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专题 1.6 有理数的规律问题
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路点拨】
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解题过程】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
n(n+1)
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[ ]2，
2
n(n+1)
故答案为：（1+2+3+...+n）；[ ]；
2
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
20×(1+20) 15×(1+15)
＝[ ]2﹣[ ]2
2 2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
1 1 1
（2）f（ ）＝2，f（ ）＝3，f（ ）＝4…．
2 3 4
1
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（ ）等于（ ）
2022
1 1
A．2021 B．2022 C． D．
2021 2022
【思路点拨】
1
从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（ ）＝n，从而可得答案．
n
【解题过程】
解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，
1
由（2）知f（ ）＝2022，
2022
1
∴f（2022）﹣f（ ）
2022
＝4044﹣2022
＝2022，
故选：B．
2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左
跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第
2020次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
【思路点拨】
数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解题过程】
解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]
＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）
＝﹣2020，故选：C．
3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂
成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253 B．255 C．257 D．259
【思路点拨】
根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可．
【解题过程】
解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知 1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，
1+3+5+…+19＝ 10 0 ．
【思路点拨】
由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19＝102，即
从1开始10个连续的奇数相加．
【解题过程】
解：由1+3＝22，从1开始连续2个奇数相加；
1+3+5＝32，从1开始连续3个奇数相加；
1+3+5+7＝42，从1开始连续4个奇数相加；
…
所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．
故答案为：100．
5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过
观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 2 ．
【思路点拨】
由题意可得2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现可确定此题结果．
【解题过程】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现，
且2021÷4＝505…1，
∴22021的个位数是2，
故答案为：2．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规
律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 ．
【思路点拨】
根据3n的尾数特征判断．
【解题过程】
解：通过已知等式得：30，31，32，33个位数字之和为0；34，35，36，37个位数字之和为0，
∴30+31+32+…+32022＝（30+31+32+33）+（34+35+36+37）+...+（32016+32017+2018+32019）+32020+32021+32022，
其中每个括号里四个数的个位数字之和是0，且3n的个位数按1，3，9，7循环出现．
∴的个位数即是30+31+32的个位数，
∵1+3+9＝13，
故答案为：3．
2 2
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1） ＝1+ ，f（2） ＝1+ ，f（3）
1 2
2 2
＝1+ ，f（4） ＝1+ ，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021） ＝ 202 3 ．
3 4
【思路点拨】
2
根据题目中的新运算，可以得到f（n） ＝1+ ，然后即可计算出2021f（2021） 的值，本题得以解决．
n
【解题过程】
2 2 2 2
解：∵f（1） ＝1+ ，f（2） ＝1+ ，f（3） ＝1+ ，f（4） ＝1+ ，…．
1 2 3 4
2
∴f（n） ＝1+ ，
n
∴2021f（2021）
2
＝2021×（1+ ）
2021
＝2021+2＝2023，
故答案为：2023．
8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 90 ；数﹣201是第 15 行从左边数第 5
个数．
【思路点拨】
先从排列中总结规律，再利用规律代入求解．
【解题过程】
解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；
如第四行最末的数字是42＝16，第9行最后的数字是﹣81，
∴第10行从左边数第9个数是81+9＝90，
∵﹣201＝﹣（142+5），
∴是第15行从左边数第5个数．
故应填：90；15；5．
9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
1
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ （ 3 10 1 ﹣ 1 ） ．
2
【思路点拨】
根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
1 1
整理得：30+31+32+…+3100= （3101﹣30）= （3101﹣1）．
2 2
1
故答案为： （3101﹣1）．
2
10．找规律，完成下列各题：
1 1 1 3
（1）如图①，把正方形看作1， + =1− = ．
2 4 4 4
1 1 1 1 7
（2）如图②，把正方形看作1， + + =1− = ．
2 4 8 8 8
1 1 1 1 1 15
（3）如图③，把正方形看作1， + + + =1− ＝ ．
2 4 8 16 16 16
1 1 1 1 1 31
（4）计算： + + + + = ．
2 4 8 16 32 32
1 1 1 1 1 1 1 1 1 511
（5）计算： + + + + + + + + = ．
2 4 8 16 32 64 128 256 512 512
【思路点拨】
根据题意结合图形即可得出结果．
【解题过程】
1 1 1 3
解：（1）如图①，把正方形看作1， + =1− = ．
2 4 4 4
1 1 1 1 7
（2）如图②，把正方形看作1， + + =1− = ．
2 4 8 8 8
1 1 1 1 1 15
（3）如图③，把正方形看作1， + + + =1− = ．
