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专题 03 一元一次方程易错考点强化练（十二大
类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、一元一次方程定义的理解。常考：最高一次，一次系数不为0........................1
二、方程的解的理解—逢解代入。........................................2
三、等式的性质的理解。................................................3
四、解一元一次方程与新定义的融合。....................................3
五、解一元一次方程—三都原则：去分母，每项都乘，去括号，都要乘，移动项，
都变号。..............................................................5
六、解方程与新定义的融合。............................................7
七、经典考点—解的特征：解相同，互为相反（倒）数，解为正（负）整数。.10
八、列方程解决问题之行程类。.........................................13
九、重难考点：列方程解决问题之销售类。...............................16
十、列方程解决问题之贴近生活的方案设计（选择）类。...................18
十一、列方程解决问题之数字类提升。...................................21
十二、列方程解决问题之水电费类—分类讨论思想。.......................25
一、一元一次方程定义的理解。常考：最高一次，一次系数不
为0.
1．下列命题：①若中|x|+2x=6，则x=2；②若方程(m−1)x|m|−2=0是关于x的
一元一次方程，则m=±1；③若不论x取何值，ax−b−2x=3恒成立，则ab=−6；
④使得|x−1|+|x−3|=4成立的x的值有且仅有两个．其中正确的是
(把所有正确结论的序号都选上)
【答案】①③④
【详解】解：①若|x|+2x=6，则x=2，是真命题；
②若方程(m−1)x|m|−2=0是关于x的一元一次方程，则m=−1，是假命题；
③若不论x取何值，ax−b−2x=3恒成立，则ab=−6，是真命题；
④使得|x−1|+|x−3|=4成立的x的值有且仅有两个，是真命题．
故答案为：①③④
2．已知 是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足
(m2−4)x2+(m−2)x+2=0|a|+m≤0，则代数式|a+m|+|a−m|的值为 ．
【答案】4
【详解】∵(m2−4)x2+(m−2)x+2=0是一个关于x的一元一次方程，
∴x2的系数为0，且x系数≠0，
∴m2−4=0，m−2≠0，
即m=±2且m≠2，
∴m=−2，
∵|a|+m≤0，
∴|a|−2≤0，即|a|≤2，
∴−2≤a≤2，
∴−4≤a+m=a−2≤0，0≤a−m=a+2≤4，
∴|a+m|+|a−m|=−a−m+a−m=−2m=4，
故答案为：4
3．若(a−1)x|a|−3=0是关于x的一元一次方程.
(1)求a的值；
(2)先化简，再求4(a2+3a)−2(2a2−a+2)的值.
【答案】(1)a=−1
(2)14a−4，−18
【详解】（1）解：由题意，得|a|=1，
∴a=±1，
又∵a−1≠0，
∴a≠1，
∴a=−1；
（2）原式=4a2+12a−4a2+2a−4=14a−4，
当a=−1时，原式=14×(−1)−4=−18．
二、方程的解的理解—逢解代入。
4．已知关于x的方程2x+a−7=0的解是x=3，则a的值是 ．
【答案】1
【详解】解：x=3是方程2x+a−7=0的解，
∴2×3+a−7=0，
∴a=1，
试卷第2页，共28页故答案为：1．
5．若x=−1是关于x的一元一次方程a+bx=2的解，则3a−3b+1的值为 ．
【答案】7
【详解】解：把x=−1代入a+bx=2，得：a−b=2，
∴3a−3b+1=3(a−b)+1=3×2+1=7；
故答案为：7．
6．已知x=−2是关于x的方程7−2x=x+k的解，则k的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．2
【答案】A
【详解】解：将x=−2代入方程7−2x=x+k，
得：7+4=−2+k
解得：k=13．
故选：A．
x
7．已知 x=−8是方程3x+8= −a的解，求a的值
4
【答案】a=14
x
【详解】解：∵x=−8是方程3x+8= −a的解，
4
−8
∴3×(−8)+8= −a，
4
解得：a=14．
三、等式的性质的理解。
8．运用等式性质进行变形，正确的是（ ）
A．由a=b得到a+c=b−c B．由2x=−4得到x=2
C．由2m−1=3得到2m=3+1 D．由ac=bc得到a=b
【答案】C
【详解】解：A、由a=b两边都加c可得a+c=b+c，因此选项不符合题意；
