章节测试第23章旋转（B卷·学霸加练卷，难度）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_讲义

班级 姓名 学号 分数 第二十三章 旋转(学霸加练卷) (时间：60分钟，满分：100分) 一．选择题(共12小题，满分36分，每小题3分) 1．(3分)(2022•太原二模)问题：“如图1，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形纸片，它可以在 正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整 数 ．”甲、乙、丙三名同学分别作了自认为边长最小的正方形，求出该正方形的边长 ，再取最小整数 ． 甲：如图2，思路是当 为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取 ． 乙：如图3，思路是当 为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取 ． 丙：如图4，思路是当 为矩形的长与宽之和时就可以移转过去；结果取 ． 对甲、乙、丙评价正确的是 A．甲的思路错， 值正确 B．乙的思路对， 值正确 C．丙的思路对， 值正确 D．甲、乙的思路都错，丙的思路对 【分析】根据矩形长为12宽为6，可得矩形的对角线长为： ，由矩形在该正方形的内部及 边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于 ，进而可得正方 形边长的最小整数 的值． 【解答】解： 矩形长为12宽为6， 矩形的对角线长为： ， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，该正方形的边长不小于 ， ， 该正方形边长的最小正数 为14． 甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为 ； 乙的思路与计算都正确； 丙的思路与计算都错误； 故选： ． 【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 2．(3分)(2022•益阳)如图，已知 中， ， ，将 绕 点逆时针旋转 得 到△ ，以下结论：① ，② ，③ ，④ ，正确的有 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据旋转的性质可得， ， ，再根据旋转角的 度数为 ，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【解答】解：① 绕 点逆时针旋转 得到△ ， ．故①正确； ② 绕 点逆时针旋转 ， ． ， ． ， ． ．故②正确； ③在 中，， ， ． ． 与 不垂直．故③不正确； ④在 中， ， ， ． ．故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选： ． 【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小． 3．(3分)(2022春•和平区期末)如图， 与 都是等边三角形，连接 ， ， ， ， 若将 绕点 顺时针旋转，当点 、 、 在同一条直线上时，线段 的长为 A． B． C． 或 D． 或 【分析】分两种情况：①当 在 延长线上时，过 作 于 ，根据 与 都是等边 三角形， ， ，可得 ， ，在 中，可得 ，从而 ；②当 在 的延长线上时，过 作 于 ，在 中， ， ，在 中， ． 【解答】解：①当 在 延长线上时，过 作 于 ，如图：与 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ； ②当 在 的延长线上时，过 作 于 ，如图： 在 中， ， ， ， 在 中， ； 综上所述，线段 的长为 或 ，故选： ． 【点评】本题考查等边三角形的旋转变换，解题的关键是分类画出图形，应用含 角的直角三角形三边 关系，结合勾股定理解决问题． 4．(3分)(2022春•龙华区期末)如图，在 中， ，将 绕顶点 逆时针旋转至 ，此时点 在 上，连接 、 、 、 ，线段 分别交 、 于点 、 ，则下 列四个结论中：① ；② 是等边三角形；③ ；④当 时， ；正确的是 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【 分 析 】 ① 由 旋 转 可 知 ， 所 以 ， 所 以 ．由此可判断①正确； ② 由 平 行 可 知 ， ， 所 以 ， 所 以 ，所以 是等边三角形，由此可判断②正确； ③过点 作 交 于点 ，连接 ，由 是等边三角形，得 ，所 以 是等边三角形，易证 ，所以 ，则点 为 中点，易证 ， 所 以 ， 所 以 ， 可 得 ．由此可判断③错误； ④过点 作 交 的延长线于点 ，由含 的直角三角形可知， ， ， 所 以 ， 可 表 达 ．，可得 ，由此可判断④正确． 【解答】解：① 绕点 逆时针旋转至 ， ， ， ， ．故①正确； ② ， ， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ③过点 作 交 于点 ，连接 ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 点 为 中点， ， ， ， ， ， ， ．故③错误； ④过点 作 交 的延长线于点 ， ， ，， ， ， 的高为 ， ． 的高为 ， ， ，故④正确． 故选： ． 