详解：解：∵抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，
∴当x＝1时，y＝1+2m+m﹣7＜0，得m＜2，
1
∵方程 x2+（m+1）x+m2+5＝0，
4
1
∴Δ＝（m+1）2﹣4× ×（m2+5）＝2m﹣4＜0，
4
1
即方程 x2+（m+1）x+m2+5＝0无实数根，
4
所以选：D．
18．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴
交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），则a的取值范围是（ ）
3 9 3
A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜− D．− ＜a＜−
2 2 2
试题分析：根据图象得出a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，
3），得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．
答案详解：解：根据图象得：a＜0，b＜0，
∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），
{a+b+c=0
∴ ，
c=3
∴a+b＝﹣3，
∵b＜0，
∴﹣3＜a＜0，
所以选：B．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的
直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离为（ ）5 9 7
A． B． C．2 D．
2 4 4
试题分析：设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c＝m两根的差为3，又x2+bx+c＝0时，Δ＝
0，列式求解即可．
答案详解：解：抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴b2﹣4c＝0，
设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c＝m两根的差为3，
(x +x ) 2−4x x =(x −x ) 2
1 2 1 2 1 2
可得：b2﹣4（c﹣m）＝9，
9
解得：m= ．
4
所以选：B．
十二．二次函数与不等式（组）
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表所示，下列结
论，其中正确的个数为（ ）
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0；
④对于任意实数m，4m（am+b）﹣6b＜9a总成立．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小
题分析判断即可得解．
答案详解：解：①由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，
所以c＝3＞0，
所以ac＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，
∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故③正确．
④将x＝﹣1、y＝﹣1，x＝0、y＝3，x＝1、y＝5代入y＝ax2+bx+c，
{a−b+c=−1
得 c=3 ，
a+b+c=5
{a=−1
解得： b=3 ，
c=3
3 21
∴y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x− ）2+ ，
2 4
3
可知当x= 时，y取得最大值，
2
9 3
即当x＝m时，am2+bm+c≤ a+ b+c，
4 2
变形可得4m（am+b）﹣6b≤9a，故④错误；
所以选：B．
十三．二次函数的应用
21．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣
5t2，汽车刹车后停下来前进的最大距离是（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
试题分析：利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
答案详解：解：∵s＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴汽车刹车后到停下来前进了20m．
所以选：B．
十四．圆的认识22．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在
一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（^MN）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古
率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
试题分析：求得^MN的长度，结合数轴作出选择．
1 1
答案详解：解：根据题意知，^MN的长度为： ×1≈ ×3＝1.5，则与拉直后铁丝N端的位置
2 2
π
最接近的是点A．
所以选：A．
十五．垂径定理
23．如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，
则 O的半径为⊙（ ） ⊙
⊙
5
A．5 B．√5 C．3 D．
2
试题分析：设 O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
答案详解：解⊙：设 O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝4，⊙
1
∴AC= AB＝2，
2
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
5
r= ，
2
所以选：D．十六．垂径定理的应用
24．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽 8米，最深处水深2米，
则此输水管道的半径是（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．4米
试题分析：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理
列式计算，得到答案．
答案详解：解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，
由题意得，AB＝8，CD＝2，
∵OC⊥AB，
1
∴AC= AB＝4，
2
设圆的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米，
由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米，
所以选：C．
十七．圆周角定理
25．如图，BC是半圆O的直径，D，E是^BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，
OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（ ）
A．35° B．40° C．60° D．70°
试题分析：根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，根据圆周角定理求出∠ACD，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
答案详解：解：连接CD，
∵BC为 O的直径，
∴∠BDC⊙＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DOE＝40°，
1
∴∠ACD= ∠DOE＝20°，
2
∴∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝70°，
所以选：D．
26．如图， O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
⊙
A．15° B．25° C．30° D．75°
试题分析：由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．
答案详解：解：∵∠A＝45°，∠AMD＝75°，
