文档内容
第 01 讲 二次根式的定义及性质【6 个必考点】
【人教版】
【知识点1 二次根式的定义】..................................................................................................................................1
【必考点1 判断二次根式个数】..............................................................................................................................1
【必考点2 二次根式求参数】..................................................................................................................................2
【必考点3 二次根式有无意义的条件】.................................................................................................................3
【知识点2 二次根式的基本性质】..........................................................................................................................3
【必考点4 根据二次根式的非负性求值】.............................................................................................................3
【必考点5 根据二次根式性质进行化简】.............................................................................................................4
【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】.............................................................................................5
【知识点1 二次根式的定义】
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“❑√❑”叫做二次根号，a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“❑√❑”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如m❑√a（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式❑√A−B与❑√B−A都有意义,则有A=B.
【必考点1 判断二次根式个数】
【例1】（2024秋•射洪市校级期中）在式子 ， ， ， ，√ 1 中，是二次根式的有（
❑√5 √38 ❑√−2 ❑√(x+3) 2 ❑
x2 +5
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例2】（2024春•万年县校级月考）已知下列各式： ，其中二
❑√3，−❑√6，❑√a−1，❑√−2，❑√m2 +1
次根式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5√ y
【变式1】（2024春•凉州区月考）在式子❑√3、❑√x2 +1、❑√a+1（a＜﹣3）、❑ （y＞0）、❑√−2x（x＜
2
0）中，是二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（2024春•西青区校级月考）在下列式子中，一定是二次根式的有（ ）
， ， ， ， ， ．
❑√a ❑√x2 +3 ❑√77 ❑√−62 ❑√(−9) 2 √3 2m2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】（2024春•东营区校级月考）下列各式中二次根式的个数有（ ）
①
−❑√m2 +1
②√3−8
③❑√x−1
④❑√5
⑤❑√π
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【必考点2 二次根式求参数】
【例1】（2024春•交口县期末）若❑√63n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．63
【例2】（2024春•青县期末）如果❑√5+2a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．10 B．2 C．﹣4 D．﹣2
【变式1】（2023春•黄骅市校级期中）已知❑√6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2023春•河北区校级期中）已知❑√189n为整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．3 B．9 C．18 D．21
【变式3】（2024秋•宁德期末）已知a是正整数，❑√18a是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整
√240
数，❑ 是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是 4 5 ．
b
【变式4】（2024春•黄骅市校级期中）如果a为正数，且❑√29−a为正整数．
（1）求❑√29−a的最小值及此时a的值；
（2）求❑√29−a的最大值及此时a的值．【必考点3 二次根式有无意义的条件】
❑√x−5
【例1】（2024秋•梓潼县期末） 有意义，则x的取值范围为 ．
4−x
1
【例2】（2024秋•雨花区期末）若代数式 在实数内范围有意义，则x的取值范围为 ．
❑√x−1
1
【变式1】（2024秋•岳阳楼区校级期末）若❑√x+1+ 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x−3
A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3
【变式2】（2024春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（ ）
√ 1
A．❑√a B．❑√a−1 C．❑ D．❑√(a−1) 2
a+1
1
【变式3】（2024春•蚌埠月考）使代数式 −❑√3−2x有意义的整数x有（ ）
❑√x+2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式4】（2024春•永善县期中）当x为任意实数时，下列各式中无意义的是（ ）
A． B． C． D．
❑√x2 +1 ❑√−1−x2 ❑√(−x) 2 +1 √3−x
【知识点2 二次根式的基本性质】
（1）❑√a≥0；a≥0（双重非负性）.
（2） ；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
(❑√a) 2 =a
{ a (a>0)
（3）❑√a2
=|a|= 0 (a=0)
（算术平方根的意义）.