B、由2x=−4两边都除以2可得x=−2，因此选项不符合题意；
C、由2m−1=3两边都加1可得2m=3+1，因此选项符合题意；
D、由ac=bc，在c≠0时，两边都除以c可得a=b，因此选项不符合题意；
故选：C．
9．已知等式a=b，则下列式子中不成立的是（ ）
a b
A．a−1=b−1 B． = C．3a=3b D．a−1=b+1
3 3【答案】D
【详解】解：A，等式的两边同时减1，等式仍成立，因此a−1=b−1成立，故A选
项不合题意；
a b
B，等式的两边同时除以3，等式仍成立，因此 = 成立，故B选项不合题意；
3 3
C，等式的两边同时乘以3，等式仍成立，因此3a=3b成立，故C选项不合题意；
D，等式左边减1，右边加1，等式不成立，即a−1=b+1不成立，故D选项符合题意；
故选D．
四、解一元一次方程与新定义的融合。
10．对于数a，b，定义一种新的运算“⊙”：a⊙b=a−b+ab．
(1)求(−4)⊙3的值；
(2)若(3⊙x)⊙(−2)=5，求x的值；
(3)小丁说：“(−n)⊙(−m)=m⊙n．小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；
如果不正确，请举例说明．
【答案】(1)−19；
(2)−3；
(3)小丁的说法正确，理由详见解析．
【详解】（1）−4⊙3=−4−3+(−4)×3=−19．
（2）∵3⊙x=3−x+3x=3+2x，
又∵(3+2x)⊙(−2)=3+2x−(−2)+(3+2x)(−2)
=5+2x−6−4x
=−2x−1，
∴−2x−1=5．
解得x=−3．
（3）小丁的说法正确，理由如下：
∵(−n)⊙(−m)=(−n)−(−m)+(−n)(−m)=−n+m+nm，
又∵m⊙n=m−n+mn，
∴(−n)⊙(−m)=m⊙n．
11．我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a，则称该方程为“和解方
程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方
程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)方程5x=−2________“和解方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元一次方程6x=k是“和解方程”，求k的值；
试卷第4页，共28页(3)若关于x的一元一次方程−2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，求
m,n的值．
【答案】(1)不是
36
(2)k=−
5
2
(3)n=− ，m=−3
3
【详解】（1）解：∵5x=−2，
2
∴x=− ，
5
2
∵−2+5=3≠− ，
5
∴方程5x=−2不是“和解方程”；
故答案为：不是；
（2）∵关于x的一元一次方程6x=k是“和解方程”，
∴x=k+6，
k
又∵方程6x=k的解为x= ，
6
k
∴k+6= ，
6
36
解得k=− ；
5
（3）∵关于x的一元一次方程−2x=mn+n是“和解方程”
∴x=mn+n−2
又∵方程−2x=mn+n的解为x=n
∴n=mn+n−2即：mn=2
将x=n和mn=2代入原方程，得：
2
−2n=2+n解得n=− ；
3
又mn=2，
∴m=−3．
12．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示．例如
f(x)=x2+3x−5，把等于某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x=−1时多项
式x2+3x−5的值记为f(−1)=(−1) 2+3×(−1)−5=−7．(1)已知g(x)=−2x2−3x+1，分别求出g(−1)和g(−2)的值．
(2)已知ℎ(x)=ax3+2x2−x−14,ℎ
(1)
=a，求a的值．
2
【答案】(1)2；−1
(2)a=−16
【详解】（1）由题意得：g(−1)=−2×(−1) 2−3×(−1)+1=2，
g(−2)=−2×(−2) 2−3×(−2)+1=−1；
1 1 1
（2）由题意得： a+ − −14=a，
8 2 2
解得：a=−16．
五、解一元一次方程—三都原则：去分母，每项都乘，去括号，
都要乘，移动项，都变号。
x+3 5−x
13．解方程： −1=2x− ．
2 4
【答案】x=1
x+3 5−x
【详解】 −1=2x− ，
2 4
去分母，得2(x+3)−4=8x−(5−x)，
去括号，得2x+6−4=8x−5+x，
移项，得2x−8x−x=−5−6+4，
合并同类项，得−7x=−7，
系数化为1，得x=1．
14．解方程：
(1)4x−3(20−x)=−4
2x+1 5x−1
(2) − =1
3 6
【答案】(1)x=8
(2)x=−3
【详解】（1）解：去括号，得 4x−60+3x=−4，
移项，得 4x+3x=−4+60，
合并同类项，得 7x=56，
试卷第6页，共28页系数化为1，得 x=8；
（2）解：去分母，得 2(2x+1)−(5x−1)=6，
