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考向 03 复数
【2022年全国甲卷】1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.故选 ：C
【2022年全国甲卷】2. 已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由 ,得 ,即 .故选:
【2022年新高考1卷】3. 2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】由题设有 ，故 ，故 ，故选：D【2022年新高考2卷】4. 2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故选：D.
【2022年浙江卷】2. 已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，而 为实数，故 ，故选：B.
【2022年北京卷】2. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
【答案】B
【解析】由题意有 ，故 ．故选：B．
每年1题，稳得不得了，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同
时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.
无法直接计算时可以先设z=a+bi
几个重要的结论
1.
2.3.若 为虚数,则
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
易错题【01】对服饰的相关概念理解不清
易错题【02】对复数的模的定义理解不透
易错题【03】复数相等的条件应用出错
易错题【04】复数的模与绝对值混淆
1．已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】选A， .
3．已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解析】选D， ，所以对应点坐标为（-1,0）.
4．设 是虚数单位，则 等于（ ）
A．0 B． C． D．
【解析】选D,5．若z为纯虚数，且 ，则 （ ）
B． C． D．
A．
【解析】选A.由题意可知z=±2i,
6．已知 为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【解析】选A.由题意有 ，所以m=1.
一、单选题
1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数 的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数
的图象上（ ）
A． B．y＝ C． D．
【答案】D
【解析】因为 ＝ ＝－ ＋ i，所以a＝－ ，b＝ ，所以A ，
把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.
故选：D.
2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：
①若复数 是纯虚数，则
②若复数 ，则复数z在复平面内对应的点在第二象限
③若复数z满足 ，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆
其中所有正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①因为复数 是纯虚数，则 ，解得 ，故正确；
②复数 ，则复数z在复平面内对应的点在第一象限，故错误；
③因为复数z满足 ，所以z在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；
所以正确结论的个数是2个，
故选：C
3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a为正整数，且 ，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ， ，
a为正整数，所以 ，故选：A
4．（2022·江西南昌·三模（理））若复数 的实部和虚部均为整数，则称复数 为高斯整数，关于高斯整
数，有下列命题：
①整数都是高斯整数；
②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；
③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；
④只存在有限个非零高斯整数 ，使 也是高斯整数
其中正确的命题有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④
【答案】A
【解析】①令 ，当 时， ，即 为整数，根据题意， 是高斯整数，故①正确；
②令 ， ，则 ，
则 为整数， 为整数，故 为高斯整数，故②正确；③令 ，且 ，故 ，所以 至少有一个数为非整数，故 不是高斯整数，
③错误；
④令 ，且 ，则 ，
若 为高斯整数，故 为整数，即存在有限个，例如 ，故④正确.
故选：A.
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到
分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 ，17世
纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用 表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平
面”．若复数z满足方程 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因 ，则 ，
即 ，而 ，则 ，解得 ，
所以 .故选：C
二、多选题
6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知 ， ，则下列说法正确的有
（ ）
A．若 为实数，则 ；
B． 的共轭复数是 ；
C． 的最小值是4；
D．满足 的复数 在复平面上的对应点 的集合是以 为圆心，以1为半径的圆．【答案】AC
【解析】
为实数， ， ，故A正确；
，其共轭复数为 ，故B错误；
表示点 到原点的距离， ，当 时，取最小
值为 ，故C正确；
设 ，由 得 ，即 ， 对应点 的集合是以
为圆心，以1为半径的圆，故D错误；故选：AC
7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数 的共辄复数为 ， 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 的最大值为2
【答案】ABD
【解析】若 ，即 ， ，则 ，A正确；
若 ，即 的虚部为0，则 ，B正确；
若 ，则 ，C错误；
若 ，设 （ ），即 ，则 表示圆上的点到原点的距离，其最大值为
2，D正确，故选：ABD．
8．（2021·江苏泰州·模拟预测）设 为复数，在复平面内 、 对应的点分别为 、 ，坐标原点为 ，则下列命题中正确的有（ ）
A．当 为纯虚数时， 三点共线
B．当 时， 为等腰直角三角形
C．对任意复数 ，
D．当 为实数时，
【答案】ABD
【解析】设 ，则 ，
对A：当 为纯虚数时， ， 对应的点分别为 、 ， 均在 轴上，所
以 三点共线，故A正确；
对B: 当 时， ，所以 ， ，所以 ，而 ，
所以 ，所以 为等腰直角三角形，故B正确；
对C： , ,当 时， ，故C错误；
对D：当 为实数时， ，此时 ，故D正确.
故选：ABD
9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C为任意集合，则
B．若 ， ， 为任意向量，则
C．若 ， ， 为任意复数，则
D．若A，B，C为任意事件，则
【答案】AC【解析】对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有 ，故A正确；
对于B，向量的数量积不满足结合律，即 故B错误；，
对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数 ， ， ，有 ，故C正
确；
对于D，若 ， ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的
和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数 （i为虚数单位），则
__________．
【答案】
【解析】 ；
故答案为： .
1．(2021年新高考1卷)已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，故答案选C．
2.(2021年新高考2卷) （ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】 ，故选：D.
3．(2021年高考全国甲卷理科)已知 ，则 ( )
.
A B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ．故选：B．
4．(2021年高考全国乙卷理科)设 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， ．故选：C．
5． (2021年高考浙江卷)已知 ， （ 为虚数单位）， 则 （ ）.
A． B． 1 C． D． 3
【答案】C
【解析】由题意，得 ，复数相等定义，知 ，故选C．
6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i，则|z2–2z|= ( )
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】由题意可得： ，则 ．
故 ．故选：D．7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数 虚部是 ( )
的
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以复数 的虚部为 ．
故选：D．
8．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数运算法则， ，故选D．
另解：由常用结论 ，得 ，则 ，故选D．
【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然
若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设 ，则在复平面内 对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，对应坐标 ，是第三象限．
【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采
取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义
致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．
10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则(
)
A. B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ．11．(2021年上海卷)已知 ， ．
【答案】
【解析】由题意得:
12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数 ， 满足 ， ，则
=__________．
【答案】
【解析】方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，
．
故答案为： ．
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,
由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，
∴ ．【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，
是一道中档题．
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
