考向06函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 06 函数的奇偶性与周期性、对称性 1. （2022年北京卷第4题）己知函数 ，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，故A错误，C正确； ，不 是常数，故BD错误； 故选：C． 2. （2022年 新高考2卷第8题）若函数 的定义域为R，且 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知， ，故 ，即 ，所以 函数 的一个周期为 ． 因为 ， ， ， ， ，所以 一个周期内的 ．由于22除以6余4， 所以 ． 故选：A．   [ , ] 3．（2022年甲卷理第5题）函数 y(3x 3x)cosx 在区间 2 2 的图像大致为 【答案】A f(x)(3x 3x)cosx f(x)(3x 3x)cos(x)f(x) f(x) 【解析】设 ， ，所以 为奇函数，排除BD，令 x1，则 f(1)(331)cos10 ，排除C，故选A. f(x) g(x) f(x)g(2x)5 4 ． （ 2022 年 乙 卷 第 12 题 ） 已 知 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 R , 且 ， g(x) f(x4)7 .22  f(k) 若 yg(x) 的图像关于直线x2对称， g(2)4 ，则k1 A．21 B．22 C．23 D． 24 【答案】D 【解析】若 yg(x) 的图像关于直线 x2对称，则 g(2x)g(2x) ，因为 f(x)g(2x)5 ，所以 f(x)g(2x)5 f(x) f(x) f(x) g(2)4 f(0)+g(2)=5 f(0)=1 ，故 ， 为偶函数.由 ， ，得 .由 g(x)−f(x−4)=7 g(2−x)=f(−x−2)+7 f(x)+g(2−x)=5 f(x)+f(−x−2)=−2 f(x) ，得 ，代入 ，得 ， 关 (−1,−1) f(1)=f(−1)=−1 f(x)+f(−x−2)=−2 f(−x)=f(x) 于 点 中 心 对 称 ， 所 以 . 由 ， ， 得 f(x)+f(x+2)=−2 ，所以 f(x+2)+f(x+4)=−2 ，故 f(x+4)=f(x) ， f(x) 周期为4.由 f(0)+f(2)=−2 ， 22 ∑ f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)= f(2)=−3 f(3)=f(−1)=f(1)=−1 得 ，又 ，所以k=1 11×(−1)+5×1+6×(−3)=−24 . 1.函数具有奇偶性包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域． (2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇 函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝log (－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函 a 数． 2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值． 3.函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期 性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论： 若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 【易错点1】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶 性的必要不充分条件． 【易错点2】函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在 x，使f(－x)＝－f(x)．同样偶函数也是如此． 0 0 0 【易错点3】不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.1．函数f(x)＝x＋(x≠0)是( ) A．奇函数，且在(0，3)上是增函数 B．奇函数，且在(0，3)上是减函数 C．偶函数，且在(0，3)上是增函数 D．偶函数，且在(0，3)上是减函数    2x 2.已知函数f(x)＝cos  2 ＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝( ) A． B． C．－ D．－ 3．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x) C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x) 4.在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( ) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 5．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x2 B．y＝|x－1| C．y＝|x|－1 D．y＝2x 6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈［0，4］时，f(x)＝x2－ 4x，则f(2 022)＝ . 7.已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是 . (填序号) ①f(x)的图象关于直线x＝2对称； ②f(x)的图象关于点(2，0)对称； ③f(x)的最小正周期为4； ④y＝f(x＋4)为偶函数． 一、单选题 a,b,cR a0 g(x)ax2bxc, f(x)(x2)g(x) 1．（2022·广东佛山·二模）设 且 ，函数 ，若f x f x0 ，则下列判断正确的是（ ） g(x) g(x) A． 的最大值为-a B． 的最小值为-a g2xg2x g2xgx C． D． 2．（2022·广西桂林·二模）某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除 而不能被100整除（如公元2012年）.闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365 天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯的出生日是（ ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 f xexalnxaR 3．（2022·云南昆明·模拟预测（理））对于函数 ，有下列四个论断： f x f x f x ① 是增函数 ② 是奇函数 ③ 有且仅有一个极值点 f x e ④ 的最小值为 若其中恰有两个论断正确，则a（ ） A．