去括号，得 4x+2−5x+1=6，
移项，得 4x−5x=6−2−1，
合并同类项，得 −x=3，
系数化为1，解得：x=−3．
15．解方程：
(1)3(x−1)−2(x+10)=−6
2x−6 x+18
(2) − =1
3 4
【答案】(1)x=17；
(2)x=18；
【详解】（1）解：去括号得，
3x−3−2x−20=−6，
移项得，
3x−2x=−6+3+20，
合并同类项得，
x=17；
（2）解：去分母得，
4(2x−6)−3(x+18)=12，
去括号得，
8x−24−3x−54=12，
移项得，
8x−3x=12+24+54，
合并同类项得，
5x=90，
系数化为1得，
x=18；
16．解方程：
(1)6(x−1)−2=x+2；
2x−1 2x+1
(2)1− =
6 3
【答案】(1)x=2
5
(2)x= .
6【详解】（1）解：6(x−1)−2=x+2，
6x−6−2=x+2，
6x−x=2+6+2，
5x=10，
x=2．
2x−1 2x+1
（2）1− = ，
6 3
6−(2x−1)=2(2x+1)，
6−2x+1=4x+2，
−2x−4x=2−6−1，
−6x=−5，
5
x= ．
6
六、解方程与新定义的融合。
17．把x=ax+b（其中a、b是常数，x是未知数）这样的方程解为“和合方程”，其
中“和合方程x=ax+b”的解称为“和合方程”的“和合值”．
例如：“和合方程x=2x+1”，其“和合值”为x=−1
(1)x=2是“和合方程x=−2x+k”的“和合值”，求k的值：
(2)“和合方程”x=kx+1（k为常数）存在“和合值”吗？若存在，请求出其“和合
值” （用含k的式子表示），若不存在，请说明理由：
(3)若关于x的“和合方程”5x=x+8mn−4m−52的“和合值”是关于x的方程
3 1
2x− mn= (mn−8m−28)的解，求此时符合要求的正整数m、n的值．
2 2
【答案】(1)6
1
(2)存在，
1−k
(3)m=1，n=5或m=2，n=2或m=3，n=1
【详解】（1）解：∵x=2是“和合方程x=−2x+k”的“和合值”，
∴2=−2×2+k，
解得：k=6；
（2）存在，理由如下：
∵x=kx+1，
∴(1−k)x=1，
试卷第8页，共28页1
当k≠1时，x= ，即为“和合值”；
1−k
当k=1时，x无解；
8mn−4m−52
（3）5x=x+8mn−4m−52的解为x= =2mn−m−13，
4
3 1
2x− mn= (mn−8m−28)的解为x=mn−2m−7，
2 2
∵两个方程的解相同，
∴2mn−m−13=mn−2m−7，
∴m(n+1)=6，
∵m、n是正整数，
∴m=1，n=5或m=2，n=2或m=3，n=1．
18．如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例
如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”．
(1)方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程2x−n+3=0与x+5n−1=0是“美好方程”，求n的值．
【答案】(1)是，理由见详解
1
(2)n=−
3
【详解】（1）方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”，理由如下：
由4x−(x+5)=1，解得x=2；
由−2y−y=3，解得y=−1，
∵−1+2=1，
∴方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”．
n−3
（2）由2x−n+3=0，解得x= ；
2
由x+5n−1=0，解得x=1−5n；
∵关于x方程2x−n+3=0与x+5n−1=0是“美好方程”，
n−3
∴ +1−5n=1，
2
1
解得n=− ．
3
19．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方
程”，例如：方程4x=8和x+1=0为“集团方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−1=x+8是“集团方程”，求m的值；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；1 1
(3)若关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“集团方程”，求关
2022 2022
1
于y的一元一次方程 (y+1)+3=2y+2+k的解．
2022
【答案】(1)m=6
7
(2)n=
2
(3)y=2022
【详解】（1）解：∵3x+m=0，
m
∴x=− ．
3
∵4x−1=x+8，
∴x=3．
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x−1=x+8是“集团方程”，
m
∴− +3=1，
3
∴m=6；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是1−n，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴n−(1−n)=6，