∴∠C＝∠AMD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
所以选：C．
27．如图，AB是 O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则
∠ADC的度数为⊙（ ）A．55° B．45° C．35° D．25°
试题分析：推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
答案详解：解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝35°，
∴∠ADC＝∠B＝35°．
所以选：C．
28．如图， O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是（ ）
⊙
A．18° B．36° C．54° D．72°
试题分析：根据垂径定理推出^BC=^BD，推出∠CAB＝∠BAD＝36°，再由∠BCD＝∠BAD即可
解决问题．
答案详解：解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴^BC=^BD，
∴∠CAB＝∠BAD＝36°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BCD＝36°，
所以选：B．
十八．点与圆的位置关系
29．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 12m的正方形演出区域，并在该区域画出
4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定
位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东
侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被
喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：如图，设点P是喷泉中心位置，OP＝14m，连接PD．求出PA，PB，PT，PC即可判
断．
答案详解：解：如图，设点P是喷泉中心位置，OP＝14m，连接PT．
由题意，OA＝6m，
∴PA＝8m＜10m，
∵PT=√32+82=√73m＜10m，PB＝11m＞10m，PC＞PB＞10m，
∴为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是2个，
所以选：B．
30．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作 A，则点B与 A的位置
关系为（ ） ⊙ ⊙
A．点B在 A上 B．点B在 A外 C．点B在 A内 D．不能确定
试题分析：⊙根据题意确定AC＞AB⊙，从而确定点与圆的位⊙置关系即可．
答案详解：解：∵点C为线段AB延长线上的一点，
∴AC＞AB，
∴以A为圆心，AC长为半径作 A，则点B与 A的位置关系为点B在 A内，
⊙ ⊙ ⊙所以选：C．
31．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作 B，则
点C与 B的位置关系是（ ） ⊙
⊙
A．点C在 B内 B．点C在 B上 C．点C在 B外 D．无法确定
试题分析：⊙欲求点C与 B的位置⊙关系，关键是求出BC⊙，再与半径3进行比较．若d＜r，则点
在圆内；若d＝r，则点在⊙圆上；若d＞r，则点在圆外．
答案详解：解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
√3
∴BC= AC＝2√3，
3
∵以点B为圆心，3为半径作 B，
∴R＜d， ⊙
∴点C在 B外．
所以选：C⊙．
十九．切线的性质
5
32．如图，直线AB与 O相切于点A，AC、CD是 O的两条弦，且CD∥AB，若 O的半径为 ，
2
⊙ ⊙ ⊙
CD＝4，则弦AC的长为（ ）
A．2√5 B．3√2 C．4 D．2√3
试题分析：首先连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，由直线AB与 O相切于点A，根据
切线的性质，可得AE⊥AB，又由CD∥AB，可得AE⊥CD，然后由垂径定⊙理与勾股定理，求得
OE的长，继而求得AC的长．
答案详解：解：连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，
∵直线AB与 O相切于点A，
∴EA⊥AB，⊙∵CD∥AB，
∠CEA＝90°，
∴AE⊥CD，
1 1
∴CE= CD= ×4＝2，
2 2
3
∵在Rt△OCE中，OE=√OC2−CE2=
，
2
∴AE＝OA+OE＝4，
∴在Rt△ACE中，AC=√CE2+AE2=2√5．
所以选：A．
33．如图，AC是 O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作 O的切线，两切线交
于点P．若已知⊙ O半径为1，则△PAB的周长为（ ） ⊙
⊙
3√3
A．3√3 B． C．√3 D．3
2
试题分析：由AC是 O的直径得∠ABC＝90°，由∠BAC＝30°，AC＝2OC＝2，得CB＝1，AB
=√3；由AP为切线得⊙∠CAP＝90°，再由切线长定理知得△PAB为正三角形，从而求得△ABP的
周长．
答案详解：解：∵AC是 O的直径，
∴∠ABC＝90°，∠BAC＝⊙30°，CB＝1，AB=√3，
∵AP为切线，
∴∠CAP＝90°，∠PAB＝60°，又∵AP＝BP，
∴△PAB为正三角形，
∴△PAB的周长＝3√3，
所以选：A．
二十．三角形的内切圆与内心
34．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，
CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
试题分析：根据圆周角定理可求∠CAD＝32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三
角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC
的度数．
答案详解：解：在 O中，∵∠CBD＝32°，
∴∠CAD＝32°， ⊙
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC＝64°，
∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，
∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．
所以选：C．
35．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．2√2−2 B．2−√2 C．√2−1 D．√2
试题分析：由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，
进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
答案详解：解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2√2，
1
∴它的内切圆半径为：R= （2√2+2√2−4）＝2√2−2．
2
所以选：A．二十一．正多边形和圆
36．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是
（ ）
A．在△ABF内 B．在△BFE内 C．在线段BF上 D．在线段BE上
试题分析：正六边形ABCDEF的中心，是△ABF的外心，由此即可判断．
答案详解：解：在正六边形ABCDEF中，△ABF的外心是正六边形的中心，是线段BE的中点，
所以选：D．
37．一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（ ）
A．2√2 B．3√2 C．4√2 D．5√2
试题分析：根据正方形与圆的性质得出AB＝BC，以及AB2+BC2＝AC2，进而得出正方形的边长
即可．
答案详解：解：如图所示： O的半径为4，
∵四边形ABCD是正方形，∠⊙B＝90°，
∴AC是 O的直径，
∴AC＝2⊙×4＝8，
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝64，
解得：AB＝4√2，
即 O的内接正方形的边长等于4√2．
所⊙以选：C．
38．正六边形的两条对边之间的距离是2√3，则它的边长是（ ）
A．1 B．2 C．√3 D．2√3
