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专题 04 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，
即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换
思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和
点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
胡不归：
模型建立：
A
A C
P
C
B
P
α
图1
B E
D
图2
如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。
一、 作 ∠ CBE=α，使sinα =k,则PD=k·OP（图2）
二、 当AD最短，AD ⊥ BE时，则P为要求点。(图2) AD长即为PA+k·PB的最小
值.
简记: 胡不归,根据三角函数，作个角,再作高，求出长度就可以.
阿氏圆：
阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似
计算：PA+k∙PB的最小值。 A
第一步：确动点的运动轨迹（圆），
P
以点0为圆心、r为半径画圆；
（若圆已经画出则可省略这一步）
第二步：连接动点至圆心0 B C O
（将系数不为1的线段的固定端点
与圆心相连接），即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;
OC OP
第五步：在0B上取点C,使得OC= k·OP ; = =k, ∠O= ∠O，可得△ POC ∽ △ BOP可得：
OP OBOC PC
=
=k, PC=k ·PB
OP PB
第六步：则PA+k∙PB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。
［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把 k提到 括号
1
外边，将其中一条线段的系数化成 ，再构造△相似进行计算.］
k
典例1
1
如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=√3，E为线段AB上一动点，连接CE，则 AE+CE的最小值为 ．
2
思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易
1 1
证ET= AE，推出 AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
2 2
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
CB √3
∴tan∠CAB= = ，
AB 3
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2√3，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
1
∴ET= AE，
2
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2√3，
√3
∴CH＝AC•sin6°＝2√3× =3，
2
1
∵ AE+EC＝CE+ET≥CH，
2
1
∴ AE+EC≥3，
2
1
∴ AE+EC的最小值为3，
2
故答案为3．
典例2
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形
1
AEF的^EF上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 √17 ．
2思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出
PT AP 1 1 1
= = ，推出PT= PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
PB AB 2 2 2
答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
PA AB
∴ = ，
AT PA
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
PT AP 1
∴ = = ，
PB AB 2
1
∴PT= PB，
2
1
∴ PB+CP＝CP+PT，
2
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT=√AT2+AC2=√17，
1
∴ PB+PC≥√17，
2
1
∴ PB+PC的最小值为√17．
2
故答案为√17．
实战训练
一．阿氏圆
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作 C，P为 C
⊙ ⊙
1
上一动点，连接AP、BP，则 AP+BP的最小值为（ ）
3A．7 B．5√2 C．4+√10 D．2√13
试题分析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性
1 1
质证明MP= PA，可得 AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
3 3
答案详解：解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
PC CM
∴ = ，
CA CP
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
PM PC 1
∴ = = ，
PA AC 3
1
∴PM= PA，
3
1
∴ AP+BP＝PM+PB，
3
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM=√12+72=5√2，1
∴ AP+BP≥5√2，
3
1
∴ AP+BP的最小值为5√2．
3
所以选：B．
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任
√2
一动点，则PA+ PC的最小值是 √5 ．
2
试题分析：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为 B的
⊙
1
半径，再根据等腰直角三角形的性质得到 BH= AC=√2，接着证明△BPD∽△BCP得到PD
2
√2 √2
= PC，所以PA+ PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从
2 2
√2
而计算出AD得到PA+ PC的最小值．
2
答案详解：解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为 B的半径，
∵∠B＝⊙90°，AB＝CB＝2，
∴AC=√2BA＝2√2，
1
∴BH= AC=√2，
2
∴BP=√2，
PB √2 BD 1 √2
∵ = ， = = ，
BC 2 BP √2 2
而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
PD PB √2
∴ = = ，
PC BC 2
√2
∴PD= PC，
2
√2
∴PA+ PC＝PA+PD，
2
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD=√22+12=√5，
∴PA+PD的最小值为√5，
√2
即PA+ PC的最小值为√5．
2
所以答案是√5．
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的^EF上
1
任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 √17 ．
2
试题分析：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出
PT AP 1 1 1
= = ，推出PT= PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决
PB AB 2 2 2
问题．
答案详解：解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
