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专题05 有理数相关概念类易错题专训
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数
C．若|a|＝|b|，则a与b互为相反数 D．整数包括正整数和负整数
【分析】根据有理数的分类，以及绝对值的概念判断即可．
【解答】解：A．0 既不是正数也不是负数，故A错误；
B．整数和分数统称为有理数；故B正确；
C．若|a|＝|b|，则a＝b或a与b互为相反数．故C错误；
D．整数包括正整数、0和负整数，故D错误．
故选：B．
2．下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0的数有一个，没有绝对值等于负数的数，
故0的绝对值最小．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，|0|＝0，|3|＝3，
∴绝对值最小的数是0．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数 D．不是正数的数一定是负数
【分析】由实数的分类可知B正确，ACD错误．
【解答】解：A．﹣1，﹣2，0等都是整数，但不是正数，不符合题意；
B．根据有理数的分类可知B正确，符合题意；
C．负有理数比0小，不符合题意；
D．0既不是正数，也不是负数，不符合题意，
故选：B．
4．下列说法，正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数 B．只有符号不同的两个数叫做互为相反数
C．没有绝对值最小的有理数 D．倒数等于本身的数是0，±1
【分析】根据有理数、正负数、绝对值、相反数和倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：A．一个数不是正数就是负数，说法错误，如0，既不是正数也不是负数；B．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，说法正确；
C．没有绝对值最小的有理数，说法错误，绝对值最小的有理数是0；
D．倒数等于本身的数是0，±1，说法错误，0没有倒数．
故选：B．
5．如图，数轴上A、B两点所表示的两个数分别是m、n，把m、n、﹣m、﹣n按从小到大顺序排列，
排列正确的是（ ）
A．﹣m＜﹣n＜m＜n B．m＜n＜﹣m＜﹣n C．m＜﹣n＜﹣m＜n D．m＜﹣n＜n＜﹣m
【分析】根据数轴表示数的方法得到m＜0＜n，且|m|＞n，则﹣m＞n，﹣n＞m，即可得到m、n、﹣
m、﹣n的大小关系．
【解答】解：∵m＜0＜n，且|m|＞n，
∴﹣m＞n，﹣n＞m，
∴m、n、﹣m、﹣n的大小关系为m＜﹣n＜n＜﹣m．
故选：D．
6．绝对值大于3小于7的正整数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值大于3，且小于7的正整数有哪些即可．
【解答】解：绝对值大于3小于7的正整数有：4、5、6，共3个．
故选：B．
7．当﹣1＜x＜0时， ，x，﹣x的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据﹣1＜x＜0时，可得： ＜﹣1，0＜﹣x＜1，据此判断出 ，x，﹣x的大小关系即可．
【解答】解：∵﹣1＜x＜0时，
∴ ＜﹣1，0＜﹣x＜1，
∴ ＜x＜﹣x．
故选：B．
8．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．2
【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：因为2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，
所以2020|a+1|+2021|b+3|＝0，
所以a+1＝0，b+3＝0，
解得，a＝﹣1，b＝﹣3，
则a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
故选：D．
9．下列说法错误的有（ ）
①最大的负整数是﹣1；②绝对值是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数
轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据负整数的意义，可判断①；
根据绝对值的意义，可判断②；
根据有理数的分类，可判断③；
根据负数的意义，可判断④；
根据有理数的意义，可判断⑤．
【解答】解：①最大的负整数是﹣1，故①正确；
②绝对值是它本身的数是非负数，故②错误；
③有理数分为正有理数、0、负有理数，故③错误；
④a＜0时，﹣a在原点的右边，故④错误；
⑤在数轴上7与9之间的有理数有无数个，故⑤错误；
故选：D．
10．若a+b＜0，a＜0，b＞0，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（ ）
A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a
【分析】用“特值法”可以迅速求解．
【解答】解：按题意，可设a＝﹣2，b＝1，则﹣a＝2，﹣b＝﹣1．
由于﹣2＜﹣1＜1＜2，
所以a＜﹣b＜b＜﹣a．
故选：A．
11．已知a，b，c为非零的实数，则 的可能值的个数为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性
质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式＝1+1+1+1
＝4；
②a、b、c中有两个正数时，
设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式＝1+1﹣1﹣1
＝0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式＝1﹣1+1﹣1
＝0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式＝﹣1﹣1﹣1+1
＝﹣2；
③a、b、c有一个正数时，
设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式＝1﹣1﹣1+1
＝0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式＝﹣1﹣1+1﹣1
＝﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式＝﹣1+1﹣1﹣1＝﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，
则ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式＝﹣1+1+1+1
＝2．
综上所述， 的可能值的个数为4．
故选：A．
12．a的相反数是 ，则a的倒数是 ．
【分析】直接利用相反数的定义得出a的值，再利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：∵a的相反数是 ，
∴a＝﹣ ，
∴a的倒数是：﹣ ．
故答案为：﹣ ．
13．已知m，n互为相反数，则2m+2n+2﹣ ＝ .
