文档内容
专题 07 难点探究专题：化简绝对值之四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 利用数轴化简绝对值】....................................................................................................................1
【考点二 分类讨论化简绝对值】....................................................................................................................5
【考点三 利用几何意义化简绝对值】..........................................................................................................10
【考点四 解绝对值方程】..............................................................................................................................18
【典型例题】
【考点一 利用数轴化简绝对值】
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求 ＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．
【分析】（1）根据 、 、 在数轴上的位置即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．
【详解】解：由数轴可知， ， ，则
（1） ， ， ．故答案为： ， ， ；
（2） 、 互为相反数，
．
故答案为： ；
（3）
．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出 、
、 的大小关系．
【变式训练】
1．（2023·江苏·七年级假期作业）已知 、 、 的大致位置如图所示：化简 的结果是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴得到 、 、 与0的大小关系，根据有理数加减法法则判断 与 的符号，去绝
对值运算即可得到答案；
【详解】解：由数轴可得，
，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查根据数轴上点的关系判断式子的符号及去绝对值，解题的关键是正确根据数轴上点的关
系判断式子的符号．
2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简．
【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得： ，且
当 时
原式
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所
示．
(1)用“＞”或“＜”填空： 0， 0， 0；
(2)化简 ．
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)0
【分析】（1）根据数轴上点的位置得出 ，再根据有理数的加减法法则判断即可；
（2）利用绝对值的意义化简即可．
【详解】（1）解：由图可得： ，且 ，
∴ ， ， ；
（2）解： ， ， ，
．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理加减法，绝对值化简，关键是利用数轴得出，且 ．
4．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简： ；
(2)若 与 互为相反数，且 ，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，
最后实现化简；
（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．
【详解】（1）由图可得 且
∴ ， ， ，
∴
∴
（2）∵ 与 互为相反数
∴
又∵ ，
∴
∴∴
∴原式
【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．
6．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”）
①a______0； ②b______0； ③ ______0； ④ ______0；
(2)比较下列式子的大小，用“<”连接；
； ； ； ； ； ．
(3)化简 ．
【答案】(1)<,>,<,>
(2)
(3)
【分析】（1）根据数轴上的位置得出有理数的大小即可；
（2）根据数轴上的位置结合有理数的加减法法则得出结论即可；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值，再进行合并即可．
【详解】（1）由数轴可知，① ； ② ； ③ ； ④ ；
故答案为：<,>,<,>．
（2）由数轴可知：
（3） ， ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．【考点二 分类讨论化简绝对值】
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知 、 、 均为不等式0的有理数，
则 的值为 ．
【答案】3，-3，1，−1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时， =1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时， = =−1−1−1=−3；
(3)当a>0，b>0，c<0时， = =1+1−1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时， = =−1−1+1=−1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．
故答案为：3，-3，1，−1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若 ，则 ．
【答案】
【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， 或 ， ，
若 ， ，则 ；
若 ， ，则 ；综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
2．（2022秋·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x|＝ ，所以当x＞0时， ＝1，
当x＜0时， ＝﹣1．
解决问题：已知a，b是有理数，当ab≠0时，求 的值．
【答案】2或 或0
【分析】根据绝对值的意义可进行分类讨论求解．
【详解】解：分四种情况：
①当a＞0，b＞0时， ＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时， ＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时， ＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时， ＝﹣1+1＝0；
综上所述： 的值为2或﹣2或0．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ；
（2）若 ，则 ＝ ；
（3）若 ，则 ．
【答案】（1）1， ；（2）1；（3）1或 ．【分析】（1）根据 的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合 可知 即 ，化简即可；
（3）结合 可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即
可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
（3）∵ ，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，
，
当a、b、c中有三个负数时，，
故答案为：1或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
4．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______．
(2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．
（2）由 可得 ，由根据 进而可求解．
（3）分四种情况讨论：①当 都是正数，即 时；②当 有一个为正数，另
两个为负数时，设 ；③当 有两个为正数，一个为负数时；④当 三个数都
为负数时，分别去绝对值即可求解．
【详解】（1）解：当 时，则 ，
当 ，则 ，
故答案为： ， ．
（2）已知 是有理数， ，
