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专题05模型方法课之三垂直模型压轴题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰直角 中， ， 的直角顶点D与 的中点重
合，两边分别交 ， 于点E，F，有以下结论：① ；②
；③ ；④ ．上述结论错误的是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】
①证明△CDE≌△BDF，即可得出CE= BF，故①正确；②根据△CDE≌△BDF，得出
S =S ，即可得出答案，故②正确；③由①可知DE=DF，推出△DEF是等腰直角
DCE BDF
△ △
三角形，得出S = ·DE·DF，根据当DE最短时，S 最小，当DE最长时，S
DEF DEF DEF
△ △ △
最大，然后分类讨论即可2≤S ≤4，故③错误；④由①得BF=CE，根据在Rt ECF
DEF
△
中，EC2+CF2=EF2和在Rt DEF中，DE2+DF2=EF2，根据DE=DF，即可得出 △
BF2+CF2=2DF2，故④正确△，即可得出答案．
【详解】
①∵ AC= BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB = 90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∵D是Rt ABC斜边AB上的中点，AC= BC，
△
1∴CD=BD=AD= АВ，∠ACD=∠B=45°，
在△CDE和△BDF中
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴DE= DF，CE= BF，故①正确；
②∵△CDE≌△BCF，
∴S =S ，
DCE BDF
△ △
S = S +S =S = S ，故②正确；
四边形CDFE CDF BDF BDC ABC
△ △ △ △
③由①可知DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴S = ·DE·DF，
DEF
△
则当DE最短时，S 最小，
DEF
△
当DE最长时，S 最大，
DEF
△
当DE⊥AC时，DE最小，此时DE∥BC，
∵DE是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC=2，
∴S 的最小值为 ×2×2=2，
DEF
△
当E与A重合，F与C重合时，DE最大，
此时DE=AD= AB，
AB= = ，
则DE= ，
∴S 的最小值为 × × =4，
DEF
△
∴2≤S ≤4，故③错误；
DEF
△
④由①得BF=CE，
2∴在Rt ECF中，EC2+CF2=EF2，
又∵在△Rt DEF中，DE2+DF2=EF2，
∵DE=DF△，
∴EC2+CF2=2DF2，
∴BF2+CF2=2DF2，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形
的中位线的性质，题目综合性很强，掌握这些知识点是解题关键．
2．在正方形 中，直线 经过对角线 ， 的交点 ，过 ， 两点分别作
直线 的垂线，交直线 于点 ， ．若 ， ，则 长为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
【答案】D
【分析】
依据已知条件求出 ， ，根据 证 ，
推出 ， ，即可得到 的长．
【详解】
解：如图，当直线 与线段 不相交时，
， ， ，
， ，
，
又 正方形 中， ，
，
， ，
；
如图，当直线 与线段 相交时，
3， ， ，
， ，
，
又 正方形 中， ，
，
， ，
；
故选D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的
一般方法有： 、 、 、 ．本题要注意思考全面，直线 与线段 有两
种情况（相交、不相交），不能遗漏．
3．如图，正方形 中， ， 分别为 ， 上的点， ， ， 交
于点 ， 交 于点 ， 为 的中点， 交 于点 ，连接 ．下列结
论：① ；② ；③ ；④ ，正确的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
①可证 得 ，所以 ，由此得证．②由题
意正方形中 ，在上面所证 ，得 ，结合正方
4形性质易证 （AAS）得到 即得证．③过 点作 垂直于 ，
交 于 点，可证得 ． 得 是等腰直角三角形，由
，④由 得 ，所以
．
【详解】
解： ， ， ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
即 ，故结论①正确；
四边形是正方形，
， ，
由题意正方形中 ，在上面所证 ，
，
（AAS），
，即结论②正确；
过 点作 垂直于 ， 交 与 点，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
故 （ASA），
∴ ,
，
，
5∴ ，故结论③正确；
∵ ，
，
∴ ，
， ，
∴ ，故结论④正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及等腰直角三角形性质，充分利用线
段和角证明三角形全等，转化线段和角的关系是解题关键，比较综合，有一定难度．
二、填空题
4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD与BE为△ABC的高，交点为F，CD=4，
则线DF=___________．
【答案】4
【分析】
求出AD=BD，求出∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=∠FBD，根据ASA证
△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质推出DF=DC即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
在△BDF和△ADC中
6，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了垂直定义，余角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性
质和判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的
关键．
5．如图，已知正方形 的边长为 ，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕
点 顺时针旋转 到 连接 ，则 的最小值是_____．
【答案】
【分析】
如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、
F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】
解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
7∵ ， ，
∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点 ，则
∴C点在AB的延长线上， 是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝ 最小，
∴在 中，AD＝4， ，
∴ ，
∴DF+CF的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴
对称转化为共线线段是解题的关键．
6．如图，正方形 中， 为 边上一点，且 ，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，连接 、 ，则线段 的长度是_________．
8【答案】 ．
【分析】
作 于点H，如图，利用正方形的性质得 ， ，再根据旋转
的性质得 ， ，接着证明 ，得到 ，
，所以 ，则 ，然后利用勾股定理计算FC的长．
【详解】
如图，作 于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴ ， ，
∵AE绕点E顺时针旋转 得到EF，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
9即 ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质．
7．如图，在四边形 中， ， 是 上一点， ，
， ______．
【答案】
【分析】
通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．
【详解】
解：如图所示，分别过A、D作 于E， 于F
∴
∴ ,
∵
∴
10∴ ,
在 与 中
∴
∴ ，
在 中，
∴
同理可得：
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是
解题的关键．
三、解答题
8．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，
AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）求证：MN＝AM＋BN；