试题分析：画出图形，根据题意求出MN＝2√3，解直角三角形求出AM，即可求出答案．答案详解：解：
连接OA、OB，设MN⊥AB、MN⊥DE，MN过中心O，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，∠AOM＝30°，
∵正六边形的两条对边之间的距离是2√3，
∴OM＝ON=√3，
∴AM＝OM×tan∠AOM＝1，
∵OA＝OB，OM⊥AB，
∴AB＝2AM＝2，
所以选：B．
39．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ）
A．2√3 B．4 C．3√3 D．12√3
试题分析：首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
答案详解：解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，
∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，
∴AB＝4，则AM＝2，
因而OM＝OA•cos30°＝2√3．
正六边形的边心距是2√3．
所以选：A．
二十二．弧长的计算
40．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中
∠O＝∠O’＝90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取
3.14）（ ）
πA．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm
试题分析：先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．
90π×1000
答案详解：解：图中管道的展直长度＝2× +3000＝1000 +3000≈1000×3.14+3000
180
π
＝6140mm．
所以选：C．
二十三．轨迹
41．如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在
边DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD＝8，则点
P运动的路径长为（ ）
A．8√2 B．4√2 C．4 D．2
试题分析：如图，连接AC、BD交于点O．首先证π明∠DPE＝∠APD＝9π0°，即可推出点P的运
动轨迹是以AD为直径的圆上的弧O^D，由此即可解决问题；
答案详解：解：如图，连接AC、BD交于点O．
∵DE＝CF，AD＝DC，∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CDF+∠DEP＝90°，
∴∠DPE＝∠APD＝90°，
∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧O^D，
1
∴点P运动的路径长为 •2 •4＝2 ，
4
π π
所以选：D．
42．如图， O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D
是AB的中⊙点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（ ）
π π
A． B． C． D．2
4 2
π π
1
试题分析：根据题意知四边形OACB是矩形，可得点D是对角线AB、OC的交点，即OD=
2
OC，从而可知点D运动轨迹是一个半径为1圆，求得此圆周长即可．
答案详解：解：如图，连接OC，
∵CA⊥x轴，CB⊥y轴，
∴四边形OACB是矩形，
∵D为AB中点，
1
∴点D在AC上，且OD= OC，
2∵ O的半径为2，
∴⊙如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆，
∴点D运动过的路程长为2 •1＝2 ，
所以选：D． π π
二十四．旋转的性质
43．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝
4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D CE （如图2），此时AB与CD 交
1 1 1
于点O，则线段AD 的长度为（ ）
1
A．√13 B．√5 C．2√2 D．4
试题分析：首先由旋转的角度为 15°，可知∠ACD ＝45°．已知∠CAO＝45°，即可得
1
AO⊥CD ，然后可在Rt△AOC和Rt△AOD 中，通过解直角三角形求得AD 的长．
1 1 1
答案详解：解：由题意易知：∠CAB＝45°，∠ACD＝30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．
在等腰Rt△ABC中，AB＝4，则AC＝BC＝2√2．
同理可求得：AO＝OC＝2．
在Rt△AOD 中，OA＝2，OD ＝CD ﹣OC＝3，
1 1 1
由勾股定理得：AD =√13．
1
所以选：A．
44．在 O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度 ，使旋转后的圆心落在 O上，则 的值
⊙ θ ⊙ θ可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
试题分析：首先依据题意画出图形，然后依据等边三角形的性质进行判断即可．
答案详解：解：如图所示：
由旋转的性质可知：AO＝AO′，
∴OO′＝OA＝AO′，
∴△OAO′为等边三角形．
∴ ＝∠OAO′＝60°．
所θ以选：C．
45．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕点B按逆时针方向转动一个角度到
△A BC 的位置，使得点A 、B、C在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
1 1 1
A．30° B．60° C．90° D．120°
试题分析：利用旋转的性质计算即可．
答案详解：解：∵∠ABC＝60°，
∴旋转角∠CBC ＝180°﹣60°＝120°．
1
所以选：D．
46．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，
则∠B的度数是（ ）A．70° B．65° C．60° D．55°
试题分析：根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰
直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．
答案详解：解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∴∠A′B′C＝∠1+∠CAA′＝20°+45°＝65°，
由旋转的性质得∠B＝∠A′B′C＝65°．
所以选：B．
47．如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（ ）
A．BD=√2OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C
试题分析：根据旋转的性质判断即可得解．
答案详解：解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，
∵∠BOD≠90°，
∴BD≠√2OB．
所以选：A．
二十五．相似三角形的性质
48．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
试题分析：复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多
边形的性质求解．
答案详解：解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，
所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．
所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．
所以选：C．
二十六．相似三角形的判定与性质
49．如图，点A 、A 、B 、B 、C 、C 分别为△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，若△ABC的
1 2 1 2 1 2
周长为I，则六边形A A B B C C 的周长为（ ）
1 2 1 2 1 2
2 √3 1
A．2I B． I C． I D． I
3 3 3