7
∴n= ．
2
1
（3）∵ x+1=0，
2022
∴x=−2022．
1 1
∵关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“集团方程”，
2022 2022
1
∴关于x的一元一次方程 x+3=2x+k的解为：x=1−(−2022)=2023．
2022
1
∵关于y的一元一次方程 (y+1)+3=2y+2+k可化为：
2022
1
(y+1)+3=2(y+1)+k，令y+1=x=2023，
2022
∴y=2022．
试卷第10页，共28页七、经典考点—解的特征：解相同，互为相反（倒）数，解为
正（负）整数。
20．已知关于x的方程：2(x−1)+1=x与3(x+m)=m−1有相同的解．
(1)求m的值
3−my m−3x
(2)求以y为未知数的方程 = 的解．
3 2
【答案】(1)m=−2
21
(2)y=−
4
【详解】（1）解：2(x−1)+1=x
去括号，2x−2+1=x
移项，合并同类项，x=1
把x=1代入方程3(x+m)=m−1得，3(1+m)=m−1，
∴m=−2．
（2）解：x=1，m=−2，
3+2y 5
∴原方程变为 =− ，
3 2
去分母，2(3+2y)=−15
去括号，6+4 y=−15
移项，合并同类项，4 y=−21
21
系数化为1，y=− ．
4
21．阅读与理解：已知关于x的方程kx=5−x有正整数解，求整数k的值．
5
解：kx+x=5，(k+1)x=5，x= 因为关于x的方程kx=5−x，有正整数解，所以
k+1
5
为正整数，因为k为整数，所以k+1=1或k+1=5，所以k=0或k=4；
k+1
探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程kx=6+x有正整数解，求整数k
的值．
【答案】7或4或3或2
【详解】解：kx=6+x，
kx−x=6，
(k−1)x=6，6
x= ，
k−1
因为关于x的方程kx=6+x有正整数解，
6
所以 为正整数，
k−1
因为k为整数，
所以k−1=6或k−1=3或k−1=2或k−1=1，
解得k=7或k=4或k=3或k=2．
故整数k的值为7或4或3或2．
22．已知关于x的方程中，12x−a=0的解比a+8x=2+4x的解大1，求a的值．
9
【答案】a=
2
【详解】解；12x−a=0
移项得：12x=a，
a
系数化为1得：x= ；
12
a+8x=2+4x
移项得；8x−4x=2−a，
合并同类项得：4x=2−a，
2−a
系数化为1得：x= ；
4
∵12x−a=0的解比a+8x=2+4x的解大1，
a 2−a
∴ −1= ，
12 4
∴a−12=3(2−a)，
∴a−12=6−3a，
9
∴a= ．
2
23．当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的
解大2？
3
【答案】m=−
7
1−5m
【详解】解：解方程5m+3x=1+x得：x= ，
2
解2x+m=3m得：x=m，
1−5m
根据题意得： −2=m，
2
试卷第12页，共28页3
解得：m=− ．
7
24．已知关于x的一元一次方程(m−5)x+m−3=0，其中m为整数
(1)当m=2时，求方程的解
(2)若该方程有整数解，求m的值
1
【答案】(1)x=−
3
(2)m=3或m=4或m=6或m=7
【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程(m−5)x+m−3=0，
∴当m=2时，(2−5)x+2−3=0，
即−3x−1=0，
1
解得x=− ；
3
（2）解：∵关于x的一元一次方程(m−5)x+m−3=0有整数解，
m−3 2
∴当m−5≠0时，x=− =−1+ ，
m−5 m−5
m−3
∵当m−5取±1、±2时才能使该方程有整数解x=− 为整数，
m−5
∴ m=3或m=4或m=6或m=7．
x−m m 2x+1
25．已知关于x的方程 =2x+ 与 =3x−2的解互为相反数，求m的值．
2 3 3
9
【答案】 m=
5
2x+1
【详解】解： =3x−2，
3
2x+1＝9x﹣6，
7x＝7，
x＝1，
x−m m
∴方程 =x+ 的解是x=−1，
2 3
x−m m
把x＝-1代入方程 =2x+ ，
2 3
−1−m m
得： =−2+
2 3
∴-3﹣3m＝-12+2m，
∴-5m＝﹣9，
9
∴m= ．
5k+x
26．（1）方程2−3(x+1)=0的解与关于x的方程 −3k−2=2x的解互为倒数，
2
求k的值．
2x−1 x+a 11
（2）已知关于x的方程2x−a=1与方程 = −a的解的和为 ，求a的值．
2 3 4
（3）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的
解大2？
3
【答案】（1）1；（2）-3；（3）−
7
1
【详解】解：（1）解方程2-3（x+1）=0得：x=− ，
3
1
− 的倒数为x=-3，
3
k+x k−3
把x=-3代入方程 −3k−2=2x得： −3k−2=−6，
2 2