（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于
11点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析
【分析】
(1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又
∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB，根据
“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得到AM=CN，CM=BN，则
MN=MC+CN=AM+BN．
(2)根据已知条件能证得△ACM≌△CBN，利用全等的性质得到AM=CN，CM=BN，
而MN=CN-CM=AM-BN．
【详解】
解：(1)∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
\
∴ACM≌△CBN，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN．
(2)题(1)中的结论不成立，
同题(1)证明可知：ACM≌△CBN，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN，
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是
解题的关键．
9．如图， ， ， 于点E， 于点F，其中
．
12（1）求证： ；
（2）若 ， ，求BE的长；
（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得 ，再根据直角三角形的两锐角互余、
角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得 ，再根据线段的和差可得
，由此即可得；
（3）如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得
，再根据三角形全等的性质可得
，从而可得 ，然后根据三角形全等的判定定
理与性质可得 ，最后根据等腰直角三角形的判定即可得．
【详解】
（1） ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
；
13（2）由（1）已证： ，
，
，
，
，
，
；
（3） 是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接CQ，
，
是等腰直角三角形， ，
点Q是斜边AB的中点，
，
，
由（1）已证： ，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
又 ，
，即 ，
是等腰直角三角形．
．
14【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角
形斜边上的中线等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题
关键．
10．如图，三角形 中， 于 ，若 ， ．
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）求出∠ADC=∠BDF=90°，根据SAS证△ADC≌△BDF，根据全等三角形的性质
推出∠FBD=∠CAD即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠FBD+∠BFD=90°，推出∠AFE+∠EAF=90°，在
△AFE中，根据三角形的内角和定理求出∠AEF即可．
【详解】
证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∵在△ADC和△BDF中
，
∴△ADC≌△BDF（SAS），
∴∠FBD=∠CAD；
（2）∵∠BDF=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
由（1）知：∠FBD=∠CAD，
∴∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CAD+∠AFE）=90°，
15∴BE⊥AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应
用，关键是推出△ADC≌△BDF．
11．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝
BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需
要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有
怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝
AD+BE，证明见解析．
【分析】
（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，
推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到
AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】
解：（1）AD＝EC；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
16∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已证△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【点睛】
此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证
出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
12．如图，已知： 中， ， ，分别过B，C向经过点A的直
线EF作垂线，垂足为E，F．
17（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明 如图 ；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明： ；
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的
结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出
EF=BE-CF．
【详解】
解：（1） ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
≌ ，
， ，
．
（2） ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
18≌ ，
， ，
∵ ，
∴
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段
和的问题．
13．（1）问题：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点，
， ．求证： ；
（2）问题：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，
且 ．求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）先证明 ，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）过 点做 于点 ，易证 ， 是等腰直角三
角形，进而即可求解．
【详解】
（1）∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
∵ ，
∴ ，
19∴ ，
∴ ；
（2）过 点做 于点 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握
“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
14．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
且AD=CE；
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC．
（2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样
的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．
20【答案】（1）见解析；（2）DE=AD+BE；见解析；（3）AD=DE+BE
【分析】
（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，再利用HL证明Rt ADC≌Rt CEB，得
到∠DAC=∠BCE，再根据余角的定义得到∠ACD+∠BCE=∠AC△B=90°，可得△结论；