1 B．1 C．e D．e 二、多选题 4．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数 ， ， ，则 （ ） A． 的图象关于 对称 B． 的图象没有对称中心 C．对任意的 ， 的最大值与最小值之和为 D．若 ，则实数 的取值范围是 5．（2022·山东淄博·三模）已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，则下列结论正确的 是（ ） A． 的图象关于 对称B． C．若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增 D．若函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的解析式为 6．（2022·辽宁丹东·一模）设 为函数 的导函数，已知 为偶 函数，则（ ） A． 的最小值为2 B． 为奇函数 C． 在 内为增函数 D． 在 内为增函数 7．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在 上的单调递增的函数 满足：任意 ，有 ， ，则（ ） A．当 时， B．任意 ， C．存在非零实数 ，使得任意 ， D．存在非零实数 ，使得任意 ， 8．（2022·全国·模拟预测）悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软 （不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀 引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为 （ ，其中a为非零常数，e为自然对数的底数）．当a＝1时，记，则下列说法正确的是（ ） A． B． 是周期函数 C． 的导函数 是奇函数 D． 在 上单调递减 三、填空题 9．（2022·北京·北大附中三模）对于函数 和 ，给出下列四个结论： ①设 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 是 的真子集. ②函数 的图像在 处的切线斜率为0. ③函数 的单调减区间是 ， . ④函数 的图像关于点 对称. 其中所有正确结论的序号是___________. 10．（2022·山东潍坊·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， 图像与x轴的交点从左至右为O， ， ， ，…， ，…； 图 像与直线 的交点从左至右为 ， ， ，…， ，…．若 ， ， ，…， 为线段 上的 10个不同的点，则 ______．1．(2021年高考全国乙卷理科)设函数 ，则下列函数中为奇函数的是 ( ) A． B． C． D． 2．(2021年高考全国甲卷理科)设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 ( ) A． B． C． D． 3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数 ，则f(x) ( ) A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则( ) A． B． C． D． 5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ． 若 ，则 ( ) A． B．0 C．2 D．50 f(x) (,) f(1)1 6．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数 在 单调递减,且为奇函数．若 ,则满足 1 f(x2)1 x 的 的取值范围是 ( ) [2,2] [1,1] [0,4] [1,3] A． B． C． D． 7．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为 ，则 ( ) A． B． C． D． f(x) g(x) f(x) g(x) 8．(2014高考数学课标1理科)设函数 , 的定义域都为R,且 是奇函数, 是偶函数,则 下列结论正确的是 ( ) f(x) g(x) f(x) g(x) A． 是偶函数 B．| | 是奇函数f(x) g(x) f(x) g(x) C． | |是奇函数 D．| |是奇函数 9．(2015高考数学新课标1理科)若函数 为偶函数，则 10．(2014高考数学课标2理科)已知偶函数 在 单调递减， ．若 ，则 的取值范围是__________． 1．【答案】B 【解析】因为f(－x)＝－x＋＝ ＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋为奇函数． 又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是减函数． 2.【答案】D 【解析】设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数， 则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，所以g(－a)＝－g(a)＝－， 即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D. 3．【答案】B 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数． 对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数． 对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数． 对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数． 4.【答案】C 【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1 ＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C. 5．【答案】AC 【解析】选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶 函数．所以排除选项B，D，故选AC. 6.【答案】4 【解析】∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)， 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8， 又∵2 022＝252×8＋6，∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4. 7.