【分析】直接利用相反数的定义代入得出答案．
【解答】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n＝0，
∴原式＝2（m+n）+2﹣0
＝2×0+2
＝2．
故答案为：2．
14．将数分类：﹣2，0，﹣0.1314，11， ，﹣4 ，0.03，2%．
正数：{ }；
非负数：{ }；
负分数：{ }；
非负整数：{ }．【分析】根据有理数的定义以及正数、非负数、负分数、非负整数的定义分别得出即可．
【解答】解：正数：{11， ，0.03，2%}；
非负数：{0，11， ，0.03，2%}；
负分数：{﹣0.1314，﹣4 }；
非负整数：{0，11}．
故答案为：11， ，0.03，2%；0，11， ，0.03，2%；﹣0.1314，﹣4 ；0，11．
15．已知有理数a＜﹣1，则化简|a+1|+|1﹣a|的结果是 ．
【分析】先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＜﹣1，
∴a+1＜0，1﹣a＞0，
∴|a+1|+|1﹣a|
＝﹣a﹣1+1﹣a
＝﹣2a，
故答案为：﹣2a．
16．若▲表示最小的正整数，■表示最大的负整数，●表示绝对值最小的有理数，则（▲+●）×■＝
．
【分析】最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，绝对值最小的数是0．由此代入计算即可．
【解答】解：▲是1，■是﹣1，●是0，
∴（▲+●）×■＝（1+0）×（﹣1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
17．定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣
1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣1）＝ ；
（2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为 ．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，根据x与m都为整数，确定出m的值即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2+（﹣1）﹣1＝1﹣1＝0．
故答案为：0；（2）已知等式化简得：﹣5+3x+2m﹣1＝5，
解得：x＝ ，
由x、m都是正整数，得到11﹣2m＝9或11﹣2m＝3，
解得：m＝1或4．
故答案为：1或4．
18．当x＝a时，代数式|x﹣1|+9有最小值b，则a+b的值为 ．
【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵代数式|x﹣1|+9有最小值b，
∴x﹣1＝0，b＝9，
解得：x＝1，
故a＝1，
则a+b＝10．
故答案为：10．
19．把下列各数的序号填在相应的数集内：
①1，② ，③+3.4，④0，⑤ ，⑥﹣6.5，⑦+10，⑧﹣4，⑨﹣6．
（1）正整数集合{ …}；（2）正分数集合{ …}；
（3）负分数集合{ …}；（4）负数集合{ …}；
（5）非负整数集合{ …}．
【分析】分别根据正整数、正分数、负分数、负数、以及非负整数的定义填空即可．
【解答】解：（1）正整数集合{1，+10…}；
故答案为：①⑦；
（2）正分数集合{+3.4， …}；
故答案为：③⑤；
（3）负分数集合{ ，﹣6.5…}；
故答案为：②⑥；
（4）负数集合{ ，﹣6.5，﹣4，﹣6…}；
故答案为：②⑥⑧⑨；
（5）非负整数集合{1，0，+10…}；故答案为：①④⑦．
20．如图，有四个点M，N，P，Q在一条缺失了原点和单位长度标记的数轴上，对应的有理数分别为
m，n，p，q，且m+p＝0，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个数是 ．
【分析】根据题意得到m与p互为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数．
【解答】解：∵m+p＝0，
∴m与p互为相反数，
∴M、P的中点为坐标原点，
∴点Q离原点最近，
∴绝对值最小的一个数是q．
故答案为：q．
21．将下列各数填在相应的圆圈里：+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%， ，﹣2021，﹣1.8．
【分析】根据有理数的分类进行填空即可．
【解答】解：如图：
22．用数轴上的点表示下列各数，并把它们用“＜”连接起来．
（1）点A：3 的相反数；
（2）点B：﹣1.5的倒数；
（3）点C：1.25；