（2）根据Rt ADC≌Rt CEB得到DC=BE，从而利用等量代换得到DE=AD+BE；
（3）同理可证△：Rt AD△C≌Rt CEB，利用等量代换可得AD=DE+BE．
【详解】 △ △
解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
在Rt ADC和Rt CEB中，
△ △
，
∴Rt ADC≌Rt CEB（HL），
∴∠△DAC=∠BC△E，
∵∠ADC=90°，即∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
（2）DE=AD+BE，
理由如下：
∵Rt ADC≌Rt CEB，
∴DC△=BE， △
∵AD=CE，
∴DE=DC+CE=AD+BE；
（3）AD=DE+BE，
同理可证：Rt ADC≌Rt CEB（HL），
∴CD=BE， △ △
∴AD=CE=DE+CD=DE+BE，
∴即AD=DE+BE．
21【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边、对应角相等．
15．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形 中， ， ．过
作 ，且 ，连结 ，过点 作 的 边上的高 ，易证
，从而得到 的面积为_________．
（2）（初步探究）如图，在 中， ， ，过 作 ，
且 ，连结 ．用含 的代数式表示 的面积并说明理由．
（3）（简单应用）如图，在等腰 中， ， ，过 作 ，
且 ，连结 ，求 的面积（用含 的代数式表示）．
【答案】（1）32；（2） ；答案见解析；（3） ．
【分析】
（1）【问题原型】根据AAS证明出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形
的面积公式得出结论
（2）【初步探究】过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就
可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论．
（3）【简单应用】过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等
腰三角形的性质可以得出 ，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出
BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】
22解：（1）【问题原型】如图，
∵过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=8．
∴S =32，
BCD
△
（2）【初步探究】 ．
理由：过 做 上以 垂足为 ，
∵ ，
∴ ．
23∵ ，
∴ ．
∴ ．
在△ABC和△BDE中，
∵ ．
∴ =a．
∴
（3）【简单应用】过 做 于 ，过 做 于 ．
∴∠AFB=∠E=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴ ．
∵ ， ， ，
∴
∴ ．
24∴
．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定
及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16．如图，已知 和 均是直角三角形， ， ，
于点 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若点 是 的中点， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） cm
【分析】
（1）根据 即可证明结论；
（2）结合（1）可得 cm，根据点 是 的中点，可得
cm，根据勾股定理即可求出 的长．
【详解】
解：（1）证明： ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
25，
；
（2） ，
cm，
点 是 的中点，
cm，
cm，
在 中，根据勾股定理，得
cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形
的判定与性质．
17．（提出问题）如图1，在直角 中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则
∠1、∠2的关系为
（探究问题）如图2，在直角 中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l上，
分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并
说明理由．
（解决问题）如图3，在 中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线
l上，分别以A、B为直角顶点，向 外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形
BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．
①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；
②若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为
【答案】提出问题： ；探究问题： ，理由见解析；解决问题：
26① ，理由见解析；② ．
【分析】
提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；
探究问题：先根据垂直的定义可得 ，再根据直角三角形的两锐角
互余、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得
，最后根据线段的和差即可得；
解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得 ，再根据线
段的和差即可得；
②如图（见解析），同探究问题的方法可得 ，再根据三
角形全等的性质可得 ，然后利用三角形的面积公式将五边形
EMNFC面积表示出来，由此即可得出答案．
【详解】
提出问题： ，
，
故答案为： ；
探究问题： ，理由如下：
，
，
，
由提出问题可知， ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
即 ；
解决问题：① ，理由如下：
同探究问题的方法可证： ，
，
即 ；
27②如图，过点C作 于点D，
同探究问题的方法可证： ，
，
和 都是等腰直角三角形，且 ，
，
，
五边形EMNFC面积为 ，
，
，
，
则当 面积取得最大值时，五边形EMNFC面积最大，
设 的BC边上的高为 ，则 ，
在 中， 、 均为锐角，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
面积的最大值为 ，
则五边形EMNFC面积的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知
识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
18．综合与实践．
积累经验
我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中
28经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在
中， ， ，线段 经过点 ，且 于点 ， 于
点 .求证： ， ”这个问题时，只要证明 ，即可得到
解决，
（1）请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标．
拓展提升
（3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为
，点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________．
【答案】（1）见解析；（2）B的坐标（3，1）；（3）（3，4）
29【分析】
（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的
余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明 ，最后再根据全等三角形对
应边相等得出AD=CE，CD=BE；
（2）如图4，过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明 ，进而得出
AO=CE，CO=BE，再根据点A的坐标为（0，2），点C的坐标（1，0），求得
OE=3，最后得出B的坐标（3，1）；
（3）如图5，过点C做CF⊥x轴与点F，再过点A、B分别做AE⊥CF，BD⊥CF，通
过证明 ，进而得出BD=CE=，AE=CD，最后根据点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，得出B坐标（3，4）.
