文档内容
专题 06 实际问题与二次函数之五大题型
图形问题
例题：（2023下·广西·八年级南宁十四中校考期末）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五
象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施
工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长
的砖墙，然后打算用长 的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于 ）的长方形
施工区域．
(1)设施工区域的一边 为 ，施工区域的面积为 ．请求出S与x的函数关系式，并直接写
出自变量x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为 时， 的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/ ，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过
计算判断项目方的拨款能否够用．
【答案】(1) ；
(2)当 的长是12米时，围成的施工区域面积为 ；(3)拨款够用．理由见解析
【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为： ，自变量x的取值范围是：
；
（2）当围成的施工区域面积为 时： ，解一元二次方程即可求得 ；
（3）由 ，结合 ，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需
费用，即可判断.
【详解】（1）解：根据题意得： ，
，
解得： ，
∴S与x的函数关系式为： ；
（2）解：由（1）知： ，
∵围成的施工区域面积为 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴当 的长是12米时，围成的施工区域面积为 ；
（3）解：拨款够用．解析如下：
∵ ，
∵ ，函数图像的对称轴为直线： ，
∴当 时，S随x的增大而减小，
∴当 时，施工区域有最大面积 ，
所需费用为 ，
答：拨款够用．
【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆
（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 ，且中间共留两个1米的小门．设篱笆 长为x米．
(1) ______米（用含x的代数式表示）；
(2)矩形鸡舍 的面积的最大值是多少？说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，理由见解析
【分析】（1）设篱笆 长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的
代数式表示出 的长；
（2）把二次函数表达式化成顶点式，再根据二次函数的性质求得结果．
【详解】（1）设篱笆 长为x米，
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，
∴ 米．
故答案为： ；
（2）由题意得
∴对称轴是直线
由题意得
∵ ，即
∴
∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧S随x的增大而减小∴当x取最小值时，S取最大值
∴ 时，
【点睛】本题考查了二次函数的应用、列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，
用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准数量量关系，正确列出函数解析式，利用二次函数的性
质求解．
2．（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）为了改善小区环境，某小区决定在一
块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带 ，一边靠墙，另三边用总长为40米
的栅栏围住．设 长为x米，绿化带面积为 ．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？
(3)若墙长是18米，当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？
【答案】(1) ，
(2)当 时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米
(3)当 时，绿化带面积最大，最大面积是 平方米
【分析】（1）根据长方形的面积计算公式列函数关系式，利用边长大于零及墙的长度求自变量的
取值范围；
（2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）先确定自变量的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解： ，∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，绿化带面积最大，最大面积是 平方米．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数
的性质是解题的关键．
拱桥问题
例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的
历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为
24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．
(1)该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这
个二次函数的表达式；
(2)求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．
【答案】(1) (答案不唯一)(2)75.6m
【分析】（1）根据构建平面直角坐标系时，尽量使得抛物线的解析式比较简单的原则，可以
的类型即可求解；
（2）由（1）可根据抛物线的解析式求每根柱子的长，从而可求．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，则有 ，
设抛物线解析式为 ，
解得： ，
．
（2）解：当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
．
答：这七根立柱共需 要的不锈钢管．
【点睛】本题考查了构建平面直角坐标系，二次函数的实际应用，掌握构建平面直角坐标系及理解二次函数中的自变量和因变量的实际意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能
行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的
中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度 米，隧道最高处距路面 米，
矩形的宽 米．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度
差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
【答案】(1)
(2)该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）把 代入解析式，求出y的值，由竖直方向上的高度差至少为0.5米可得答案．
【详解】（1）设抛物线的表达式为 ，
由图可知，抛物线经过点 ，将其代入，得
，
解得
∴抛物线的表达式为 ．（2）当 时，
，
米．
答：该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求得抛物线解析式是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座
拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽 为8米． 上的点E到点A的距离 米，
点E到拱桥顶面的垂直距离 米．他们以点A为坐标原点，以 所在直线为x轴，建立平面
直角坐标系．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面 的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间