PA AB
∴ = ，
AT PA
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
PT AP 1
∴ = = ，
PB AB 2
1
∴PT= PB，
2
1
∴ PB+CP＝CP+PT，
2
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT=√AT2+AC2=√17，
1
∴ PB+PC≥√17，
2
1
∴ PB+PC的最小值为√17．
2
所以答案是√17．
4．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则
1
PD− PC的最大值为 2√37 ．
2试题分析：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC
1 1
的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG= PC，再根据PD− PC＝PD﹣PG≤DG，求出
2 2
DG，可得结论．
答案详解：解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC
交BC的延长线于H．
∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，
∴PB2＝BG•BC，
PB BC
∴ = ，
BG PB
∵∠PBG＝∠CBP，
∴△PBG∽△CBP，
PG PB 1
∴ = = ，
PC BC 2
1
∴PG= PC，
2
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
在Rt△CDH中，CH＝CD•cos60°＝4，DH＝CD•sin60°＝4√3，
∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，
∴DG=√GH2+DH2=√102+(4√3) 2=2√37，
1
∵PD− PC＝PD﹣PG≤DG，
2
1
∴PD− PC≤2√37，
21
∴PD− PC的最大值为2√37．
2
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，
1 √145
且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+ PB的最小值为 ．
4 2
1
试题分析：如图，在CB上取一点F，使得CF= ，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明
2
1
PF= PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
4
1
答案详解：解：如图，在CB上取一点F，使得CF= ，连接PF，AF．
2
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
1
∴PC= DE＝2，
2
CF 1 CP 1
∵ = ， = ，
CP 4 CB 4
CF CP
∴ = ，
CP CB
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
PF CF 1
∴ = = ，
PB CP 4
1
∴PF= PB，
41
∴PA+ PB＝PA+PF，
4
√ 1 √145
∵PA+PF≥AF，AF=√CF2+AC2= ( ) 2+62= ，
2 2
1 √145
∴PA+ PB≥ ，
4 2
1 √145
∴PA+ PB的最小值为 ，
4 2
√145
所以答案是 ．
2
6．如图， O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N， O半径为3，点A（0，1），点B
（2，0）⊙，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的⊙最小值为 √85 ．
试题分析：在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP＝3AP，则
3PA+PB＝PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．
答案详解：解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，
∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），
∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，
OA 1 3 OP
∵ = = = ，∠AOP＝∠POH，
OP 3 9 OH∴△AOP∽△POH，
AP OP 1
∴ = = ，
HP OH 3
∴HP＝3AP，
∴3PA+PB＝PH+PB，
∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，
∴BH=√OB❑ 2+OH❑ 2=√4+81=√85，
所以答案是：√85．
7．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 4√21 ．
1 1
试题分析：由2AB+AC＝2（AB+ AC）得 AC=AE，再将AB+AE转化成一条线段BP，可证
2 2
出∠P是定角，从而点P在△PBC的外接圆上运动，当BP为直径时，BP最大解决问题．
1
答案详解：解：∵2AB+AC＝2（AB+ AC），
2
1
∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+ AC）的最大值，
2
过C作CE⊥AB于E，延长EA到P，使得AP＝AE，
∵∠BAC＝60°，
1
∴EA= AC=AP，
2
1
∴AB+ AC=AB+AP，
2
∵EC=√3AE，PE＝2AE，
由勾股定理得：PC=√7AE，
CE √3AE √21
∴sinP= = = ，
CP √7AE 7
∴∠P为定值，
∵BC＝6是定值，
∴点P在△CBP的外接圆上，∵AB+AP＝BP，
∴当BP为直径时，AB+AP最大，即BP'，
BC √21
∴sinP'＝sinP= = ，
BP' 7
解得BP'＝2√21，
∴AB+AP＝2√21，
∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝4√21，
所以答案是：4√21．
8．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6， C半径为2，P为圆上一
⊙
1
动点，连接AP、BP，求AP+ BP的最小值．
2
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接CP，在CB上取点
CD CP 1 PD 1
D，使CD＝1，则有 = = ，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴ = ，
CP CB 2 BP 2
1 1
∴PD= BP，∴AP+ BP＝AP+PD．
2 2
1
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为 √37 ．
2
1 2
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP的最小值为 √37 ．
3 3
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是C^D上一点，
求2PA+PB的最小值．试题分析：（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD=√37；
2 CD CP 1
（2）连接CP，在CA上取点D，使CD= ，则有 = = ，可证△PCD∽△ACP，得到
3 CP CA 3
1 1 1
PD= AP，即： AP+BP＝BP+PD，从而 AP+BP的最小值为BD；
3 3 3
（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到
2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．
答案详解：解：（1）如图1，
连接AD，
