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专题 05 压轴必会：找规律精讲练
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点精讲
一 数字类变化规律。
1.分组规律 总数÷周期个数=周期数+余数 余几则是周期中的第几个，无余，最后
一个。
2.数列规律: 等差数列 差*n+(首数-差) 3,7,11,15…… 4n+(3-4)=4n-1
3.等比数列： 即相邻的两个项的比值相等（后÷前）。 2,4,8,16……2n
4.差比结合 2，8，26，80…… 3n-1
5.乘积 3×2 4×3 5×4 ……（2n+1）(n+1)
6.注意：负号 （-1）n或2(n+1)
7. 三个找规律，四个来验证：即把前三个写成相同的形式，写出规律，并用第四个来
验证规律。 巧：1可用任何数（0除外）的零次幂或n/n表示。5/5；（1/2）0 ；
8. 必背公式：等差求和公式 (（首数+尾数）×个数)/2；1+3+5+……+2n-1=n2；
9. 部分题目，奇偶分开（即当个数为奇数时与偶数时规律不同）。
【典例分析】
例1：有一列数a ，a ，a ，…，a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那
1 2 3 n
个数的倒数的差，若a ＝3，则a 为（ ）
1 2020
2 1
A．2020 B．3 C． D．−
3 2
【试题分析】根据每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差多列举几个数字，
找出规律即可．
【答案详解】解：a ＝3，
1
1 2
a ＝1− = ，
2
3 3
3 1
a ＝1− =− ，
3
2 2
a ＝1﹣（﹣2）＝3，
4
..．
从上面的规律可以看出每三个数一循环，
2020÷3＝673......1，∴a ＝a ＝3，
2020 1
故选：B．
例2． 观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28
＝256…观察后，用你所发现的规律写出223的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【试题分析】通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此
规律算出第23个算式的个位数字即可．
【答案详解】解：通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，
∵23÷4＝5......3，
∴第23个算式末尾数字和第3个算式的末尾数字一样为8，
即223的末位数字是8，
故选：C．
二、 图形类变化规律
1. 掐头（去尾）变规律。如例2.
2. 利用图形的特点，找出前3个(一般最多6个)，变成数字规律。
【典例分析】
如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第 n个图形
中圆的个数为（ ）
A．4n B．4n+1 C．3n+1 D．2n﹣1
【试题分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的
个数为4+3＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝10；进而发现规律，即可得第n
个图形中圆的个数．
【答案详解】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆的个数为4；
第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；
第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；
…
试卷第2页，共10页则第n个图形中圆的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．
故选：C．
实战训练
一、数字类规律
1．已知整数 ，……满足下列条件， ，
a ，a ，a a =0，a =−|a +1|，a =−|a +2|
1 2 3 1 2 1 3 2
依次类推，则 的值为 ．
a =−|a +3|……， a
4 3 2023
2．有一列数，按照一定规律排列成1，−3，9，−27，81，……．其中第6，第7，第
8三个数的和是 ．
3．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性：
1=1；3=1+2；6=1+2+3；10=1+2+3+4；……若把第一个三角形数记为a ，第
1
二个三角形数记为a ，…，第n个三角形数记为a ，请计算a −a = ．
2 n 25 9
4．已知整数 ， ， ， ， 满足下列条件∶ ， ，
a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ a =0 a =−|a +1|
1 2 3 4 1 2 1
， ， ， (n为正整数)依此类推，则 的
a =−|a +2| a =−|a +3| ⋅⋅⋅ a =−|a +n| a
3 2 4 3 n+1 n 2023
值为 ．
5．已知 ，则 的末尾数字是 ．
(x−5) 2+|y+3|=0 (x+ y) 2021
6．把1、2、…、2000这2000个自然数任意排列为a ，a ，…，a ，使得
1 2 2000
|a −a |+|a −a |+…+|a −a |的和最大，则这个最大值为（ ）
1 2 3 4 1999 2000
A．2002000 B．2001999 C．1999999 D．1000000
7．一组按规律排列的式子： b2，b5， b8，b11 那么第 个式子是
− − ,…(ab≠0) n
a a2 a3 a4
（ ）
A．
−
b3n−1 B．
(−1) n
b3n+1 C．
(−1) n
b3n−1 D． bn+3
a an an (−a) n
8．观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为a ，记第
1二个数为a ，…，记第n个数为a .通过计算a −a ，a −a ，a −a ，…发现它们有
2 n 2 1 3 2 4 3
一定的规律，由此规律推算a 的值应为（ ）
100
A．5152 B．5051 C．4951 D．4852
1 1 1
9．一列数a ,a ,a ,⋯,a 其中a =−1，a = ，a = ，…，a = ，
1 2 3 n 1 2 1−a 3 1−a n 1−a
1 2 n−1
则a +a +a +⋯+a 的值为（ ）
1 2 3 2023
A．1011 B．1010 C．2022 D．2023
二、图形类规律
10．如图是用◆形棋子摆成的图形，第1个图形需要8颗◆形棋子，第2个图形需要
10颗◆形棋子，第3个图形需要12颗◆形棋子，…，按照这样的规律摆下去，第n个
图形需要66颗◆形棋子，则n的值为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
11．观察下图中用火柴棒摆的三角形图案，图共用3根火柴棒，图共用9根火柴棒，
图共用18根火柴棒，按这种方式摆下去，图需要的总火柴棒数是（ ）
A．63 B．108 C．74 D．84
12．为庆祝“六⋅一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）．
A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n
13．如图是用棋子摆成的图案，则第4个图中有 枚棋子，第6个图中有
枚棋子，由规律可得，第n个图中有 枚棋子．
试卷第4页，共10页14．根据图示规律，第7个图形共有（ ）个正方形？
A．49 B．85 C．126 D．140
15．观察下列一组图形，其中图形中共有5颗黑点，图形中共有10颗黑点，图形中共