通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于 米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达式为
(2)拱桥顶面离水面 的最大高度为4米
(3)该游船能安全通过，理由见解析
【分析】(1) 设抛物线解析式为 ，将 ， 代入上式，确定a、b的值即可．
(2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可．
(3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离 米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全．
【详解】（1）设 ，将 ， 代入上式，
得 ，
解得 ，
∴该抛物线所对应的函数表达式为 ．
（2） ，
当 时， ．
∴拱桥顶面离水面 的最大高度为4米．
（3）∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过，
∴船离点A的距离为 米．
把 代入 中，
．
∵ ，
∴该游船能安全通过．
【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键．
销售问题
例题：（2023上·四川泸州·九年级校考期末）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不
容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价是200元/台．经过
市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可
多售出10台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
(1)求出月销售量 （单位：台）与售价 （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量 的
取值范围；
(2)当售价 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 （单位：元）最大？最大利
润是多少？
【答案】(1)
(2)当售价 定为310元时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 （单位：元）最大，最大
利润是121000元
【分析】（1）根据题意“当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出
10台”列出函数解析式，并结合“这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完
成不低于450台的销售任务”计算自变量 的取值范围；
（2）根据“总利润 单台利润 销量”得出利润 关于售价 的函数解析式，然后利用二次函数的
性质，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多
售出10台，
可得月销售量 与售价 之间的函数关系式为 ，
∵这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，
∴ ，解得 ，
∴月销售量 与售价 之间的函数关系式为 ；
（2）
，
∵ ，且 ，
∴当 时，可有 ，
即当售价 定为310元时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 最大，最大利润是121000元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系并正确列
出函数解析式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）为了振兴乡村经济，大力发展绿色乡村建设，某乡镇在
重点旅游道路边上建设一个小型活动广场，计划在 的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查
发现：甲种花卉种植费用 y（元/m2） 与 种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植
费用为20元/m2．花卉布局要求是：甲种花卉种植面积不少于 ，且乙种花卉种植面积不低于
甲种花卉种植面积的3倍．
(1)当 时，甲种花卉的种植费用 _________元/m2，种植总费用 __________元；
(2)如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？
【答案】(1)20，8000
(2)甲种花卉种植面积为 ，乙种花卉种植面积为 ，才能使种植的总费用 最少，最少
7750元．
【分析】（1）用待定系数法求出 与 的函数关系式；
（2）设甲种花卉种植面积为 ，则乙种花卉种植面积为 ，根据甲种花卉种植面积不
少于 ，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍列出不等式组，求出x的取值范
围；再根据总费用 甲种花卉种植费用 乙种花卉种植费用，列出函数关系式，求出最小值，即可
得答案．【详解】（1）解：当 时，设 ，
把 ， 代入得：
，
解得： ，
，
当 时，甲种花卉的种植费用 ，
种植总费用 ，
故答案为：20，8000；
（2）解：设甲种花卉种植面积为 ，则乙种花卉种植面积为 ，
∵甲种花卉种植面积不少于 ，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
，
∴当 ，且 ，
时， 取最小值，最小为 （元），
此时 ，
答：甲种花卉种植面积为 ，乙种花卉种植面积为 ，才能使种植的总费用 （元）最少，
最少7750元．
【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．2．（2023下·河南安阳·九年级统考期末）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300
元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25
个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，
当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周
最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)第二批每个挂件进价是每个40元
(2)当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元
【分析】（1）设第二批每个挂件进价是每个 元，则第一批每个挂件进价是每个 元，根据
“第一批花了3300元，第二批花了4000元，且第二批比第一批多购进25个”列出分式方程，解
方程即可得到答案；
（2）设每个挂件售价定为 元，每周可获得利润 元，则可列出 关于 的关系式，根据“每周
最多能卖90个”，求出 的取值范围，最后根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设第二批每个挂件进价是每个 元，则第一批每个挂件进价是每个 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，也符合题意，
答：第二批每个挂件进价是每个40元；
（2）解：设每个挂件售价定为 元，每周可获得利润 元，
每周最多能卖90个，
，
解得： ，
根据题意得 ，
对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 取最大，此时 ．当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出
分式方程，列出函数关系，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
投球问题
例题：（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）小马同学在体育课上积极练习掷实心球，在练习过程
中善于观察的他发现，实心球掷出后在空中的轨迹是一条抛物线，每个同学掷实心球的出手高度
是一个固定值（身高 米）．如图，小马身高1.75米，设他抛出的实心球（记为点 ）到
投掷点的水平距离为 （单位：米），实心球（点 ）在空中的高度为 （单位：米）， 与 之
间满足的函数表达式为 ．
(1) 的值为________；
(2)当 时，
①若实心球落地点为 ，此时 ，求小丁本次掷实心球的水平距离 ；
②落地点要超过 ，则 的取值范围为________；