所以 ，且 中两正一负，
所以 ．
（3）由题意得： 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或
三个都为负数．
①当 都是正数，即 时，则： ，
②当 有一个为正数，另两个为负数时，设 ，
则： ，
③当 有两个为正数，一个为负数时，
设 ，
则： ，
④当 三个数都为负数时，
则： ，
综上所述： 的值为 或 或 或
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等
于它相反数是解题的关键．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简 ，当 时， ；当
时， ；当 时， ．求解下列问题：
(1)当 时， 值为______，当 时， 的值为______，当x为不等于0的有理数时， 的值为
______；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)已知： ，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，
，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1) ，1，
(2) 或3
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；（2）已知 ， ，所以 ， ， 一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3） 个正数，负数有 个，式子中有 个正1， 个 ，相加得答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
故答案为： ，1， ．
（2） ，
， ，
， ， 的正负性可能为：
①当 为正数， ， 为负数时：原式 ；
②当 为正数， ， 为负数时，原式 ；
③当 为正数， ， 为负数时，原式 ，
原式 或3．
（3）∵有 个正数，负数的个数为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值
等于1或 ，将题目转化为由几个正1和几个 的问题．
【考点三 利用几何意义化简绝对值】
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示 和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数m和数n的两点之间的距离等于 ．(2)如果 ，那么 ______；
(3)若 ， ，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是
______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于 与 之间，则 _____．
(5)当 _____时， 的值最小，最小值是_____．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3) ；
(4)
(5) ，
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；
（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据 表示数a的点到 与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：由数轴得
数轴上表示 和 的两点之间的距离是： ；
表示 和 两点之间的距离是： ；
故答案： ； ．
（2）解：由 得，
，
所以表示 与 距离为 ，
因为与 距离为 的是 或 ，
所以 或 ．
故答案： 或 ．（3）解：由 ， 得，
， ，
所以表示 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，，
所以 或 ， 或 ，
当 ， 时，则A、B两点间的最大距离是 ，
当 ， 时，则A、B两点间的最小距离是 ，
故答案： ， ．
（4）解：
所以表示 与 的距离加上 与 的距离的和，
因为表示数a的点位于 与 之间，
所以 ，
故答案： ．
（5）解：
，
所以表示 与 、 、 的距离之和，
①如图，当表示 的点在 的右侧时，即 ，
由数轴得：
，
所以 ，所以 ；
②如图，当表示 的点在 和 的之间时，即 ，
由数轴得：
因为 ，
所以 ，
所以 ；
③如图，当表示 的点在 和 的之间时，即 ，
由数轴得：
因为 ，
所以 ，
所以 ；
④当表示 的点在 或 或 的点上时，
即 或 或 ，
如图，当 时，；
如图，当 时，
；
如图，当 时，
；
因为 ，
所以当表示 的点在 或 或 的点上时，仅当 时， 的最小值为 ；
综上所述：当 ， 的最小值为 ．
故答案： ， ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意
义，掌握距离的求法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为： ，那么a＝ ．②若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
③当a何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)① 或 ；②7；③当 时， 的值最小，最小值是7
【分析】（1）根据两点之间的距离 较大的数 较小的数可得结论；
（2）因为不确定 和 的大小关系，所以数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ；
（3）①根据绝对值的意义可得： ，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③
分析得出 表示一点到 ，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ；
（3）① ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
②∵数轴上表示数a的点位于 与2之间，
∴ ，
∴ ；
③ 表示一点到 ，1，2三点的距离的和，∴当 时，该式的值最小，最小值为 ．
∴当 时， 的值最小，最小值是7．
【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间
的关系，是解题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数 、 ，A、
B两点间的距离表示为AB，则 ．所以 的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间
的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．
（2）若 ，则 的值是 ．
（3）如果数轴上表示数 的点位于－4和2之间，求 的值；
（4）点 取何值时， 取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子 取最小值时，相应 的取值范围是多少？最小值是多少？
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ；（4）当 时，最小值为 ；（5）当 时，最小值
为
【分析】（1）根据题目中的方法确定出 的长即可；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出 的值；
（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简 即可；
（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；
（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．
【详解】解：（1） ，
则 ；
（2）∵ ，
∴ ，故 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）∵数轴上表示数 的点位于－4和2之间，
∴ ；
（4）∵ ，代表点 到 和到 之间的距离之和，
当 时，
取得最小值，最小值为 ；
（5）当 时，
有最小值，
最小值为= = = =20．
【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端
点的距离的和最小．
3．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，
世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可
以从图形和代数化简两个角度来计算距离：
①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为 ，例如 表示
到2的距离，而 则表示 到 的距离；
②我们知道： ，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如化简 时，可先令 和 ，分别求得 ， （称 和2分别为
