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考向 29 空间几何体的外接球
和内切球问题
1.（2022年乙卷理9文12）9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面
上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是
边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则
所以该四棱锥的高 ，所以体积
当且仅当 ，即 时，等号成立
所以该四棱锥的高
故选C
2.（2022年新高考1卷）8．已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱雉体积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【 解 析 】 记 三 棱 锥 高 与 侧 棱 夹 角 为 ， 高 为 ， 底 面 中 心 到 各 顶 点 的 距 离 为 ，
，则 ， ，
， ，
故 ，
令
，故 ， ， ， ，
即 ，
．
3.（2022年新高考2卷）7．正三棱台高为1，上下底边长分别是 和 ，所有顶点在同一球面上，则
球的表面积是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，
下底面所在平面截球所得圆的半径是4，
则轴截面中由几何知识可得 ，或解得 ，因此球的表面积是 ．故选A.
A
1
B1 A1
3 3
O1
B2
O
C1 O A2 1
O2
C2 B 1 M C 1
1
A2
M1 O1 3 A1
4 3
R232 R
O
O2
R242
R
M2 O2 4
A2
B2 M2 C2
1.正方体内切球、外接球、棱切球的球心都是正方体的中心， 若正方体棱长为 ，则这三种球的半径分
别为 .
2.长方体的外接球的球心是其体的对角线的中点；若长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 则外接
球的半径是 ；若长方体过同一顶点的三个面的对角线长分别为 则外接球的半径是
.
3.直三棱柱的外接球球心是上、下底面三角形外心连线的中点.若直三棱柱的侧棱长为h，底面三角形外接
圆半径为R（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为
4.正四面体的内切球、外接球的球心都是正四面体的中心，它是高的一个四等分点，若四面体的棱长为
a，则其内切球半径为 ，外接球半径为 .5.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
6.正四面体、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对棱相等的三棱锥，这些
几何体的外接球问题可以补形成长方体或正方体来解决.
7.一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球题，可补形为直三棱柱来解决问题.
8.圆锥的内切球和外接球问题可作公共的轴截面，找出两个几何体的关系解决问题.
9.多面体内切球问题可由公式
1
S ⋅R =V
3 多面体表面积 内切球半径 多面体体积
来计算内切球半径.
1.常用结论
(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．
(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．
(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．
(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到．
(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心
(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体．
(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．
3.球的有关性质
（1）球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.
（2） 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是
小圆的圆心.
（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.
（4）球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
（5）球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
（6）若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连
线的中点.
一、单选题
1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 ，则该四棱柱的高为（ ）
A． B．2 C． D．
2．圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为 ，则球 的体积为
（ ）A． B． C． D．
3．已知正方体 的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是
（ ）
A．6π B．12π C．18π D．24π
4．已知一个棱长为 的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥 ，若 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥
外接球的表面积是（ ）
A．100π B．50π C．144π D．72π
6．矩形 中， ， ，沿 将 矩形折起，使面 面 ，则四面体
的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 是球 的小圆 上的三点，若 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，底面ABCD是矩形， ，若四棱锥P-ABCD
外接球的表面积为 ，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
二、多选题
9．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点
与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）
A．该正方体的棱长为2 B．该正方体的体对角线长为
C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为
10．正方体 中， ，点 在线段 上运动，点 在线段 上运动，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．线段 长度的最小值为2
C．当 为 的中点时，三棱锥 的外接球表面积为
D．平面 截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形
三、填空题
11．已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，
，则该球的表面积为______.
12．已知球 的一个截面面积为 ，若球 上的点到该截面的最大距离为3，则球 的表面积为
__________．
13．已知 的顶点都是球 的球面上的点， ， ， ，若三棱锥
的体积为 ，则球 的表面积为___________.
14．已知四棱锥 的底面为矩形， ，
则其外接球的表面积为________．
一、单选题
1．（2022·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的
顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（ ）A．2 π B．4 π C．16π D．
2．（2022·海南·模拟预测）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优
美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前
后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内
切球的体釈之比为 ，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形
状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形， 平面ABCD， ，其余棱长都为
1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南京·模拟预测）足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最
多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18
日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足，二面角 的大小为 ，则该足球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．
在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是
指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指
与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，
记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为
（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
6．（2021·辽宁丹东·二模）球 的两个相互垂直的截面圆 与 的公共弦 的长度为2，若 是
直角三角形， 是等边三角形，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多
面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球 的球面上，且该
“鳖臑”的高为 ，底面是腰长为 的等腰直角三角形．则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山西吕梁·二模（文））已知球O的表面积为 ，平面 分别截球O，得截面圆M与圆
N，圆M的面积为 ，圆N的面积为 ，M，N分别为圆M和圆N的圆心，有下列四个命题：
① 的最大值为7；
②点N可以在平面 内；
③点M可以在平面 内；
④当圆M和圆N相交时，相交弦的最大值为6.