（4）点D：绝对值最小的数．【分析】先分别求出点A，B，C，D所表示的数，再在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意可得，点A表示的数是﹣3 ，点B表示的数是﹣ ，点D表示的数是0，
将它们在数轴上表示如下：
把它们用“＜”连接起来为：﹣3 ＜﹣ ＜0＜1.25．
23．请根据图示的对话解答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的绝对值．
【分析】（1）根据相反数和倒数的定义可得结果；
（2）根据绝对值的非负数性质解答即可．
【解答】解：（1）2的相反数为﹣2，故a＝﹣2； 的倒数是﹣3，故b＝﹣3；
故答案为：﹣2；﹣3；
（2）由题意，得|m﹣（﹣2）|+|﹣3+n|＝0，而|m﹣（﹣2）|≥0，|﹣3+n|≥0，
所以m＝﹣2，n＝3，
所以mn＝﹣2×3＝﹣6．
因为|﹣6|＝6，
所以mn的绝对值为6．
24．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b 0，a+b 0，a﹣c 0．
（2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|．
【分析】（1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可；（2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可．
【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，
c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0；
故答案为：＞，＜，＜；
（2）原式＝c﹣b+[﹣（a+b）]﹣[﹣2（a﹣c）]
＝c﹣b﹣a﹣b+2a﹣2c
＝a﹣2b﹣c．
25．若|a|＝7，|b|＝4，
（1）若ab＞0，求a+b的值；
（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．
【分析】（1）若ab＞0，则a、b同号，求出a、b的值，再把它们相加即可．
（2）若|a+b|＝a+b，则a+b≥0，求出a、b的值，再把它们相减即可．
【解答】解：∵|a|＝7，|b|＝4，
∴a＝±7，b＝±4，
（1）若ab＞0，
则a＝﹣7，b＝﹣4或a＝7，b＝4，
①a＝﹣7，b＝﹣4时，
a+b＝﹣7﹣4＝﹣11．
②a＝7，b＝4时，
a+b＝7+4＝11．
（2）若|a+b|＝a+b，
则a+b≥0，
可得a＝7，b＝﹣4或a＝7，b＝4，
①a＝7，b＝﹣4时，
a﹣b＝7+4＝11．
②a＝7，b＝4时，
a﹣b＝7﹣4＝3．
26．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从 A地出发，晚上
到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升
油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20，
答：B地在A地的东边20千米；
（2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米，
应耗油74×0.5＝37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9＝5（千米）；14﹣9+8＝13（千米）；14﹣9+8﹣7＝6（千米）；
14﹣9+8﹣7+13＝19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13（千米）；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20（千米），
25＞20＞19＞14＞13＞＞6＞5，
∴最远处离出发点25千米；（每小题2分）
27．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|
5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的
两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，
则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|＝3，那么x为
；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣
（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣
4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