【答案】①③④【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误； ∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)， ∴T＝4，故③正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确． 1．【答案】D 【解析】依题意， ， 因 ，则 是奇函数，于是得 ，即 ， 因此， ，而 ，当 时， 的最小值为-a，当 时， 的最大 值为-a，A，B都不正确； ， ， ， 即 ， ，因此，C不正确，D正确. 故选：D 2．【答案】A 【解析】因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日， 所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又 ， 所以这210年有52个闰年，158个平年， 所以共有 天， 因为 ，所以狄更斯的出生日是星期五， 故选：A. 3．【答案】C 【解析】函数 的定义域为 ，故函数是非奇非偶，即无论 为何值，②一定错误 对函数进行求导 ，当 时， 恒大于零，原函数单调递增， 故原函数没有极值点和最小值，故选项B、D排除. 当 时，函数 不是增函数，故只能有③④正确； 当 时，函数 ，导函数 ， 令 ， ， ， 在 上单调递增， 由于 ， ， 故 ，使得 ，即 ， ， 在 单调递减， ， ， 在 单调递增 故函数有且仅有一个极值点， 的最小值为 故 只满足③，排除选项A 当 时， ， 令 ， ， ， 在 上单调递增， ， ， ， 在 单调递减， ， ， 在 单调递增 故 的最小值为 故满足③④ 故选：C. 4．【答案】ACD 【解析】由题意知 的定义域为 ，因为 ，所以 的图象关于 对称， 故A正确；因为 的定义域为 ，且 ，所以 的图象关于 对称，故B不正确； 因为 ，所以 的图象关于 对称，所以对任意的 ， 最大值 与最小值之和为 ，故C正确； 由 ，得 ，又 在 上单调递减，且 ，所 以 或 ，解得 或 ，故D正确， 故选：ACD. 5．【答案】BC 【解析】对于A选项，因为 ，则函数 的图象关于点 对称，A错； 对于B选项，因为 且函数 为偶函数， 所以， 可得 ，所以， ， 所以，对任意的 ， ，B对； 对于C选项，因为 ， 若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增，C对； 对于D选项，当 时， ， ， 所以， ，D错. 故选：BC. 6．【答案】BCD 【解析】 ，由 可得 ，从而 ， 于是 .，取等号时 ，因为 ，所以 .所以A错误， 由 ，得 ， 因为 ，所以 为奇函数，所以B正确， 因为 ，所以 在 为增函数，所以C正确， ，当 时， ，当 时， ， 则 ，综上，当 时， ，所以 在 内为增函数，所以D正确， 故选：BCD 7．【答案】ABD 【解析】对于A，令 ，则 ，即 ， 又 ， ； 令 得： ， ， ， ， 则由 可知：当 时， ，A正确； 对于B，令 ，则 ，即 ， ， 由A的推导过程知： ， ，B正确； 对于C， 为 上的增函数， 当 时， ，则 ；当 时， ，则 ， 不存在非零实数 ，使得任意 ， ，C错误； 对于D，当 时， ；由 ， 知： 关于 ， 成中心对称，则当 时， 为 的对称中心； 当 时， 为 上的增函数， ， ， ， ； 由图象对称性可知：此时对任意 ， ，D正确. 故选：ABD. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定 的对称中心，同时采 用赋值的方式确定 所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定 所具有的其 他性质. 8．【答案】ACD 【解析】 ， 对于A： ，故A正确； 对于B： ，不存在非零常数T，使 成立，故B错误； 对于C： 的定义域为R， ，满足 ，所以 是奇函数，故 C正确； 对于D：当 时， ，所以 在 上单调递减，故D正确． 故选：ACD． 9．【答案】①③④【解析】对于①，由题意得，函数 的定义域 ， 函数 的定义域 .所以 是 的真子集，则①正确. 对于②， ，则在 处的切线斜率 ，则②错误. 对于③， 的定义域是 ，而函数 在区间 ， 上都是单调递减且值为正，又因为函数 在其定义域上单调递增， 因此复合后得到的 在这两个区间上也是单调递减，则③正确. ④只需验证：当 时， ，则④正 确. 故答案为：①③④. 10．【答案】480 【解析】因为定义在 上的函数 满足 ，所以 是在 上周期为 的周期 函数， 且当 时， ，函数图象如下所示： 依题意可得 、 、 ，且 的方程为 ， 设 ， ，所以 ， ， 所以 ，所以 故答案为： 1．【答案】B 【解析】由题意可得 ， 对于A， 不是奇函数； 对于B， 是奇函数； 对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 故选：B 2．【答案】D 【解析】因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②． 令 ，由①得： ，由②得： ， 因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手．所以 ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 所以 ． 故选：D． 3．【答案】D 【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确． 故选：D． 4．【答案】C 【解析】 是 上的偶函数， ． ，又 在(0，+∞)单调递减， ， ，故选C． 5．【答案】C 【解析】因为 是定义域为 的奇函数，且满足 ， 所 以 ， 即 ， 所 以 ， ，因此 是周期函数且 ． 又 ， 且 ，所以 ， 所以 ，故选C． 6．【答案】 Df x , 1 f(x)1 x 1 x1 【解析】因为 为奇函数且在 上单调递减,要使 成立,则 满足 1 x21 1 x3 1 f(x2)1 x 1 x3 ,所以由 得 ,即使 成立的 满足 ,选D． 7．【答案】B 【解析】 的图像的对称中心为 又函数 满足 ，所以 图像的对称中心为： 所以 ，故选Ｂ 8．【答案】 C F(x) f(x) g(x) F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) 【解析】设 ,则 ,∵ 是奇函数, 是偶函数,∴ F(x)f(x) g(x) F(x) F(x) , 为奇函数,选C． 考点:(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想 难度:A 9．【答案】1 【 解 析 】 由 题 知 是 奇 函 数 ， 所 以 = ，解得 =1． (−1,3) 10．【答案】 f (x) f (x−1)>0⇔f (|x−1|)>f (2) f (x) [0,+∞) 【解析】因为 是偶函数，所以不等式 ，因为 在 上单调递减，所以 |x−2|<2 ，解得−1