其中为真命题的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、多选题
9．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内
切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等 “圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容
球， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
10．（2022·全国·模拟预测）已知正三棱锥 的底面 的面积为 ，体积为 ，球 ， 分别
是三棱锥 的外接球与内切球，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．二面角 的大小为
C．若点 在棱 上，则 的最小值为
D．在三棱锥 中放入一个球 ，使其与平面 、平面 、平面 以及球 均相切，则球的半径为
三、填空题
11．（2022·全国·模拟预测）有一张面积为 的矩形纸片 ，其中 为 的中点， 为 的中点，
将矩形 绕 旋转得到圆柱 ，如图所示，若点 为 的中点，直线 与底面圆 所成角的
正切值为 ， 为圆柱的一条母线（与 ， 不重合），则当三棱锥 的体积取最大值时，
三棱锥 外接球的表面积为___________.
12．（2022·河南·模拟预测（理））我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属
或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使
用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成
的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同
一个球的表面上，则这个球的表面积为______.
13．（2022·重庆·二模）无穷符号 在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个
半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距 ，则该标志的体积为___________.
附：一个半径为 的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的
线段长叫做球缺的高（记为 ），球缺的体积公式为 .
14．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知球O与棱长为a的正方体 各个面均相切，给
出下列结论：
①当 时，球O的表面积为 ；
②该正方体外接球的体积与球O的体积之比为 ；
③当 时，球O被平面 所截的截面面积为 ；
④当 时，若点M满足 ，则过M的平面截球O所得截面面积的最小值是 .
其中正确结论的序号是___________.
1．(2021年高考全国甲卷理科)已如A．B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为 ( )A． B． C． D．
的
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 为球 球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若
⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为 ( )
A． B． C． D．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．
若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ( )
A． B． C．1 D．
4．(2019 年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，
， 是边长为2的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ，
则球 的体积为 ( )
A． B． C． D．
5．(20173)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
________.
已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC， 是边长为2的正三角
6.（20191）
形，E，F分别是PA，AB的中点， ，则球O的体积为
________
7.（20152）已知A,B是球O的球面上两点， ,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最
大值为36，则球O的表面积为________.
8.（20183）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC为等边三角形且其面积为9，则
三棱锥D-ABC体积的最大值为_________.
9.（20163）在封闭的直三棱柱ABC-ABC 内有一个体积为V的球，若AB BC，AB=6，BC=8，AA =3，
1 1 1 1
则V的最大值是__________1．【答案】C
【解析】设球的半径为 ，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
2．【答案】A
【解析】设球 的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以 ，解得： ，
则球 的体积为
故选：A
3．【答案】B
【解析】正方体 的八个顶点在同一个球面上，
若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则 ，解得 ，
故球的直径为 .球的表面积为 .故选：B.
4．【答案】B
【解析】若棱长为 的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即 ，（其中 是该球的半径），
所以 ，则球的体积 ．
故选：B．
5．【答案】A
【解析】如图，将三棱锥放于一个长方体内：则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，
∵ ，
∴外接球的表面积为： ．
故选：A.
6．【答案】A
【解析】如图：
矩形 中，因为 ，
所以 ，
设 交 于 ，则 是 和 的外心，
所以 到点 的距离均为 ，所以 为四面体 的外接球的球心，
所以四面体 的外接球的半径 ，
所以四面体 的外接球的体积 .
故选:A.
7．【答案】B【解析】因为 ，所以 是正三角形， 是其外接圆圆心，所以 的外接圆半
径 ，球 的半径 ，所以球 的表面积为
.
故选：B.
8．【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则 ，即 ．
由题意，易知 ，得 ，
设 ，得 ，解得 ，
所以四棱锥P-ABCD的体积为 ．
故选：D
9．【答案】BD
【解析】设内外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，∴ ，
又由题知 ，所以 ， ，
∴正方体棱长为 ，体对角线长为 ，
∴外接球表面积为 ，
故选：BD.
10．【答案】AB【解析】
如图，由正方体 可得
故四边形 为平行四边形，故 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，∴ 上任一点到平面 距离为定值，
即 到平面 距离为定值，而 面积为定值，∴故 为定值，A对.
，B对.
∵底面 为等腰直角三角形，且边长为2，∴ 外接圆半径为 ，
∵三棱锥 的高为 ，
如图，取 的中点为 ，连接 ，则 ，
故 ，故 为三棱锥 的外接球的球心，
且半径为 ，故表面积为 ，故C不对.
如下图所示：平面 截该正方体所得截面可能为三角形､四边形，不可能为五边形，故D错.故选：AB.