的零点值），在实数范围内，零点值 和 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3
种情况：① ；② ；③ ．从而化简 可分以下3种情况：①当 时，原式 ；
②当 时，原式 ；
③当 时，原式 ．
综上，原式＝
结合以上材料，回答以下问题：
(1)若 ，则 ．
(2)当代数式 取最小值时，x的取值范围是 ．
(3)代数式 有最大值，这个值是 ．
【答案】(1)3或
(2)
(3)2
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（2）若代数式 取最小值时，表示在数轴上找一点 到 和2的距离之和最小，据此可解；
（3）分 、 、 分别化简，结合 的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最
大值．
【详解】（1）解：由绝对值的几何意义知： 表示在数轴上 表示的点到1的距离等于2，
， ，
或 ；
（2）解：若代数式 取最小值时，
表示在数轴上找一点 ，到 和2的距离之和最小，显然这个点 在 和2之间，
当 时， 有最小值3．
（3）当 时，原式 ，
当 时，原式 ， ，
当 时，原式 ，
则 的最大值为2．
【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对
值的运算法则，是解题的关键．【考点四 解绝对值方程】
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；
（2）根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：
，
或 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1) 或
(2) 或
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程
的解；
（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（4）首先对方程进行整理，得出 ，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程的解．
【详解】（1）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（2）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（3）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（4）解： ，
整理，可得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝
对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号 表示 的绝对值为2， 表示 的绝对值为2，如果 那么 或 ．
若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个整体，则可得 或 ，分别解方程可
得 或 ，利用上面的知识，解方程： ．
【答案】 或
【分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等．【详解】解：移项得， ，
根据绝对值的意义，得 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可．
3．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）同学们都知道， 表示4与 的差的绝对值，实际上
也可以理解为4与 两数在数轴上所对应两点之间的距离：同理 也可以理解为x与3两数在数轴上
所对应的两点之间的距离， 就表示x在数轴上对应点到 的距离，由上面绝对值的几何意
义，解答下面问题：
(1) ，若 ，则 ；
(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得 ；
(3)求 的最小值，并写出此时x的取值情况．
【答案】(1)6；7或
(2) 、 、0、1
(3)当 ， 有最小值9
【分析】（1）由绝对值的几何意义可知 表示的是4与 两数在数轴上的距离， 表示x
与2两数在数轴上的距离为5，据此求解即可；
（2）分 、 、 三种情况讨论求解即可；
（3）分当 时，当 时，当 时，当 时四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由绝对值的几何意义可知 表示的是4与 两数在数轴上的距离，
∴ ；
同理可知 表示x与2两数在数轴上的距离为5，∴ 或 ，
故答案为：6；7或 ；
（2）解：当 时， 不符合题意；
当 时， 符合题意，
∴此时满足题意的整数 为 、 、0、1；
当 时， 不符合题意；
综上所述，满足题意整数 为 、 、0、1；
（3）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述，当 ， 有最小值9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 既可以理
解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程： ．
解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解是 或 ．
(1)利用上述方法解方程： ．
(2)当 满足什么条件时，关于 的方程 ，①无解；②只有一个解；③有两个解．【答案】(1) 或
(2)①当 无解时， ；②当 只有一个解时， ；当 有两个解时，
【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；
（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．
【详解】（1）当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，
解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，
解得 ．
所以原方程的解是x=2或 ；
（2）解：∵|x-2|≥0，
∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；
②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；
③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．
【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的
本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
5．（2022秋·七年级单元测试）问题背景
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联
系，它是“数形结合”的基础，我们知道 ，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0
的点）之间的距离，又如式子 ，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即
若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为 ．
问题探究
(1)若 ，则 ．(2)若 ，则 ．
(3)若 ，则 ．
问题解决
(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足 且
的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
(4)5或4
【分析】（1）根据绝对值的意义得出 或 ，求出x的值即可；
（2）分 、 、 三种情况进行讨论，求出x的值即可；
（3）分 、 、 三种情况进行讨论，求出x的值即可：
（4）先分类讨论求出m为3或 ，再根据绝对值的意义求出 ，最后求出 的值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
（2）解：分三种情况讨论：
① 时， 化简为： ，此方程无解；
② 时， 化简为： ，解得 ；
③ 时， 化简为： ，此方程无解．
故答案为： ．
（3）解：分三种情况讨论：
① 时， ，化简得： ，解得 ；
② 时， ，
化简得： ，此方程无解；
③ 时， ，
化简得： ，解得 ．
故答案为： 或 ．
（4）分三种情况讨论：
① 时， ，化简 ，解得 ；
② 时， ，化简 ，此方程无解；
③ 时， ，化简 ，解得 ．
∴m为3或 ，
∵ 表示数轴上的点到 ， ， 这三个点的距离之和，
∴当 时， 的值最小，
∴ 或 ．
故答案为：5或4．
【点睛】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分
类讨论．