【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三 角形的面积等知识；熟练掌握旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 5．(3分)(2022春•南京期末)如图，在正方形 中， ， 为 边上一点，点 在 边上，且 ，将点 绕着点 顺时针旋转 得到点 ，连接 ，则 的长的最小值为 A．2 B． C．3 D．【分析】过点 作 ，垂足为 ，可得 ，根据正方形的性质可得 ， ，根据旋转的性质可得 ， ，然后利用同角的余角相等可得 ， 从而可证 ，进而可得 ，最后可得点 在与 平行且与 的距离为1的直线 上，从而可得当点 在 边上时， 的值最小，进行计算即可解答． 【解答】解：过点 作 ，垂足为 ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， ， 点 在与 平行且与 的距离为1的直线上， 当点 在 边上时， 最小且 ， 的最小值为3， 故选： ． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已 知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．(3分)(2022•河南三模)如图，在平面直角坐标系中， ， ，将△ 绕点 顺时 针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为 的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ；第二次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点 为 ， ；第三次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 依此规律，则第2022 个等腰三角形中，点 的坐标是 A． B． C． D． 【分析】由题意，点 ， ， 在第三象限， ， ， ，推出 ，可得结 论． 【解答】解：由题意，点 ， ， 在第三象限， ， ， ， ， ， 故选： ． 【点评】本题考查坐标与图形变化 旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于 中考常考题型． 7．(3分)(2022•桐梓县模拟)如图，三角形 ，三角形 均为边长为4的等边三角形，点 是 、 的中点，直线 、 相交于点 ，三角形 绕点 旋转时，线段 长的最小值为 ．A． B． C． D． 【分析】首先证明 ，判定出点 在以 为直径的圆上运动，当 运动到 时， 最短来解决问题． 【解答】解：如图，连接 、 、 ， ， ， ， ， ， ， 、 是等边三角形， 是 、 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 在以 为直径的圆上运动， 当 时，且 、 在 的同侧时， 最短， ， ， ， 的最小值为 ． 故选： ． 【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等， 解题的关键是证明 ，判定出 在以 为直径的圆上运动． 8．(3分)(2022•杭州)如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ．以点 为旋转中心，把点 按逆时针方向旋转 ，得点 ．在 ， ， ， ， ， 四个点中，直线 经过的点是A． B． C． D． 【分析】根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线 的解析式，依 次将 ， ， ， 四个点的一个坐标代入 中可解答． 【解答】解： 点 ，点 ， 轴， ， 由旋转得： ， ， 如图，过点 作 轴于 ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为： ， 则 ，， 直线 的解析式为： ， 当 时， ， ， 点 ， 不在直线 上， 当 时， ， ， 在直线 上， 当 时， ， 不在直线 上， 当 时， ， 不在直线 上． 故选： ． 【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点 的坐标是解本题的关键． 9．(3分)(2022•无锡二模)如图，在矩形 中， ， ，点 在线段 上运动(含 、 两点)，将点 为绕点 逆时针旋转 到点 ，连接 ，则线段 的最小值为 A． B． C． D．3 【分析】如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点 ，过点 作 于 ．利用全等三角形的性质证明 ，推出 ，推出点 在射线 上运动，求出 ，可得结 论． 【解答】解：如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点 ，过点 作 于 ． 四边形 是矩形， ， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 点 在射线 上运动， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，最小值为 ， 故选： ． 【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点 的在射 线 上运动，属于中考选择题中的压轴题． 10．(3分)(2022•镇江二模) 是边长为4的等边三角形，其中点 为高 上的一个动点，连接 ， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 、 ，则 周长的最小值是 A． B． C． D． 