2 4 8 16 16 161 1 1 1 1 1 31
（4）计算： + + + + =1− = ．
2 4 8 16 32 32 32
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 511
（5）计算： + + + + + + + + =1− = ．
2 4 8 16 32 64 128 256 512 512 512
3 7 1 15 31 511
故答案为： ； ； ， ； ； ．
4 8 16 16 32 512
2 2
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+ ，f（2）＝1+
1 2
2 2
，f（3）＝1+ ，f（4）＝1+ ⋯
3 4
2
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝ 1+ ；（n为正整数）
n
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．
【思路点拨】
（1）根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可．
（2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值是多少即可．
【解题过程】
2 2 2 2
解：（1）∵f（1）＝1+ ，f（2）＝1+ ，f（3）＝1+ ，f（4）＝1+ ⋯
1 2 3 4
2
∴f（n）＝1+ ．
n
（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）
2 2 2 2 2
＝（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）
1 2 3 4 100
3 4 5 6 102
= × × × ×⋯×
1 2 3 4 100
101×102
=
1×2
＝5151
故答案为：5151．
12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝
6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①|7﹣21|＝ 21﹣ 7 ；1 1
②|− +0.8|＝ 0. 8− ；
2 2
7 7 7 7
③| − |＝ − ；
17 18 17 18
1 150 150 1 1
（2）用合理的方法计算：| − |+| − |﹣|− |；
5 557 557 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）用简单的方法计算：| − |+| − |+| − |+…+| − |．
3 2 4 3 5 4 2021 2020
【思路点拨】
（1）①②③根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）先判断正负，再化简，最后计算即可；
（3）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．
【解题过程】
1 1 7 7 7 7
解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|− +0.8|＝0.8− ；③| − |= − ；
2 2 17 18 17 18
1 7 7
故答案为：①21﹣7；②0.8− ；③ − ；
2 17 18
1 150 150 1 1
（2）∵ ＜ ， ＜ ，− ＜0，
5 557 557 2 2
150 1 1 150 1
原式= − + − −
557 5 2 557 2
1
=− ．
5
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）原式= − + − + − +⋯+ −
2 3 3 4 4 5 2020 2021
1 1
= −
2 2021
2019
= ．
4042
13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路点拨】
（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解题过程】
解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
3101−1
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S= ，
2
3101−1
则原式= ；
2
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
3101+1
②+①得：4S＝3101+1，即S= ，
4
3101+1
则原式= ．
4
1 1 1 1
14．计算： = ． ， = ．． ， = ． ． ， = ． ． ．
0.1 0.01 0.001 0.0001
9 99 999 9999
1 ． ．
你发现什么规律了吗？ =0.00⋯0 1
99⋯9
︸(n−1)个0
¿
1
把下列的小数化为分数：0.111...＝ ，
9
1 2
0.222...＝0.1111...× 2 ＝ × 2 ＝ ，
9 9
1 26
0.262626...＝0.010101...× 2 6 ＝ × 2 6 ＝ ．
99 99
你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：
1259 12091
0.125912591529...＝ ，0.326457326457...＝ ．
9999 37137
不要忘记，能约分的要约分哟！【思路点拨】
先根据简单的式子找出一般规律，分母每增加一个9，循环节就增加一个0，从而列出一般规律的式子．再
根据这个规律完成纯循环小数化分数．
【解题过程】
1 ． 1 ．． 1 ． ． 1 ． ．
解： =0.1， =0.01， =0.001， =0.0001，
9 99 999 9999
1 ． ．
∴我们发现 =0.00⋯0 1 ．
99⋯9
︸(n−1)个0
¿
1
0.111⋯= ，
9
1 2
0.222⋯＝0.111⋯×2= ×2= ．
9 9
1 26
0.262626⋯＝0.010101⋯×26= ×26= ，
99 99
1 1259
0.125912591259⋯＝0.000100010001⋯×1259= ×1259= ，
9999 9999
1 12091
0.326457326457⋯＝0.000001000001⋯×326457= ×326457= ．
999999 37137
1 ． ．
故答案为： ．， ．．， ． ．， ． ．， =0.00⋯0 1 ；
0.1 0.01 0.001 0.0001 99⋯9
︸(n−1)个0
¿
1 1 2
，2， ，2， ；
9 9 9
1 26
26， ，26， ；
99 99
1259 12091
， ．
9999 37137
15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣
2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．5 1
（1）仿照上面材料的计算方法计算：( ) 4×(−1 ) 4．
6 5
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝ （ a b ） n （用字母表示）；
5 3
（3）用（2）的规律计算：−0.42018×(−
)
2019×(
)
2020．
3 2
【思路点拨】
（1）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算，使得计算简便；
（2）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算写出结果；
（3）利用（2）中的公式进行计算，使得计算简便．
【解题过程】
5 1
解：（1）( ) 4×(−1 ) 4
6 5
5 5 5 5 6 6 6 6
= × × × ×(− )×(− )×(− )×(− )
6 6 6 6 5 5 5 5
5 6 5 6 5 6 5 6
=[ ×(− )]×[ ×(− )]×[ ×(− )]×[ ×(− )]
6 5 6 5 6 5 6 5
5 6
=[ ×(− )] 4
6 5
＝（﹣1）4
＝1；
（2）根据题意可得：an⋅bn＝（ab）n．
故答案为：（ab）n；
5 3
（3）−0.42018×(−
)
2019×(
)
2020
3 2
2 5 5 3 3