(3)已知男生掷实心球项目满分为10.30米，小马通过反复练习，使得自己掷出的实心球到投掷点的
水平距离为4米时，恰好达到最大高度4米，你认为他能取得满分吗？请说明理由．（参考数据：
， ， ， ， ）
【答案】(1)2.4
(2)① ；②
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据题意求出 即可；（2）①根据已知求出抛物线解析式，再令 ，解方程即可；
②当 时，落地点在 处，当落地点超过 时， ；
（3）根据题意设抛物线解析式为 ，把 点坐标代入解析式求出 然后令 ，
解方程求出 ，然后与10.30比较即可．
【详解】（1）解：根据题意得： （米），
∴当 时， ，
故答案为：2.4；
（2）①由 ， ，得 ，
即
当 时， ，
解得 ， （舍去），
即 ；
②当 时，落地点在 处，
当对称轴越往右，落地点就会离点 越远，则 ，
故答案为： ；
（3）能取得满分，理由如下：
由题意可知，顶点坐标 ．
设函数表达式为 ，将 代入，得 ．
∴函数表达式为 ．
当 时， ，解得 （ 舍去）．
∴小马能取得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
【变式训练】1．（2023上·山东淄博·九年级校考期末）如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时
铅球距地面 m，铅球落在点B处，铅球运行中在运动员前方4m处（即达到最高点，最高点距地
面的OC=4m)距离为3m，已知铅球经过的路线是抛物线，根据图中的直角坐标系，求该运动员的
成绩．
【答案】10m
【分析】设抛物线的解析式为 ，运用待定系数法求出解析式．当 时代入解析式
就可以求出结论．
【详解】解：由题意可得 ，
∴抛物线的顶点D坐标为 ．
设抛物线的解析式为 ，
由题意，得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ， （舍去），
∴该运动员的成绩为10m．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求抛物线的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解
答时求出解析式是关键．
2．（2023上·河南周口·九年级校考期末）掷实心球是河南高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1所示的是一名女生在投实心球，实心球行进路线可近似地看作一条抛物线，行进高度y
（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 ，当水平距离为
时，实心球行进至最高点 处.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)根据河南高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，当实心球从起点到落地
点的水平距离大于等于 m时，此项考试得分为满分 分.该女生在此项考试中是否得满分？请说
明理由.（ ）
【答案】(1)
(2)该女生在此项考试中是得满分．理由见解析
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令 ，解方程然后做出
判断即可．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处，
∴设 ，
∵ 经过点 ，
∴ ，
解得∶
∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数 ，当 时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ ，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析式
是解题的关键．
喷水问题
例题：（2023上·浙江杭州·九年级期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水
装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示
的直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为 ，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【答案】(1)喷出的水流最高处距离地面4米；
(2)喷出的水流不会落在池外．理由见解析
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；
（2）令 ，则可以求得最大水平距离．【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴当 时，y最大，
最大值为 ，
∴喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）解：令 ，则 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
∵ ，
∴喷出的水流不会落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是
解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心 点竖直安
装一根高 的水管，在水管的顶端 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水
平距离为 处达到最高 ．以池中心 为原点，原点与水柱落地处 所在直线为 轴，水管所在
直线为 轴建立直角坐标系（如图）．求水柱落地处 到池中心 的距离．
【答案】
【分析】设抛物线的解析式为 ，把点 代入，确定解析式，令 ，求方程
的根即可．【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
把点 代入，得
，
解得 ，
∴ ，
当 时，得
，
解得 （不合题意，舍去）， ，
答：水柱落地处 到池中心 的距离是 ．
【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握喷泉模型问题是解题的关键．
2．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 离地竖直高度 为 ．如图2，可以
把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽
象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．内边缘抛物线 是由外边缘抛物线
向左平移得到，外边抛物线 最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口 ，
(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求内边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
(3)当 时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．
【答案】(1)喷出水的最大射程 为 ；(2)点 的坐标为 ；
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得 是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点 ，用顶点式即可求
解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程 ；
（2）根据 对称轴为直线 可得点 的对称点为 ，则 是由 向左平移 得到的，
即可求出点B的坐标；
（3）当 时， ，则 ，求出当 时 的函数值，即可判断．
【详解】（1）解：如图1，由题意得 是外边缘抛物线的顶点，
设 ，
又∵抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴外边缘抛物线的函数解析式为 ，
当 时， ，解得 ， （舍去），
∴喷出水的最大射程 为 ；
（2）∵ 对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∴ 是由 向左平移 得到的，
由（1）可得 ，
∴点 的坐标为 ；（3）∵当 时， ，则 ，
∴点F的横坐标为6，
把 代入 ，
∴所以不能浇灌到整个绿化带．
【点睛】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析