【分析】证明 ，得 ，可知点 在 外，边 下方，使 的射线 上，根据将军饮马求得 的最小值便可求得本题结果． 【解答】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，是等边三角形， 是高， ， ， 过 点作 ，交 的延长线于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ， ， 与 交于点 ，连接 ， ， 则 ， ， ， 为等边三角形， ， 垂直平分 ， ， ， ， ， 当 与 重合时，即 、 、 三点共线时， 的值最小为： ， 的周长的最小值为 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用， 关键在于证明三角形全等确定 点运动轨迹． 11．(3分)(2022•清城区一模)如图，已知等边三角形 绕点 顺时针旋转 得 ，点 、 分别为线段 和线段 上的点，且 ，则下列结论正确的有 ① ；② 为等边三角形；③若把 、 、 、 四边的中点相连，则得到的四边 形是矩形；④若 ， ，则 ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据旋转的性质以及等边三角形的性质，易证 ，可判断①选项；根据全等三 角形的性质可得 是等边三角形，可判断②选项；根据菱形的性质可得③选项；根据等边三角形的性 质可证 ，根据相似三角形的性质可得 ，进一步可得 ． 【解答】解：等边三角形 绕点 顺时针旋转 得 ， ， 在等边三角形 和等边三角形 中， ， ， ， ， 故①选项符合题意； ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故②选项符合题意； ， 四边形 是菱形， 把 、 、 、 四边的中点相连，得到的四边形是矩形， 故③选项符合题意；， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④选项符合题意， 综上，正确的选项有①②③④， 故选： ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质，特 殊的平行四边形的性质等，本题综合性较强，难度较大． 12．(3分)(2022春•大埔县期中)如图，在 和 中， ， ， ．连接 ， ，将 绕点 旋转一周，在旋转的过程中当 最大时， A．6 B． C．9 D． 【分析】作 于 ， ，交 的延长线于 ，可知点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当 时， 最大，利用 证明 ，得 ，可说明 的面 积 的面积，从而得出答案． 【解答】解：作 于 ， ，交 的延长线于 ， ， 点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， 当 时， 最大， 由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ， 的面积 的面积 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三 角形是解题的关键． 二．填空题(共6小题，满分18分，每小题3分) 13．(3分)(2022•黔东南州二模)如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ， ， 则这个等边三角形 的边长为 ．【分析】将 旋转 得 ，过 作 交 延长线于 ，可得 是等边三角形，有 ， ， 因 ， 故 ， 而 ， 得 ， ， 可 知 ， ， ， 在 中，得 ， ，在 中， ． 【解答】解：将 旋转 得 ，过 作 交 延长线于 ，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， 等边三角形 的边长为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查等边三角形中的旋转，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 14．(3 分)(2022•游仙区模拟)正 的边长为 4， 是 的中点， 是 内一点，且 ，则 的最小长度是 ． 【分析】将 绕点 顺时针旋转 得 ，以 为边在 下方作等边 ，连接 ，过 作 交 延长线于 ，由将 绕点 顺时针旋转 得 ，可得 是等边三角形， 而 ，即知 ， ，故 ， 从而 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 上的 ，当 ， ， 共线时， 最小，在 中， ，可得 ， ，在 中， ，即可得 的最小长度是 ．【解答】解：将 绕点 顺时针旋转 得 ，以 为边在 下方作等边 ，连接 ， 过 作 交 延长线于 ，如图： 将 绕点 顺时针旋转 得 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 上的 ， 当 ， ， 共线时， 最小， 的最小值为 ，在 中， ， ， ， 而 ， 在 中， ， ， 即 的最小长度是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查等边三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的旋转，求出 的轨迹． 15．(3分)(2022•大名县三模)如图，在 中， ， ， ，将 绕点 按逆时 针方向旋转得到 ．连接 、 ，直线 、 交于点 ，连接 ． (1) 与 的等量关系是： ； (2)在旋转过程中，线段 的最大值是 ． 