解得：k=1．
a+1
（2）解2x-a=1得x= ，
2
2x−1 x+a 3−4a
解 = −a得x= ，
2 3 4
a+1 3−4a 11
由题知 + = ，
2 4 4
解得a=-3．
1−5m
（3）解方程5m+3x=1+x得：x= ，
2
解2x+m=3m得：x=m，
1−5m
根据题意得： −2=m，
2
3
解得：m=− ．
7
八、列方程解决问题之行程类。
27．（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，他发现将火车在数轴上水平移
动，当A点移动到B点时，B点所对应的数为30；当B点移动到A点时，A点所对应
的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A所对应的数字是______，玩具火车的长
为______个单位长度．（直接写答案）
试卷第14页，共28页（2）如果火车AB正前方10个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位
置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB移动的速度为0．5个单位/秒，
则可知“隧道”MN的长为______个单位长度．（用含t的代数式直接表示）
（3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在
（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两
列玩具火车分别从点O和点A开始在数轴上同时移动，已知CD火车速度为2个单
位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C
处相距2个单位？
【答案】（1）14，8；（2）(0.5t−18)；（3）12秒或16秒后两火车的A处与C处相
距2个单位．
【详解】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为30−6=24，
则一个玩具火车长为24÷3=8．
∴点A所对应的数字是14，玩具火车的长为8个单位长度．
故答案为：14，8；
（2）由题意可知，
设MN的长为m，则10+m+8=0.5t，
∴m=0.5t−18．
故答案为：(0.5t−18)；
（3）点C移动后对应的点为2t，点A移动后对应的点为14+t，
由题意可知，2t−(14+t)=2或14+t−2t=2，
解得t=16或t=12．
∴12秒或16秒后两火车的A处与C处相距2个单位．
28．某市实验中学学生步行到郊外旅游．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千
米/时，七（2）班学生组成后队，速度为6千米/时．前队出发1小时后，后队才出发，
同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为
12千米/时．(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
【答案】(1)后队追上前队需要2小时；
(2)联络员走了24km
【详解】（1）解：设后队追上前队需要t小时，
由题意得：4+4t=6t，
解得：t=2，
答：后队追上前队需要2小时；
（2）解：联络员走了12×2=24km
答：联络员走了24km．
29．如图，点A、B是数轴上两点，点A表示的数为−8，A、B两点之间的距离为
10，动点M、N分别从A、B出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运
动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；
(2)数轴上点M表示的数为______，点N表示的数为______（用含t的式子表示）；
(3)若点M、N同时出发，t为何值时，这两点相遇？
(4)若点M、N同时出发，t为何值时，点M和点N刚好相距4个单位长度？
【答案】(1)2
(2)t−8，2−2t
10
(3)当t= 时，这两点相遇
3
14
(4)当t= 或t=2时，M、N刚好相距4个单位长度
3
【详解】（1）解：由点A表示的数为−8，A、B两点之间的距离为10，可知：点B表
示的数是2；
故答案为2；
（2）解：由题意得：点M所走的路程为t，点N所走的路程为2t，
∴点M表示的数为t−8；点N表示的数为2−2t；
故答案为t−8，2−2t；
（3）解：由题意得：t+2t=10，
10
解得：t= ；
3
试卷第16页，共28页10
答：当t= 时，这两点相遇．
3
（4）解：由题意可分：①当点M在点N的右侧时，点M和点N刚好相距4个单位长
度，则有：2−2t−(t−8)=4，
解得：t=2；
②当点M在点N的左侧时，点M和点N刚好相距4个单位长度，则有：
t−8−(2−2t)=4，
14
解得：t= ；
3
14
综上所述：当t= 或t=2时，M、N刚好相距4个单位长度．
3
九、重难考点：列方程解决问题之销售类。
30．“空气炸锅”是近几年家庭厨房的新宠，某家电品牌在12月初线下门店举办了