11．【答案】
【解析】由题意， 的外接圆直径 ，且 的外接圆直径， 与外接球直
径构成勾股定理，所以外接球直径 满足 .
故外接球表面积 .
故答案为：
12．【答案】
【解析】设球 的半径为 ，截面圆的半径为 到截面的距离为 ，
则由题意得 解得
所以球 的表面积为
故答案为：
13．【答案】
【解析】因为 ，取 的中点 ，则 为 外接圆的圆心，
所以 平面 ，因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，
又由三棱锥 的体积为 ，所以 ，解得 ，
所以球 的半径为 ，
故球 的表面积 .
故答案为： .
14．【答案】
【解析】如图取 中点 ，底面中心为 ，外接球的球心为 ，则 底面 ，
由因为 ，
所以 ， ，
即 ， ， ，
因此有 ， ，
，设球的半径为 ， ．
在直角梯形 中，
在直角 中，
联立得 ，即 ，故球的表面积为 .
故答案为：
1．（【答案】B
【解析】依题意，做球的剖面图如下：
其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知球的半径计算公式： ，由于圆柱的高为2，
OD=1，DE=3-1=2， ，母线 ，
∴圆锥的侧面积为 ，
故选：B.
2．【答案】C
【解析】正方体的体积为 ，其内切球的体积为 ，
由条件可知牟合方盖的体积为 ，
故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为 .
故选：C
3．【答案】B
【解析】连接 , 交于点 ,取 的中点 ，则 平面 ,,取 的中点 ,连接 ,作
,垂足为 ，如图所示
由题意可知， ，所以 ,
所以 , ,所以 ,又 ,
所以 ，即这个几何体的外接球的球心为 ，半径为 ，
所以这个几何体的外接球的体积为 .
故选：B.
4．【答案】A【解析】根据题意，三棱锥 如图所示，图中点 为线段 的中点， 分别是线段 上
靠近点 的三等分点，
因为 ，
所以 和 均为等边三角形，
因为点 为线段 的中点，
所以 ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ，
因为 和 均为等边三角形，点 为线段 的中点，
所以 分别为 和 的中线，
因为 分别是线段 上靠近点 的三等分点，
所以 分别为 和 的外心，
过 分别作平面 和平面 的垂线 ，交于点 ，则点 为三棱锥 外接球的球心，
即为足球的球心，所以线段 为球的半径，
因为 ， ，
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ≌ ，所以 ，
在直角 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 是 的外心，所以 ，
所以 ,所以 ，
所以足球的体积为 ，
故选：A
5．【答案】C
【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
6．【答案】D
【解析】如图，过 作直线 平面 ，过 作直线 平面 ，则 与 相交于 ， 即为球心，
连接 ，则 为该球的半径，
取 的中点 ，连接 ，
因为 是直角三角形， ，
所以 ，
因为 是等边三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ∥ ，同理 ∥ ，
所以四边形 为矩形，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ,
所以球的表面积为 ，
故选：D
7．【答案】A
【解析】如下图所示：
在三棱锥 中， 平面 ， 且 ， ，因为 平面 ， 、 、 平面 ，则 ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以，三棱锥 的四个面都是直角三角形，且 ，
，
设线段 的中点为 ，则 ，
所以，点 为三棱锥 的外接球球心，
设球 的半径为 ，则 ，因此，球 的表面积为 .
故选：A.
8．【答案】C
【解析】由题意得，球O的半径为5，圆M和圆N的半径分别为4和3.当 ，且在球心O的异侧时，
最大，最大值为7，故①正确；
圆M是过点M半径最小的截面圆，圆N的半径小于圆M的半径，所以点M不可以在平面 内，故③错误；
圆N是过点N半径最小的截面圆，圆M的半径大于圆N的半径，所以点N可以在平面 内，故②正确；
当圆M和圆N相交时，过点N的最长弦为圆N的直径，所以相交弦的最大值为6，故④正确.
故选C.
9．【答案】BCD
【解析】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，则球表面积
为 ，圆柱的表面积 ，
所以球与圆柱的表面积之比为 ，故A错误；
过 作 于 ，则由题可得 ，设 到平面DEF的距离为 ，平面DEF截得球的截面圆的半径为 ，
则 ， ，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为 ，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于 ，点 到平面 的距离 ，
又 ，所以 ，故C正确；
由题可知点 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设 在底面的射影为 ，
则 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
所以 ，故D正确.故选：BCD.