−a (a<0)
【必考点4 根据二次根式的非负性求值】
【例1】（2024秋•万州区校级月考）设x、y为实数，且y=6−❑√2x−16−❑√16−2x，则|x+y|的值是（
）
A．2 B．14 C．19 D．22
【例2】（2024秋•滕州市校级月考）已知a，b，c满足❑√8−a+❑√a−8=|c−17|+b2−30b+225，则
a+b﹣c的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】（2024秋•榆中县期中）如果 有意义，那么代数式 的值为（
❑√x−1+❑√9−x | x−1|+❑√(x−9) 2）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定
【变式2】（2024秋•顺义区校级期中）已知实数a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a﹣20252的值
为多少？
❑√x2−4+❑√4−x2
【变式3】（2024秋•榆中县期中）若y= ，求2x+y的值．
x+2
【变式4】（2024春•金乡县期末）二次根式❑√a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果❑√a≥0，
利用❑√a的双重非负性解决以下问题：
（1）已知❑√a−1+❑√3+b=0，则a+b的值为 ；
（2）若x，y为实数，且x2 =❑√y−5+❑√5−y+9，求x+y的值；
（3）若实数a满足|99−a|+❑√a−100=a，求a+99的值．
【必考点5 根据二次根式性质进行化简】
【例1】（2024秋•长沙期末）若 a﹣4，则a的取值范围是（ ）
❑√(a−4) 2 =
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
【例2】（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则 （ ）
❑√(2−a) 2−❑√(3−a) 2 =
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【 变 式 1 】 （ 2023 秋 • 鼓 楼 区 校 级 期 末 ） 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 化 简
结果为（ ）
❑√a2−8a+16+❑√(a−11) 2
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【变式 2】（2024 秋•三原县期中）已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
的结果等于（ ）
❑√(a−1) 2−√3 (a+b) 3 +(❑√b−1) 2
A．0 B．﹣2b C．2a﹣2b D．﹣2a【变式3】（2024秋•嘉定区校级月考）若化简 |1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（
❑√x2−8x+16−
）
A．为任意实数 B．1≤x≤4
C．x≥1 D．x≤4
【变式 4】（2024 秋•永春县校级月考）已知△ABC 三条边的长度分别是 ， ，
❑√x+1 ❑√(x−5) 2
4−(❑√4−x) 2
，记△ABC的周长为C△ABC ．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC （用含x的代数式表示，结果要求化简）．
【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】
【例1】（2024秋•石景山区校级期中）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将❑√a+2❑√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a2且mn=❑√b，则a+2❑√b
可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得❑√a+2❑√b化简．
例如：∵ ，
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2 +(❑√2) 2 +2❑√6=(❑√3+❑√2) 2
∴ ．
❑√5+2❑√6=❑√(❑√3+❑√2) 2 =❑√3+❑√2
请你仿照上例化简下面问题：
（1）❑√4+2❑√3；
（2）❑√7−2❑√10．
【例2】（2024秋•薛城区期中）下面我们观察：
，
(❑√2−1) 2 =(❑√2) 3 −2×1×❑√2+12 =2−2❑√2+1=3−2❑√2
反之， ，
3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2−1) 2
∵
3−2❑√2=(❑√2−1) 2
∴❑√❑√3−2❑√2=❑√2−1．
仿上例，求：（1）化简：❑√4−2❑√3；
（2）计算：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋯⋯+❑√19−2❑√90．
【变式1】（2024秋•东区校级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，即 ，
❑√m±2❑√n (❑√a) 2 +(❑√b) 2 =m
❑√a⋅❑√b=❑√n，那么便有：
．
❑√m±2❑√n= ❑√ (❑√a±❑√b) 2 =❑√a±❑√b(a＞b)
例如：化简：❑√7+4❑√3．
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m＝7，n＝12，
因为4+3＝7，4×3＝12，
即 ， ，
(❑√4) 2 +(❑√3) 2 =7 ❑√4×❑√3=❑√12
所以 ．
❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12= ❑√ (❑√4+❑√3) 2 =2+❑√3
（1）化简❑√8+2❑√15为 ．
（2）根据上述方法化简：❑√19−4❑√21．
【变式2】（2024秋•从江县校级期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非
负数都可以看作是一个数的平方，如 ，那么，我们可以利用
2=(❑√2) 2 ，3=(❑√3) 2 ，7=(❑√7) 2 ，0=02
这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3−2❑√2的算术平方根．
解： ，
3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2) 2 −2❑√2+12 =(❑√2−1) 2
所以3−2❑√2的算术平方根是❑√2−1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）❑√3+2❑√2；
（2） ．
❑√10+8❑√(3+2❑√2)
【变式3】（2024秋•衡阳县期中）阅读下面例题：化简❑√7+2❑√10解：∵ 2+5＝7，2 ；
(❑√2) 2 +(❑√5) 2 = ❑√2×❑√5=2❑√10
7+2
❑√10=2+2❑√10+5=(❑√2) 2 +2×❑√2×❑√5+(❑√5) 2 =(❑√2+❑√5) 2
∴
❑√7+2❑√10= ❑√ (❑√2+❑√5) 2 =❑√2+❑√5
由上述例题的方法化简：
（1）❑√5−2❑√6；
（2）❑√2+❑√3；
（3） ．
❑√4−❑√10+2❑√5+ ❑√4+❑√10+2❑√5
【变式4】（2024秋•东阳市期末）已知有理数 a，b满足 ，求a，b的
a+(b−2)❑√2= ❑√10−4❑√3+2❑√2
值．