“空气炸锅节”，以下是该门店的宣传海报：
已知一台空气炸锅原价400元，店家进货的成本价为220元，下表是活动期间收入汇
总表的部分数据．
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 合计
销售量（台） 6 8 8 9 5 60
日利润（元） 360 a
(1)根据以上信息，对于前50台，求每台的优惠价为多少？
(2)已知3日的销售量比4日的多4台，求这两天的销售量分别为多少台？
(3)经咨询店员，得知剩余的空气炸锅按原价打n折（0100，
∴如果两个班联合起来作为一个团体购票，应付(105−10)×16=1520（元），
∵七（2）班有a人，
∴七（1）班有(105−a)人，
∵40<(105−a)<50，
∴5550）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购
买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当x=100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算
需付款多少元？
【答案】(1)(3000+10x)，(3150+9x)
(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多
(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元
【详解】（1）解：A方案购买可列式：50×70+(x−50)×10=3000+10x元；
按B方案购买可列式：(50×70+10x)×0.9=(3150+9x)元；
故答案为：(3000+10x)，(3150+9x)；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即3000+10x=3150+9x
解得x=150．
答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
（3）当x=100时，
按A方案购买需付款：3000+10x=3000+10×100=4000（元）；
按B方案购买需付款：3150+9x=3150+9×100=4050（元）；
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
50×70+10×50×90%=3500+450=3950（元）；
∵3950<4000<4050，
∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．
十一、列方程解决问题之数字类提升。
36．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：｛1，2，−3｝我们称之为
集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，
有理数7−a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合
｛3，4｝就是一个“好的集合”．
(1)请你判断集合｛1,5｝，｛−2，2，3.5，5，9｝是不是“好的集合”？
(2)写出只含有一个元素的“好的集合”．
(3)如果｛−3，x，1，6，2x+5，10｝是一个“好的集合”，求x的值．
【答案】(1)｛1,5｝不是“好的集合”，｛−2，2，3.5，5，9｝ 是“好的集
合”；
(2){3.5}
2
(3)x=
3
【详解】（1）解：若a=1，7−a=6，不在集合｛1,5｝内，则｛1,5｝不是“好的
集合”，
∵−2+9=7,2+5=7,3.5+3.5=7，
∴｛−2，2，3.5，5，9｝ 是“好的集合”；
（2）解：根据“好的集合”的定义可知7−a=a，
∴a=3.5，
∴只含有一个元素的“好的集合”为{3.5}；
（3）解：∵｛−3，x，1，6，2x+5，10｝是一个“好的集合”
又∵−3+10=7,1+6=7，
∴x+2x+5=7，
2
解得：x=
3
37．如图，将1，3，5，7⋯连续的奇数按照这样的样式排列成一个数表，再按照
图中阴影部分的样式框取五个数，这样任意框出的五个数，用a，b，c，d，x表示，
并按照如图所示排列．
试卷第22页，共28页(1)若x=55，则a+b+c+d=________．
(2)用x表示a，b，c，d四个数的和，则a+b+c+d=______．
(3)设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2024？并说明理由．
【答案】(1)184
(2)4x−36
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：根据题意，
∵x=55，
∴c=53，d=57，a=31，b=43，
∴a+b+c+d=31+43+53+57=184；
故答案为：184；
（2）解：根据题意，
c=x−2，d=x+2，a=x−24，b=x−12，
∴a+b+c+d=x−24+x−12+x−2+x+2=4x−36；
故答案为：4x−36；