【详解】
（1）证明：
∵AD⊥DE，BE⊥DE
∴∠D=∠E=90°
∴∠DAC+∠ACD=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴∠DAC=∠BCE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E
∵∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCE=90°
∴∠OAC=∠BCE
在△AOC和△CEB中
30∴△AOC≌△CEB
∴AO=CE，CO=BE
又∵点A的坐标为（0，2），点C的坐标（1，0）
∴AO=2，CO=1
∴CE=2，BE=1
∴OE=3
∴B的坐标（3，1）
（3）（3，4）
解：如图5，过点C做CF⊥x轴与点F，再过点A、B分别做AE⊥CF，BD⊥CF，
∵AE⊥CF，BD⊥CF
∴ ，
∴ ,
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴在 和 中 ，
∴ （AAS）
∴BD=CE，AE=CD，
又∵ 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2
设B点坐标为（a，b），
则a=4-1=3，b=2+2=4，
∴B坐标（3，4）
31.
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题；
通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角
关系是本题的关键.
19．如图，等腰 中， ， ，点 ， 分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点 的横坐标为 ，直接写出点 的坐标_______；
图1
（2）如图2，若点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上运动时，分别以 ，
为边在第一、第二象限作等腰 ，等腰 ，连接 交 轴于点 ，
当点 在 轴的正半轴上移动时， 的长度是否发生改变？若不变，求出 的值；
若变化，求 的取值范围．
图2
【答案】（1） ；（2）不变，PB的值为3
【分析】
32（1）作CD⊥BO，可证△ABO全等于△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即
可解题；
（2）作EG⊥y轴，可证△BAO全等于△EBG全等于△EGP全等于△FBP，可得
BG=OA和PB=PG,即可求得PB是AO的2倍，即可得到结论．
【详解】
（1）如图，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO,
在△ABO和△BCD中，
∴△ABO≌△BCD,
∴CD=BO=5,
∴B点的坐标（0,5）
故答案为： ．
（2）不发生改变，理由如下：
作 轴于 ，
， ，
．
在 和 中，
33，
，
在 和 中，
．
．
∴不变，PB的值为3．
【点睛】
本题考查三角形全等、等腰直角三角形性质、勾股定理、角平分线性质，熟练掌握添
加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
20．在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰 ，若已知 ，
，试求C点的坐标．
（2）如图②，若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点D的纵坐标为b，
以B为顶点， 为腰作等腰 ，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都
不变时，求式子 的值．
34（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且 ， 于点F，以OB为边
作等边 ，连接EM交OF于点N，求式子 的值．
【答案】（1） ；（2）0；（3）2
【分析】
（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC＝AO，AQ＝BO，再由
条件就可以求出C的坐标．
（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO＝BP＝OB−PO＝−a−
（−b）＝b−a为定值．
（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1＝30°，∠2＝∠3＝∠EMO＝15°，∠EOF
＝∠BMG＝45°，EO＝BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM＝ON，就有EM−ON
＝EM−GM＝EG，最后由含30°的直角三角形的性质就可以得出EN＝EM−ON的一半
即可得．
【详解】
（1）如图（1）作 于点Q，∴
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，∴ ， ．
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
35（2）如图（2）作 于点P，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当B点沿y轴负半轴向下运动时， ，
∴ 的值不变为0，
故答案为：0．
（3）解：如图（3）在ME上截取 ，连接BG，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
36在 与 中， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形
的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质的运用．
21．在 中， ，直线 经过点C，且 于D，
于E，
37（1）当直线 绕点C旋转到图1的位置时，显然有： （不必证明）；
（2）当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
（3）当直线 MN绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 具有怎样的等
量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【分析】
（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问
题；
（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以
解决问题；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全
等三角形的性质可以得到DE=BE-AD．
【详解】
解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于
E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
38∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．
【点睛】
此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究
性题目，对于学生的能力要求比较高．
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