1 1
∵AP+ BP＝AP+PD，要使AP+ BP最小，
2 2
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
1
即：AP+ BP最小值为AD，
2
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD=√AC2+CD2=√37，
1
AP+ BP的最小值为√37，所以答案是：√37；
2
（2）如图2，2
连接CP，在CA上取点D，使CD= ，
3
CD CP 1
∴ = = ，
CP CA 3
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
PD 1
∴ = ，
AP 3
1
∴PD= AP，
3
1
∴ AP+BP＝BP+PD，
3
1 2
∴同（1）的方法得出 AP+BP的最小值为BD=√BC2+CD2= √37．
3 3
2
所以答案是： √37；
3
（3）如图3，
延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC+CE＝12，
连接PE、OP，∵OA＝3，
OA OP 1
∴ = = ，
OP OE 2
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
AP 1
∴ = ，
EP 2
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE=√OB2+OE2=13．
二．胡不归
1
9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+ BD的最
2
小值是（ ）
A．3 B．3√3 C．6 D．3+√3
试题分析：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解
1 1
直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH= BD，进而可得CD+ BD=CD+DH，
2 2
1
从而可得CD+ BD的最小值．
2
答案详解：解：如图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，则
CD+DH≥CF，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，
∴CF＝AFtan60°=3√3，
∵点E是AC的中点，
∴∠DBH＝60°÷2＝30°，
1
在Rt△BDH中，DH= BD，
2
1
∴CD+ BD=CD+DH≥3√3，
2
1
∴CD+ BD的最小值为：3√3．
2
所以答案是：B．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且
1
AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+ PB的最小值是（ ）
2
A．2 B．2√3 C．4 D．4√3
试题分析：过点P作PE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，从而可
1
得△ABC是等边三角形，进而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PE=
2
1
BP，从而可得MP+ PB=MP+PE，当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最
2小值为ME，最后在在Rt△CME中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
答案详解：解：过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，BD⊥AC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
1
∴∠DBC= ∠ABC＝30°，
2
∵∠BEP＝90°，
1
∴PE= BP，
2
1
∴MP+ PB= MP+PE，
2
∴当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，
如图：
∵AC＝6，AM＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4，
在Rt△CME中，∠ACB＝60°，
√3
∴ME＝CM•sin60°＝4× =2√3，
2
1
∴MP+ PB的最小值是2√3，
2
所以选：B．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连
1
接AE，AP，若AP+ BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（ ）
2
A．AB B．AE C．BD D．BE
1 1 1
试题分析：由菱形的性质可得∠DBC= ∠ABC＝30°，可得 PF= BP，可得 AP+ BP＝
2 2 2
AP+PF，由垂线段最短，可求解．
答案详解：解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴∠DBC= ∠ABC＝30°，且PF⊥BC，
2
1
∴PF= BP，
2
1
∴AP+ BP＝AP+MP，
2
∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，
1
∴AP+ BP最小值为AE
2
所以选：B．12．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运
动，则√2PC+PB的最小值为 4 ．
试题分析：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
√2
∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD= PB，当C，P，D在同一直线上时，
2
CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
√2
∴PD= PB，
2
√2
∴√2PC+PB=√2（PC+ PB）=√2（PC+PD），
2
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
√2
∴CD= AC＝2√2，
2即PC+PD的最小值为2√2，
∴√2PC+PB的最小值为√2×2√2=4，
所以答案是：4．
13．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA
4
= ，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的
3
64
速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
9
试题分析：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平
DH 4
行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED＝tan∠EBA= = ，设DH＝4m，EH＝3m，则
EH 3
DE＝5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得
到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着
DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H
点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AG的长，接着求出A点和B点坐标，
再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定
E点坐标，从而得到AG的长，然后计算爬行的时间．
答案详解：解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，
∴∠HEB＝∠ABE，
DH 4
∴tan∠HED＝tan∠EBA= = ，
EH 3
设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，