（3）解：∵M=a+b+c+d+x
∴M=4x−36+x=5x−36，
当M=2024，则
5x−36=2024
∴x=412
∵412是偶数，不符合题意；
∴M的值不能等于2024；
38．一个四位数，把千位上和百位上的数字之和记为a，十位上和个位上的数字之和记
为b，如果a=b，那么称这个四位数为“和等数”．例如：3526，a=3+5，b=2+6
，因为a=b，所以3526是“和等数”．
(1)请判断2864、4537是否是“和等数”；
(2)如果一个“和等数”的个位上的数字是千位上的数字的三倍，且百位上数字的2倍
与十位上数字之和是10，请求出所有符合条件的这种“和等数”．
【答案】(1)2864是“和等数”，4537不是“和等数”(2)所有符合条件的这种“和等数”为1423
【详解】（1）解：2864是“和等数”；4537不是“和等数”；理由如下：
2864，a=2+8=10，b=6+4=10，
∵a=b，
∴3975是“和等数”；
4537，a=4+5=9，b=3+7=10，
∵a≠b，
∴4537不是“和等数”；
（2）设这个“和等数”千位上的数字为m(1≤m≤3)，百位上的数字为n，则十位上
的数字为10−2n，个位上的数字为3m，
由题意可得，m+n=10−2n+3m，整理得3n−2m=10，
当m=1时，n=4，这个“和等数”为1423；
14
当m=2时，n= ，不合题意，舍去；
3
16
当m=3时，n= ，不合题意，舍去．
3
综上所述，所有符合条件的这种“和等数”为1423．
39．请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
用“铺地锦”计算乘法
我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种乘法的计算方法，称为“铺
地锦”．如图1，是一个2×2的方格，每个小方格中都画有一条对角线，计算31×47，
首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘47的每
位数字，将结果计入对应格子的三角形中（如3×4=12的12写在3下面的方格里，十
位数字1写在斜线的上面，个位数字2写在斜线的下面；1×4=4的4写在斜线下面，
十位数字补0写在斜线的上面……），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线左下
端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1457，即31×47=1457．当斜线数字相
加满10时要向前进位，如图2，计算25×19时，5+4+8=17，17的个位数字7依然
写在斜线左下端位置，十位数字向前进位，并写在前一斜线的左下端位置．
0+2+1+1=4，即：25×19=475．
试卷第24页，共28页任务：
(1)用“铺地锦”的方法计算25×71，将算法填在图3中；
(2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A.如图4，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含
m的代数式表示），可得m的值为________，乘法运算的结果是________．
B．如图5，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用
含m的代数式表示），可得m的值为________，乘法运算的结果是________．
【答案】(1)1775
(2)A.2，896；B.3，1248
【详解】（1）如图，
所以，25×71=1775，
故答案为：1775；
（2）选A，如图，
∴△+1+4=9，
∴△=4，
∴2m=4，
∴m=2，
如图，所以，乘法运算的结果是896，
故答案为：2，896；
选：B
由题意得，△=3m×3−20
又△+1+2m−10=4
∴3m×3−20+1+2m−10=4
解得，m=3，
如图，
计算结果为：1248，
故答案为：3，1248
十二、列方程解决问题之水电费类—分类讨论思想。
40．按照《关于调整四川电网居民生活用电阶梯电价的通知》（川发改价格〔2012〕
560号）文件规定，目前国网泸州供电公司供居民用电阶梯价格执行如下：
阶梯一 阶梯二 阶梯三
月用电量在180 月用电量在181度至280度部 月用电量高于280度部分，在第
度及以下部分， 分，在第一档电价的基础上， 一档电价的基础上，每度电加价
用电价格为0.52 每度电加价0.1元，用电价格为 0.3元，用电价格为0.82元/度，
元/度； 0.62元/度，其他按阶梯一计算 其他按阶梯一、二分别计算
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)某户居民在一个月内用电150度、280度，那么他这个月应缴纳电费多少元？
(2)如果该居民在一个月内用电a度，那么这个月他应缴纳电费多少元？
(3)2022年7月，泸州出现了历史罕见的高温热浪天气．李平家7月缴纳电费213元．
则他这个月用电多少度？
试卷第26页，共28页【答案】(1)68元