=−( ) 2018×(− ) 2018×(− )×( ) 2018×( ) 2
5 3 3 2 2
2 5 3 5 9
=−[ ×(− )× ] 2018×(− )×
5 3 2 3 4
5 9
=−(−1) 2018×[(− )× ]
3 4
15
=(−1)×(− )
4
15
= ．
4
16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① − = × ；② − = × ；③ − = ×
2 3 2 3 4 5 4 5 6 7 6 7
1 1 1 1
（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： − = × ；
7 8 7 8
1 1 1 1 1 1
（2）通过观察，计算 + + + + + 的值．
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
1 1 1 1 1 1
（3）探究上述的运算规律，试计算 + + + + +⋯+ 的值．
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 97×99
【思路点拨】
（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即
可；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）根据上述规律得原式＝1− + − + − + − + − + − ，计算即可得出答案；
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1
（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以 ，则可以用裂项法进行计算．
2
【解题过程】
1 1 1 1
解：（1） − = × ；
7 8 7 8
1 1 1 1
故答案为： − = × ；
7 8 7 8
1 1 1 1 1 1
（2） + + + + +
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − + − + − + −
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1
＝1−
7
6
= ；
7
1 1 1 1 1 1
（3） + + + + +⋯+ 的值．
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 97×99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= （1− + − + − + − + − +⋯+ − ）
2 3 3 5 5 7 7 9 9 11 97 99
1 1
= （1− ）
2 991 98
= ×
2 99
49
= ．
99
1 1 2+3 5 1 1 3+4 7 1 1 4+5 9
17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题 + = = ； + = = ； + = = ．
2 3 2×3 6 3 4 3×4 12 4 5 4×5 20
15 1 1
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式： = + ；
56 7 8
21 1 1
= + ．
110 10 11
3 5 7 9 11 13
（2）利用以上所得的规律进行计算： − + − + − ．
2 6 12 20 30 42
4 6 8 10
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算： − + − ．
15 35 63 99
【思路点拨】
（1）利用题干中的规律即可得出结论；
5 1 1 7 1 1 9 1 1 11 1 1 13
（2）将 写成 + 的形式， 写成 + 的形式， 写成 + 的形式， 写成 + 的形式， 写成
6 3 2 12 3 4 20 4 5 30 5 6 42
1 1
+ 的形式后再进行运算即可得出结论；
6 7
（3）将所求式子的分子扩大2倍后即可按照（2）的方法计算，最后将结果除以2即可．
【解题过程】
1 1 7+8 15
解：（1）∵ + = = ，
8 7 7×8 56
15 1 1
∴ = + ．
56 7 8
1 1 10+11 21
∵ + = = ，
10 11 10×11 110
21 1 1
∴ = + ．
110 10 11
1 1 1 1
故答案为： ； ； ； ；
7 8 10 11
5 1 1 7 1 1 9 1 1 11 1 1 13 1 1
（2）∵ = + ， = + ， = + ， = + ， = + ，
6 3 2 12 3 4 20 4 5 30 5 6 42 6 73 5 7 9 11 13
∴原式= − + − + −
2 6 12 20 30 42
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= −（ + ）+（ + ）﹣（ + ）+（ + ）﹣（ + ）
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − − + + − − + + − −
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
3 1 1
= − −
2 2 7
1
＝1−
7
6
= ；
7
4 6 8 10
（3）原式= − + −
15 35 63 99
1 8 12 16 20
= ×（ − + − ）
2 15 35 63 99
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×[（ + ）﹣（ + ）+（ + ）﹣（ + ）]
2 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（ + − − + + − − ）
2 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1 1
= ×（ − ）
2 3 11
1 8
= ×
2 33
4
= ．
33
1 1 1 1 1 1 1 1
18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现： =1− ； = − ； = − ⋯
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
根据你发现的规律，回答下列问题：
1 1 1 1 1 1
（1） = − ， = − ；
4×5 4 5 n(n+1) n n+1
1 1 1 1
（2）利用你发现的规律计算： + + +⋯+ ；
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 5 1 19 1 41 1 71 1
（3）计算：1 −2 +3 −4 +5 −6 +7 −8 +9 ．
2 6 12 20 30 42 56 72 90
【思路点拨】（1）观察已知等式，写出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，计算即可；
（3）将每个带分数改写为整数加上分子是1的真分数的和，再根据得出的规律化简，计算求出解即可．
【解题过程】
1 1 1 1 1 1
解：（1） = − ， = − ；
4×5 4 5 n(n+1) n n+1
1 1 1 1
故答案为： − ， − ；
4 5 n n+1
1 1 1 1 1 1 1
（2）原式＝1− + − + − +•••+ −
2 2 3 3 4 n n+1
1
＝1−
n+1
n
= ；
n+1
1 5 1 19 1 41 1 71 1
（3）原式=1 −2 +3 −4 +5 −6 +7 −8 +9 ．
2 6 12 20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1+ −3+ +3+ −5+ +5+ −7+ +7+ −9+ +9+
2 6 12 20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1+（ + + + + + + + + ）
2 6 12 20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1 1
＝1+1− + − + − +•••+ −
2 2 3 3 4 9 10
1
＝1+1−
10
9
＝1 ．
10