10．【答案】ACD
【解析】依题意， ，解得 ，设三棱锥 的高为 ，则三棱锥 的体积
，解得 ．设点 在底面 内的投影为 ， 为球 的半径，连接 ，则
，即 ，解得 ，则球 的表面积 ，故A正确
（对应下方右图）．
取棱 的中点 ，连接 ，由正三棱锥的性质，易知 ，于是 即为二面角
的平面角， ，且 ，则 ，故B错误．
将侧面 平面展开，使得 四点共面，显然 的连线就是 有最小值．
，故在 中， ，则
，故 ，故C正确（对应下方
左图）．
三棱锥S－ABC的表面积为 ，根据内切球半径 和棱锥体积 ，棱
锥表面积为 ，易知 ，设 为球 的半径， 为球 的半径，则 ，解得 ，
原三棱锥的高 ，作一平面平行于底面 ，去截原三棱锥，得到一个 的棱台，那么剩余部
分棱锥的高是原棱锥的 ，根据相似关系，剩余棱锥的底面积为 ，，表面积为 ，体积为，于是 ，解得 ，故D正确．
故选：ACD．
11．【答案】
【解析】设圆柱的高为 ，底面半径为 ，则 ，即 .
因为直线 与底面圆 所成角的正切值为 ，
所以 ，即 .
由 ，得 .
连接 ，由题意得 ， ，
又 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 .
过点 作 于点 ，则 平面 .
设 ， ，则 ，
于是三棱锥 的体积 ，
当且仅当 时取等号，
设此时三棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 ，外接球半径为 ，则 ，解得 ，
于是 ，
所以当三棱锥 的体积取最大值时，
三棱锥 外接球的表面积 .
故答案为： .
12．【答案】
【解析】设正四棱柱和正四棱锥的高为 ，
则其外接球的半径为
解得 ，所以
故球的表面积为
故答案为：
13．【答案】
【解析】记两球面的交线为圆 ，其大圆截面如图所示，则 ，且 ，
解得 ， ，且圆 的半径为12，
两球体的公共部分可看作两个球缺，
小球中的球缺高为 ， ，
大球中的球缺高为 ， ，
故
.
故答案为： .
14．【答案】②③
【解析】易知正方体的体对角线是其外接球的直径，正方体的棱长是其内切球的直径；
设该正方体的外接球的半径为 ，内切球（即球 ）的半径为 ，
则 ， ，即 ， ；
对于①：当 时，球O的半径为 ，
其表面积为 ，
即①错误；
对于②：因为该正方体的外接球、内切球的半径之比为 ，所以体积比为 ，
即②正确；
对于③：由题意，得球O被平面 所截的截面是圆，
且是正三角形 的内切圆，设其半径为 ，
则 ，
其面积为 ，
即③正确；
对于④：由题意，得 ， ，
当截面与 垂直时，点 到该截面的距离最大，
此时截面的半径最小，即其面积最小；
则截面半径的最小值为 ，
此时面积为 ，即④错误.
故答案为：②③.
1．【答案】A
【解析】 ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，则 ，
所以 ．
故选：A．
2．【答案】A
【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ， ，根据球的截面性质 平面 ，
， 球 的表面积 ．
故选：A
3．【答案】C
【解析】
设球 的半径为 ，则 ，解得： ．
设 外接圆半径为 ，边长为 ， 是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 ．故选：C．
4．【答案】D
【解析】三棱锥 为正三棱锥，取 中点 ，连接 ，则 ，
， 可 得 平 面 ， 从 而 ， 又 ， 可 得
，
又 ，所以 平面 ，从而 ，从而正三棱锥 的三
条侧棱 两两垂直，且 ，可将该三棱锥还原成一个以 为
棱的正方体，正方体的体对角线即为球 的直径，即 ，所以球 的体积为
．
P
E
A C
M
F
B
5．【答案】
【解析】圆柱的轴截面如图， ， ，所以圆柱底面半径 ，那么圆柱的体积是
．
6.【答案】
【解析】由PA PB PC及△ABC是边长为2的正三角形可知，
三棱锥P ABC 为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.
连接BO并延长，交AC于G，则AC BG，又PO AC,POI BG O，
可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EFPPB.
又CEF 90，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.
所以PB⊥PA，PB⊥PC.
又∵PA PB PC，△ABC是正三角形，
∴△PAC≌△PBC≌△PAB，故PA PC
∴正三棱锥P ABC 的三条侧棱两两互相垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即d PA2 PB2 PC2 6,
3
4 6
半径为 6 ,则球O的体积为 3 π 2 6π ．故答案为 ．
2
7.【答案】
【解析】如图所示，当点C为垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大。设球O的半径为
R，此时
则球O的表面积为
,故答案为
8.【答案】
【解析】设等边三角形 的边长为 ，则 ，得 ．
设 的外接圆半径为 ，则 ，解得 ，
所以球心到 所在平面的距离 ，
则点 到平面 的最大距离 ，
所以三棱锥 体积的最大值 ．
9.【答案】
【解析】
此时，V的最大值
，