【分析】(1)由旋转可知： ，可证 ，即得 ， ； (2)取 的中点 ，连接 ， ，设 ， 交于点 ，由(1)知 ，得 ， 可 得 ， 由 是 的 中 点 ， 有 ，故当 ， ， 共线时， 最大为 ． 【解答】解：(1) ，理由如下： 由旋转可知： ， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为： ； (2)取 的中点 ，连接 ， ，设 ， 交于点 ，如图： 由(1)知 ， ， ， ， 是 的中点， ， ， 当 ， ， 共线时， 最大为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性 质． 16．(3分)(2022春•宽城县期末)如图，在菱形 中， ， ，过菱形 的对称中心 分别作边 ， 的垂线，交各边于点 ， ， ， ，则菱形 的面积为 ，四边形 的周长为 ．【分析】如图，连接 ， ．利用是解三角形30度角的性质求出 ． ， ， ， ，可得 结论． 【解答】解：如图，连接 ， ． 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 的面积 ， ． ， ， ， 同法可证 ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 同法 ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形 的面积 ． 故答案为： ， ． 【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知 识，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 17．(3分)(2022•江汉区模拟)如图，在矩形 中， ， ，点 在线段 上运动(含 、 两点)，连接 ，以点 为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的长度的范 围为 ． 【分析】①当 与 重合时， 最大，连接 ，可证 是等边三角形，从而可得 最大值是5； ②以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点 ，过点 作 于 ，证明 ，有 ，可得 ，故点 在射线 上运动，由 ， ，可得 ，根据垂线段最短可知， 的最小值为 ，即可得到答案． 【解答】解：①当 与 重合时， 最大，连接 ，如图： ， ， ， ， ， 将线段 逆时针旋转 到 ， ， 是等边三角形， ， ，即 最大值是5； ②以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点 ，过点 作 于 ，如图： 四边形 是矩形， ，是等边三角形，将线段 逆时针旋转 到 ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 点 在射线 上运动， ， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，最小值为 ， 综上所述， ， 故答案为： ．【点评】本题考查矩形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能求出点 的轨迹． 18．(3分)(2022春•道里区期末)如图，在 中， ， 于点 ，把线段 绕点 旋转 得到线段 ，点 恰好落在 的延长线上， ， 的面积是8，则 的长为 ． 【分析】过点 作 于点 ，通过证明 ，得到 ， ；设 ， 则 ，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到 ，利用三角形的面积公式求得 值，再利用勾 股定理即可得出结论． 【解答】解：过点 作 于点 ，如图， ， ． 在 和 中， ， ， ， ． ， ．设 ，则 ， ． ， ， ， ， ． ． ． 的面积是8， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为 ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，过点 作 于 点 ，构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题(共6小题，满分46分) 19．(6 分)(2022•晋江市模拟)如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 、 的对应点分别为 、 ． (1)求证： 、 、 三点共线； (2)若 ，求点 到 的距离．【分析】(1)连接 ，根据将 绕点 逆时针旋转 得到 ，得 ， ， ，知 是等边三角形，可得 ，故 ， 、 、 三点共线； (2)过 作 于 ，过 作 于 ，由 是等边三角形，可得 ， ， 根据 ，可得 ， ，由等面积法即得 ． 【解答】(1)证明：连接 ，如图： 将 绕点 逆时针旋转 得到 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 、 、 三点共线； (2)过 作 于 ，过 作 于 ，如图： 由(1)知 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 点 到 的距离是 ． 【点评】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，利用等面积法列方程解决问题． 20．(8分)(2022•东海县二模)如图1．在一平面内，从左到右，点 、 、 、 、 均在同一直线上． 