有16颗黑点，图形中共有23颗黑点，按此规律，图形⑨中黑点的颗数是（ ）
A．69 B．62 C．101 D．74
16．第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小
棒…，则第10个图案需要 根小棒．
17．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要
枚棋子．
18．如图所示，将形状、大小完全相同的“．”和线段按照一定规律摆成下列图形，
第1幅图形中“．“的个数为a ，第2幅图形中“．”的个数为a ，第3幅图形中
1 2
1 1 1 1
“．”的个数为a ……以此类排， + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 的值为 ．
3 a a a a
1 2 3 22
19．用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的
火柴棒的根数为 ．
20．等边△ABC在数轴上如图放置，点A，C对应的数分别为0和−1，若△ABC绕顶
点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点B所对应的数为1，翻转第2次
后，点C所对应的数为2，则翻转第2022次后，则数2022对应的点为 ．
21．在同一平面内有2023条直线，分别记为l 、l 、l 、l 、…、l ，若l ⊥l ，
1 2 3 4 2023 1 2
l ∥l ，l ⊥l ，l ∥l ，…，则按此规律l 与l 的位置关系是
2 3 3 4 4 5 1 2023
22．下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的．观察图形．回答下列
问题：
试卷第6页，共10页(1)按上述规律排列，第幅图中，图形的周长为______﹔
(2)按上述规律排列，第n幅图中．图形的周长为______；
(3)按上述规律排列，是否存在第n幅图形的周长为60，请说明理由．
三、图形类规律的灵活运用。
23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不
与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作^P，
PO
即^P= ，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以^P=1．
PA
1
(1)如图，点P ，P ，P 为数轴上三个点，点P 表示的数是− ，点P 与P 关于原点
1 2 3 1 4 2 1
对称（即P O=P O）．
1 2
______；
^P =
2
比较 ， ， 的大小（用“＜”连接）；
^P ^P ^P
1 2 3
1
(2)数轴上的点M满足OM= OA，求M；
4
(3)数轴上的点P表示有理数p，已知^P<50且^P为整数，则所有满足条件的p的倒数之
和为______．
24．将一列有理数−1 , 2 , −3 , 4 , −5 , 6，……，如图所示有序排列．根据图中的
排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位
置是有理数___________，2022应排在A、B、C、D、E中___________的位置．正确
的选项是（ ）
A．−29，A B．30，D C．−29，B D．−31，A
25．在数学兴趣活动中，小容为了求2+22+23+…+2n−1+2n的值，写出下列解题过程．
解：设S=2+22+23+…+2n−1+2n
两边同乘以2得：
2S=22+23+…+2n−1+2n+2n+1由−得：S=2n+1−2
(1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：2+22+23+…+2100=________；
1 1 1 1 1
(2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算： + + + +⋯+ ；
2 22 23 24 2n
(3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解
决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快
1 1 1 1 1
速得出 + + + +⋯+ 结果．
2 22 23 24 2n
如图1，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分．
请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？
1 1 1 1 1
请你说明小容是如何利用分割的图形来计算 + + + +⋯+ ？
2 22 23 24 2n
1 1 1 1 1
请你再设计一个几何图形来求 + + + +⋯+ 的值，并简单说明你的设计思
2 22 23 24 2n
路．
26．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对
边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；
第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划
分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系
试卷第8页，共10页和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达
式的结果．
3 ( 1 1 1 1 )（直接写出答案即可）
× 1+ + + +⋯+
4 4 42 43 4n
四、数字类规律的灵活运用。
27．有一系列等式：
第1个：52−12=8×3；
第2个：92−52=8×7；
第3个：132−92=8×11；
第4个：172−132=8×15；
……
(1)请写成第5个等式：
(2)请写出第n个等式：
(3)依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+…+8×99．
28．观察下列算式：
1×2×3 2×3×5 3×4×7 4×5×9
12= ；12+22= ；12+22+32= ；12+22+32+42= ；
6 6 6 6
……．
(n+12)(n+13)(2n+25) (n+10)(n+11)(2n+21)
用你所发现的规律，化简： − =
6 6
（n为正整数）．
29．阅读理解题．
我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作S ，那么有：
n
[1×(1+1)] 2 ；
S =13=12=
1 2
[2×(1+2)] 2 ；
S =13+23=(1+2) 2=
2 2
[3×(1+3)] 2
S =13+23+33=(1+2+3) 2=
3 2
⋯观察上面式子的规律，完成下面各题．
(1)猜想出S = （用n表示）．
n
(2)依规律，直接求13+23+33+⋯+103的值为 ．
(3)依规律，23+43+63+⋯+203的值．
(4)依规律，求113+123+133+⋯+403的值．
30．观察下面算式，解答问题：
1+3=4=
(1+3) 2
=22
；
2
1+3+5=9=
(1+5) 2
=32
；
2
1+3+5+7+9=25=
(1+9) 2
=52
……
2
(1)1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；
(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+(2n−1)+(2n+1)的
值为_____________；
(3)请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详
细解答过程）．
试卷第10页，共10页