(2)当a≤180时，应缴纳电费0.52a元；当180280时，应缴纳电费(0.82a−74)元
(3)350度
【详解】（1）解：若某户用电量为150度，需缴电费为：150×0.52=68（元），
若某户用电量为280度，需缴电费为：
180×0.52+(280−180)×0.62=93.6+62=155.6（元）．
（2）解：当a≤180时，则需缴电费为0.52a元；
当180280时，则需缴电费为155.6+(a−280)×0.82，化简得：(0.82a−74)元．
（3）解：设李平家七月用电x度，
因为213>155.6，所以李平家七月用电超过了280度．
根据题意列方程，得0.82x−74=213，
解方程，得x=350，
答：如果这个月缴纳电费为213元，那么这个月用电350度．
41．国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当
顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：
消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上
返还金额（元） 0 60 100 150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200
元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为1200×(1−80%)+60=300（元）．
(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2)若顾客在该商场购买一件标价x元(x>1250)的商品，那么该顾客获得的优惠额为多
少？（用含有x的代数式表示）
(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元(x>1250)的商品后，第二次又购买了一件
标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的
标价是多少？
【答案】(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元
(2)当0.8x>1500时，顾客获得的优惠额是(0.2x+150)元，当1000<0.8x<1500时，
顾客获得的优惠额是(0.2x+100)元
(3)这名顾客第一次购买商品的标价是1990元【详解】（1）∵商场内所有商品按标价的80%出售，
∴1800×80%=1440（元），
∵1000<1400<1500，
∴顾客获得的优惠额是100元，
打折后优惠额：1800×(1−20%)=360（元），
∴购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是360+100=460（元），
答：购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元；
（2）∵顾客在该商场购买一件标价x元(x>1250)的商品，
①当0.8x>1500时，顾客获得的优惠额是(0.2x+150)元，
②当1000<0.8x<1500时，顾客获得的优惠额是(0.2x+100)元，
综上所述：当0.8x>1500时，顾客获得的优惠额是(0.2x+150)元，当
1000<0.8x<1500时，顾客获得的优惠额是(0.2x+100)元；
（3）①0.8x>1500时，0.2x+150+800×0.2+60=768，
解得x=1990，
②1000<0.8x<1500时，0.2x+100+800×0.2+60=768，
解得x=2240（舍去），
综上所述这名顾客第一次购买商品的标价是1990元．
42．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节
水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过8m3的部分 3元/m3
超过8m3不超过12m3的部分 4元/m3
超过12m3的部分 6元/m3
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水6m3，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水xm3(x>12)，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水26m3，且4月份用水量超过14m3，3月份用水量超过
8m3，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【答案】(1)18
(2)水费为(6x−32)元
(3)该户居民3月份的用水量为11m3，4月份的用水量为15m3
试卷第28页，共28页【详解】（1）解：6×3=18（元），
故答案为：18；
（2）解：由题意，当x>12时，水费为3×8+4×(12−8)+6(x−12)=(6x−32)元．
（3）解：设3月份的用水量为am3，则4月份的用水量为(26−a)m3．
根据题意，8
