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第二十七章 相似(B 卷·能力提升练)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分。)
1．(2022·四川攀枝花·中考真题)如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别为 、 的中
点， 、 相交于点G，过点E作 ，交 于点H，则线段 的长度是( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解析： 四边形 是矩形， ， ，
， ， ，
点E、F分别为 、 的中点，
， ，
，
，
，
．
由勾股定理得： ，
，
，
，
，，
解得： ，
故选：D．
2．(2022·浙江衢州·中考真题)如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为
半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知， 垂直平分 ， ，
，则选项A正确；
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，则选项B正确；
假设 ，
，
又 ，，
，与 矛盾，
则假设不成立，选项C错误；
， ，
，
在 和 中， ，
，
，即 ，
，则选项D正确；
故选：C．
3．(2022·浙江衢州·中考真题)西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成
如图2的位置，从矩的一端 (人眼)望点 ，使视线通过点 ，记人站立的位置为点 ，量出 长，即可
算得物高 ．令BG=x(m)， EG=y(m)，若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则 关于 的函数表达式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，四边形 是矩形，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
，
整理得： ，
故选：B．
4．(2022·江苏镇江·中考真题)如图，点 、 、 、 在网格中小正方形的顶点处， 与 相交于点 ，
小正方形的边长为1，则 的长等于( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】解： AD= ，AB=2，CD=3，
∵AB∥DC，
∴ AOB∽△DOC，
△
∴ ，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，∴2x+3x=5．
解得：x=1，
∴AO=2，
故选：A．
5．(2022·甘肃兰州·中考真题)已知 ， ，若 ，则 ( )
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故选：A．
6．(2022·辽宁大连·中考真题)如图，在 中， ，分别以点A和点C为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 ，直线 与 相交于点D，连接 ，若 ，
则 的长是( )
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【详解】解：由作图可得： 是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，
∴∵ ，
∴
∴
故选C
7．(2022·贵州贵阳·中考真题)如图，在 中， 是 边上的点， ， ，则
与 的周长比是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，
故选：B．
8．(2022·四川广安·中考真题)下列说法正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形．
B．相似三角形的面积的比等于相似比．
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】C
【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意；
C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；
D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
9．(2022·四川雅安·中考真题)如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，
那么 ＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ＝ ，
DE∥BC，
故选D
10．(2022·海南·中考真题)如图，点 ，将线段 平移得到线段 ，若，则点D的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图过点C作 轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D
二．填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分。)
11．(2022·江苏淮安·中考真题)如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的一
点，过点 作 ，交 于点 ，作 的平分线交 于点 ，连接 ．若 的面积是
2，则 的值是______．
【答案】
【详解】解：在 中，由勾股定理得， ，
∵ 的面积是2，
∴点 到 的距离为 ，
在 中，点 到 的距离为 ，
∴点 到 的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．(2022·辽宁阜新·中考真题)如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ， 与 相交
于点 ，若 的面积是 ，则 的面积是______．
【答案】27
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
∽ ，
， ，
： ： ，
： ： ，即 ： ： ，
．
故答案为： ．
13．(2022·山东东营·中考真题)如图，在 中，点F、G在 上，点E、H分别在 、 上，四边
形 是矩形， 是 的高． ，那么 的长为____________．【答案】
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
代入可得： ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
14．(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图， ， ， 相交于点 ，若 ， ，则
的长为_________．【答案】5
【详解】解：∵ ，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．
故答案为：5．
15．(2022·湖北荆门·中考真题)如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有
性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【答案】18
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，
∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，
∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，
故答案为：18．
16．(2022·上海·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，
，则 _____．【答案】 或
【详解】解：∵D为AB中点，
∴ ，即 ，
取AC中点E，连接DE，则DE 是 ABC的中位线，此时DE∥BC， ，
1 1 1 1
△
∴ ，
在AC上取一点E，使得DE＝DE，则 ，
2 1 2
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝ ，
∵DE∥BC，
1
∴∠DE1E2=60°，
∴ DE1E2是等边三角形，
△
∴DE＝DE＝E1E2＝ ，
1 2
∴E1E2＝ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
综上， 的值为： 或 ，
故答案为： 或 ．三．解答题(本题共5小题，共36分。)
17．(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形 内接于 ，直径 与弦 交于点 ，
直线 与 相切于点 ．
(1)如图1，若 ，且 ，求证： 平分 ；
(2)如图2，连接 ，若 ，求证： ．
【详解】(1)证明：连接 ，
直线 与 相切于点 ，
，
，
，
，
又 ，
为等边三角形，
又 ，
平分 ，
，平分 ；
(2)
证明：∵直线 与 相切于点 ，
，
，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠OBC=∠PBA，
∵OB=OC，
∴ ，
，
，
，
又 ，
．
18．(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图， 是 的外接圆， 为 的直径，点 为 上一点，
交 的延长线于点 ， 与 交于点 ，连接 ，若 ．(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．
【详解】(1)
证明：连接OE．
∵ ， ，
∴∠ABC=∠BOE，
∴ ，
∴∠OED=∠BCD．
∵ ，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴ ．
∵EO是 的半径，
∴EF是 的切线．
(2)
∵ ，
∴ ．
∵BF=2， ．设 的半径为r，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径是3．
19．(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C
的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【详解】(1)证明：连接OC，如图： ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O
的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ ，即，∴AD ．
20．(2022·上海·中考真题)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段
AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
【详解】(1)
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，
在 ACE和 ABF中， ，
△ △
∴ ACE≌ ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；
(2△)证明：△∵ ACE≌ ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
△ △
∴ ，即 ，∴ ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，
△
∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴ CAF∽△BFQ，
△
∴ ，即CF·FQ=AF·BQ．
21．(2022·辽宁大连·中考真题) 是 的直径，C是 上一点， ，垂足为D，过点A作
的切线，与 的延长线相交于点E．(1)如图1，求证 ；
(2)如图2，连接 ，若 的半径为2， ，求 的长．
【详解】(1)
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
在 和 中， ， ，
∴ ；
(2)
解：如图，连接AC．
∵ 的半径为2，
∴ ， ，
∵ 在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
∵ ， 经过 的圆心，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，C是 上一点，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