式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型．
一、单选题
1．（2022上·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）如图，隧道的截面由抛物线和长方
形 构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用 表示．在抛物线
型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为 ．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把 代入解析式 ，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当 时，则 ，解得： ， ，
∴两排灯的水平距离是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
2．（2023上·安徽芜湖·九年级统考期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物
线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称， 轴， ，最低点C在x
轴上，高 ，则右轮廓 所在抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据 、 关于y轴对称，得出 点坐标为 ，再求出左边抛物线的顶点 的坐标
为 ，则右边抛物线的顶点 的坐标为 ，设右边抛物线的解析式为 ，代入即
可得出答案．
【详解】解：∵高 ， ， 、 关于y轴对称，
∴ 点坐标为 ，
∵ 轴， ，最低点 在x轴上，
∴ 关于直线 对称，
∴左边抛物线的顶点 的坐标为 ，
∴右边抛物线的顶点 的坐标为 ，设右边抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
故右边抛物线的解析式为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线
的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．
3．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立
平面直角坐标系，并标出相关数据（单位： ）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面 的距离为 ；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 ．
其中结论错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】计算 长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标
代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】①由题可知， ，则①正确；
②对称轴为 轴，交 轴于点 ， ，设函数解析式为 ，
将点 代入解析式得 ，
解得 ，池底所在抛物线解析式为 ，则②正确；
③将 代入解析式得 ，
解得 ，
则池塘最深处到水面 的距离为 ，则③正确；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为 时，
将 代入 ，得 ，
可知此时最深处到水面的距离为 ，故④不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待
定系数法求解．
二、填空题
4．（2023上·辽宁朝阳·九年级校联考期末）如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面
宽4米，如果水面宽为 米，则水面下降 米．
【答案】1
【分析】如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为 ，
求出抛物线解析式，然后把 代入求解即可．
【详解】解：如图，以水面 所在直线为x轴， 的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为 ，
可设抛物线解析式为 ，
∴ 即 ，
∴抛物线解析式为 ，
当水面宽度为 米时，即当 ， ，
∴水面下降的高度为 米，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解．
5．（2023上·广东东莞·九年级校联考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，
在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原
点与水柱落地处所在直线为 轴，水管所在直线为 轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应
的函数解析式是 ，则水管长为 ．【答案】
【分析】由题意令 ，得到的 值即为水管的长．
【详解】解：在 中，
令 ，得 ，
水管的长为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是 时 的值．
6．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，
三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点 ， 处．从桥头点 处的碑文得知桥面 长为270米，
小张从桥头点 出发到桥尾点 的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
点
计数位置 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
【答案】 /
【分析】根据路程等于步数乘步长可求得步长；建立坐标系，分别求得 段和 段抛物线的解
析式，求得点M的横坐标，进一步计算即可求解．
【详解】解：步长 （米）；
设点A为原点， 所在直线为x轴，则 ， ， ，设 段抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴ 段抛物线的解析式为 ，
∵三条抛物线的形状相同，C、D的中点为
∴设 段抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴ 抛物线的解析式为 ，
解方程 ，
，
即点M的横坐标为162，
由对称性知点N的横坐标为 ，
∴ （步），
（米），
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，分别求得 段和 段抛物线的解析式是解题的关键．
三、解答题
7．（2023上·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为
元，当这款电子产品按每个 元出售时，一天可售出 个．经过市场调查，发现这款电子产品的
销售单价每降低 元，其日销售量可增加 个．设该电子产品每个降价 元，网店一天可通过该电子产品获利润 元．
(1)求 与 的函数解析式（不必写出自变量 的取值范围）．
(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)这款电子产品销售单价为 元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为 元．
【分析】（1）利润 是降价 的函数，根据总利润 每个电子产品的利润 销售量，即可求得答案．
（2）电子产品每个降价应大于等于 ，每个电子产品的利润应大于等于 ，可得 ，
求解可得 的取值范围；二次函数 的开口向下，对称轴为 ，据此即可求得
答案．
【详解】（1）根据题意可知，利润 是降价 的函数，根据总利润 每个电子产品的利润 销售量，
得
．
化简，得
．
（2）根据题意可知，电子产品每个降价应大于等于 ，每个电子产品的利润应大于等于 ，可得
．
解得
．
二次函数 的开口向下，对称轴为 ，
所以，当 时，二次函数可以取得最大值．
当 时，这款电子产品的销售单价为： (元)．
将 代入 ，得
．所以，这款电子产品销售单价为 元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为 元．
【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2023上·陕西延安·九年级统考期末）如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩
形的长 为8m，宽 为2m，以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)现有一辆货运卡车，高为5.6m，宽为2.8m，它能从正中间通过该隧道吗？
【答案】(1)
(2)不能从正中间通过该隧道
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的顶点式，进而可求抛物线的解
析式；
（2）根据题意，把 代入解析式，得到 ，由于 ，于是得到货运卡车不能通
过．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ．由已知可得，点D的坐标为 ，且在此抛
物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
（2）解：当 时， ．
∵ ，
∴这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
9．（2023下·山东滨州·八年级统考期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长
的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设
，矩形 的面积为 ．
(1)请写出 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围：
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为 ？
(3)能否使所围矩形场地的面积为 ，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)长为 ，宽为
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用矩形的面积等于长乘宽，列出解析式即可；
（2）令 ，解一元二次方程求解即可；
（3）令 ，计算一元二次方程的判别式判断求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
；
（2）∵
令 ，即 ，
解得： ， ．墙的长度不超过 ，
不合题意，应舍去．
当 时， ．
所以，当所围矩形的长为 宽为 时，能使矩形的面积为 ．
（3）不能．理由如下：
∵
令 ，即 ．
，
．
上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解一元二次方程以及判别式的应用，根据题意，正确的求
出二次函数的解析式，是解题的关键．
10．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）如图，一位跳水运动员在进行某次 跳台跳水训练时，
测得身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线 （图中标出的数据为已知条
件）．
(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为多少m？
(2)如果运动员在距水面高度为 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会
出现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为 ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
【答案】(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为
(2)此次试跳不会出现失误，见解析
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式求得顶点坐标为 ，进而可求得最大距离；也可
根据顶点坐标公式 求得顶点的纵坐标即可求解；
（2）求得距池边的水平距离为 时对应的y值，进而求得距离水面的高度即可得出结论．
【详解】（1）解法一： 抛物线 的顶点坐标为 ，
，
运动员在空中运动的最大高度离水面为 ．
解法二： ，
，
运动员在空中运动的最大高度离水面为 ．
（2）解：当运动员距池边的水平距离为 时，即 时，
，
此时，运动员距水面的高为： ，
因此，此次试跳不会出现失误．【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品
甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满
足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总
量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克
的商品甲，免费送1千克的商品乙．
(1)直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式______；
(2)设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式：（注：商品
的销售额 销售单价 销售量）
(3)设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的 ，当销售单价
定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？
（注：销售总利润 两种商品的销售总额 两种商品的总成本）
【答案】(1)
(2)
(3)当销售单价定为30元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是240元
【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）利用商品的销售额 销售单价 销售量，即可求出 （元）与 的函数关系式；
（3）利用销售总利润 两种商品的销售总额 两种商品的总成本求出两种商品销售总利润为W与
销售单价 之间的关系式，根据已知求出 的取值范围，再将关系式化为配方式，然后根据二次函
数的性质来进行计算即可．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数表达式为 ，将图象中 、 代入得： ，解得： ，
∴销售量y与销售单价x之间的函数表达式为： ，
故答案为： ；
（2）∵超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙，且商品乙
每天供货总量只有80千克，
∴商品甲的销量： ，即 ，
∴ ，
则两种商品的每天销售总额： ；
（3）两件商品的成本为： 元，
∵商品甲的售价不低于成本，不超过成本的 ， ，
∴ ，
，
即 ，
∵ ，
∴ 时， 随 的增大而增大，
∴ 时， 的最大值 ，
答：当销售单价定为30元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是240元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的
数量关系是解题的关键．
12．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）排球场的长度为 ，球网在场地中央且高度
为 ，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，
排球运动过程中的竖直高度 单位： 与水平距离 单位： 近似满足函数关系
．(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ 填“能”或“不能” ．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度 单位： 与水平距离 单位： 近似
满足函数关系 ，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
【答案】(1)① ；②不能
(2)该运动员此次发球没有出界，见解析
【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设函数解析式为顶点式，再把 代入解析式求
出a即可；②当 时求出y的值与2.24比较即可；
（2）令 中的 ，解方程求出x的值与18比较即可．
【详解】（1）解：（1）①由表中数据可得顶点 ，
设 ，
把 代入得 ，
解得： ，
所求函数关系为 ；②不能．
当 时， ，
该运动员第一次发球能过网，
故答案为：不能；
（2）判断：没有出界．
第二次发球： ，
令 ，则 ，
，解得 舍 ， ，
，
该运动员此次发球没有出界．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．