5x
∴蚂蚁从D爬到E点的时间= =4（s）
1.25
4m
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间= =4（s），
1
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着
DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H
点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH的最小值为AG的长，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
1 2
直线BE交y轴于C点，如图，
CO 4
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO= = ，
OB 3
∴OC＝4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
{ 4
{3k+b=0 k=−
把B（3，0），C（0，4）代入得 ，解得 3，
b=4
b=4
4
∴直线BE的解析式为y=− x+4，
3
7
{y=x2−2x−3 {x=−
{x=3 3 7 64
解方程组 4 得 或 ，则E点坐标为（− ， ），
y=− x+4 y=0 64 3 9
3 y=
9
64
∴AG= ，
964
∴蚂蚁从A爬到G点的时间 9 64（s），
= =
1 9
64
即蚂蚁从A到E的最短时间为 s．
9
64
所以答案是 ．
9
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，
√3
则 BP+CP的最小值是 5 ．
2
试题分析：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用
√3
sin60°得到 BP+CP=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小
2
值，最小值为CE，计算即可求出结果．
答案详解：解：过点P作PE⊥AB于点E，1
在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD= AB=5，
2
EP √3
在Rt△BPE中，sin60°= = ，
BP 2
√3
∴EP= BP，
2
√3
∴ BP+CP=EP+CP，
2
√3
当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时 BP+CP=EP+CP取得最小值．
2
∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴CE＝BD＝5，
√3
∴ BP+CP=EP+CP的最小值为5．
2
所以答案是5．
15．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋
转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、
√2
A′D，当A′D+ A′C最小时，求S△A′BC ．
2
试题分析：（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；
（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设AC＝a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代
数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；
（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定 A'（4）的位置，继而求得相关三角形的
面积．
答案详解：解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD＝90°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝30°，
1
∴在直角△BDG中有DG= BD=2，BG=√3DG=2√3，
2
∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
∴BC＝BG+CG=2+2√3，
√2
∴AC= BC=√2+√6；
2
√3
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG= CD，
4
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：
∴∠END＝90°，
由旋转可知∠EBD＝90°，
∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°
∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，
∴∠BEN＝∠BDC，
∴∠BNE＝45°＝∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
{∠BNE=∠BCD
∠BEN=∠BDC，
BE=BA
∴△BEN≌△BDC（AAS），
∴BN＝BC，
∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，
∵∠BAC＝∠END＝90°，
∴EN∥AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
1
∴FG∥BE，FG= BE，
2∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGF＝75°，
设AC＝a，则AB＝a，
√3 2√3
在Rt△ABD中，AD= a，BD＝BE= a，
3 3
1
∴FG= BE，
2
√3
∴FG= a，
3
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形，
√2 √2 1 √2 1 1
∴MG＝MB= BG= × BC= × ×√2AC= a，
2 2 2 2 2 2
在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，
∴√3MF＝MG，
√3
∴MF= a，
6
3+√3
∴BF＝BM+MF= a，
6
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，
1 3+√3
∴FH= BF= a，
2 12
√3 3+√3 1
∴HG＝FG﹣FH= a− a= (√3−1)a，
3 12 4
√3 √3
又∵CD=a− a= (√3−1)a，
3 3
CD 4
∴ = ，
HG √3
√3
∴HG= CD；
4（3）设AB＝a，则BC=√2a，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，
由旋转可知A′B＝AB＝a，
A'B a
= =√2 BC √2a
∵ BN √2 ， = =√2，
a A'B a
2
A'B BC
∴ = =√2，
BN A'B
又∠A'BN＝∠CBA'，
∴△A′BN∽△CBA′，
A'N A'B √2
∴ = = ，
A'C BC 2
√2
∴A'N= A'C，
2
√2
根据旋转和两点之间线段最短可知，A'D+ A'C最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N
2
共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°，
∴四边形A''FAD是矩形，
∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，
∵又A''B＝AB＝4，
设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，
∴42＝22+（4﹣x）2，
解得x=4−2√3．
1 1 1 1 1
∴此时 S△A''BC ＝S△ABC ﹣S△AA''B ﹣S△A''AC =
2
AB•AC−
2
AB•A''F−
2
AC•A''D =
2
×4×4−
2
×4×2
1
− ×4×（4﹣2√3）＝4√3−4．
2