试题分析：根据题意可知△ABC∽△AC B ，△ABC∽△C BA ，△ABC∽△B A C，推出C B ：
1 2 2 1 1 2 1 2
2
BC＝1：3，C A ：AC＝1：3，B A ：AB＝1：3，推出六边形的周长为△ABC的周长L的 ．
2 1 1 2 3
答案详解：解：∵点A 、A ，B 、B ，C 、C 分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，
1 2 1 2 1 2
∴△ABC∽△AC B ，△ABC∽△C BA ，△ABC∽△B A C，
1 2 2 1 1 2
∴C B ：BC＝1：3，C A ：AC＝1：3，B A ：AB＝1：3，
1 2 2 1 1 2
2
∴六边形A A B B C C 的周长= （AB+BC+CA），
1 2 1 2 1 2 3
∵△ABC的周长为I，
2
∴六边形A A B B C C 的周长= I．
1 2 1 2 1 2 3
所以选：B．
二十七．相似三角形的应用
50．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的
长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，
则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸）（
）
A．五丈 B．四丈五尺 C．五尺 D．四尺五寸
试题分析：根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
答案详解：解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
x 1.5
∴ = ，
15 0.5
解得x＝45（尺）．45尺合四丈五尺．
所以选：B．
51．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝18.4m，则
建筑物的高CD＝（ ）
A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m
试题分析：先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的
值．
答案详解：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
BE AB
∴ = ，
CD AC
∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝18.4，
∴AC＝20，1.2 1.6
∴ = ，
CD 20
∴CD＝15．
所以选：B．
二十八．位似变换
52．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一
1
象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为（ ）
2
A．（3，3） B．（1，4） C．（3，1） D．（4，1）
试题分析：利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标．
答案详解：解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），
1
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
2
∴点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，
∴点D的坐标为：（4，1）．
所以选：D．
二十九．解直角三角形
53．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为 ，则tan 的值为
（ ） α α
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
试题分析：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角
形求出即可．答案详解：解：
过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，PN＝OM，
∵P（4，3），
∴ON＝PM＝4，PN＝3，
PN 3
∴tan = = ，
ON 4
α
所以选：C．
三十．平行投影
54．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是
（ ）
A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20
试题分析：利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．
答案详解：解：AC＝10．
√3
①当∠A＝30°时，BC＝ACtan30°＝10× ≈5.7．
3
②当∠A＝45°时，BC＝ACtan45°＝10．
∴5.7＜h＜10，
所以选：B．
三十一．众数
55．有一组数据：1，2，3，3，4，这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
试题分析：找出数据中出现次数最多的数即可．答案详解：解：∵3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3；
所以选：C．
三十二．随机事件
56．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关
C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
试题分析：根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
答案详解：解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
所以选：B．
三十三．概率的意义
57．掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（ ）
6 1
A．1 B． C． D．0
7 2
试题分析：根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答
案．
答案详解：解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率
1
是 ，
2
所以选：C．
三十四．概率公式
58．一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5．若随机投掷一次小正方体，
则朝上一面数字是5的概率为（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
试题分析：直接利用概率公式求解．
答案详解：解：∵共有6个面，分别标有数字1，1，2，4，5，5，
2 1
∴朝上一面数字是5的概率为 = ；
6 3
所以选：D．
三十五．列表法与树状图法
59．为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这
些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球
和1个黑球的结果共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
试题分析：由树状图知符合条件的结果为（白球、黑球）这一种结果．
答案详解：解：由树状图知，明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的
结果共有1种，
所以选：A．
60．一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任
意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（
）
1 2 1 2
A． B． C． D．
6 9 3 3
试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所
标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
答案详解：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为 6的有：（1，5），（3，3），（5，
1），
3 1
∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是： = ．
9 3
所以选：C．