线段 ，线段 ， 分别是 、 的中点．如图2，固定点 以及线段 ，让线段 绕点 顺时针旋转 ．连接 、 、 、 ． (1)求证：四边形 为平行四边形； (2)当 时，求四边形 的周长． 【分析】(1)根据对角线互相平分证四边形 为平行四边形即可； (2)当 时，则四边形 为菱形，根据勾股定理求出边长即可解答． 【解答】(1)证明：如图2， 是 ， 的中点， ， ， 故四边形 为平行四边形； (2)解：当 时，如下图：， ， ， 即四边形 为菱形， ， ， ， ， ， 四边形 的周长为 ． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边 形的判定，勾股定理是解题的关键． 21．(8分)(2022春•富平县期末)如图，点 、 、 都在网格格点上， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1) 经过平移得到△ ，点 、 、 的对应点分别为 、 、 ， 中任意一点 ， 平移后的对应点为 ， ．请在图中作出△ ； (2)请在图中作出 关于原点 对称的△ ，点 、 、 的对应点分别为 、 、 ．【分析】(1)由点 ， 平移后的对应点为 ， 得出平移的方式为向右平移4个单位、向上 平移3个单位，据此作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； (2)分别作出三个顶点关于原点的对应点，再首尾顺次连接即可． 【解答】解：(1)如图所示，△ 即为所求． (2)如图所示，△ 即为所求． 【点评】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质， 并据此得出变换后的对应点． 22．(8分)(2022春•洛阳期末)(1)如图①，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点 、 、 、 在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为 、 ， ， ． 与 相交于 点 ，则 的度数是 ； (2)将图①中的三角板 和三角板 分别绕点 、 按各自的方向旋转至如图②所示位置，其中 平分 ，求 的度数； (3)将如图①位置的三角板 绕点 顺时针旋转一周，速度为每秒 ，在此过程中，经过 秒边 与边 互相平行． 【分析】(1)根据三角形内角和是 得出 ，再根据对顶角相等求出 的度数即可； (2)过点 作 ，根据平行线的性质 ，再根据 求出即可； (3)设经过 秒边 与边 互相平行，分两种情况列方程求出时间 即可． 【解答】解：(1) ， ， ， ， 故答案为： ； (2) 平分 ， ， ， 过点 作 ， ，， ， ， ， ， ； (3)设经过 秒边 与边 互相平行， ① 时， ， 即 ， 解得 ； ② 时， ， 即 ， 解得 ； 综上所述，经过7.5秒或25.5秒边 与边 互相平行， 故答案为：7.5或25.5． 【点评】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质及角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线 的性质，灵活运用辅助线是解题的关键． 23．(8分)(2022春•锡山区期末)按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图1，在 的网格中，有一格点三角形 (说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三 角形)．将 绕点 旋转 ，得到△ ，请直接画出旋转后的△ ． (2)在图1中，作出 边上的高 ，则 的长为 ． (3)如图2，已知四边形 是平行四边形， 为 上任意一点，请只用直尺(不带刻度)在边 上找点 ，使 ．【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出 ， 的对应点 ， ； (2)利用面积法求出 ，可得结论， (3)连接 ， 交于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，点 即为所求． 【解答】解：(1)如图，△ 即为所求； (2) ， ， ， ． 故答案为： ． (3)如图2，点 即为所求． 【点评】本题考查作图 旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型． 24．(8分)(2022春•莲湖区期末)如图，在四边形 中， ， 是 上一点，点 与点 关于 点 中心对称，连接 并延长，与 延长线交于点 ． (1)填空： 是线段 的 中点 ，点 与点 关于点 成中心对称，若 ，则 是 三角形． (2)四边形 的面积为12，求 的面积． 【分析】(1)利用中心对称的定义回答即可，然后证得 ，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即 可；(2)得到三角形 的面积等于三角形 的面积，从而得到答案． 【解答】解：(1) 点 与点 关于点 中心对称， 是线段 的中点， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 点 与点 关于点 成中心对称， ， ， 则 是等腰三角形． 故答案为：中点， ，等腰； (2) ， 与 面积相等， 的面积等于四边形 的面积， 四边形 的面积为12， 的面积为12． 【点评】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心 对称的定义判定两点关于某点成中心对称．