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专题10 平面直角坐标系中坐标、线段长度与图形面积与的计算（解析
版）
类型一 已知坐标求线段的长度
1．（2022春•乐陵市期末）已知点A（﹣3，2），B（3，2），则A，B两点相距（ ）
A．3个单位长度 B．5个单位长度
C．4个单位长度 D．6个单位长度
思路引领：A、B两点纵坐标相等，在平行于x轴的直线上，比较横坐标即可．
解：∵点A（﹣3，2），B（3，2）的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．
故选：D．
总结提升：本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点及两点间的距离公式．熟记平行于坐标轴的
直线上点的坐标特点是解题的关键．
类型二 已知线段的长度求点的坐标（注意两解）
2．（2020春•环江县期末）在x轴上，且到原点的距离为2的点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0）
C．（2，0）或（﹣2，0） D．（0，2）
思路引领：找到纵坐标为0，且横坐标为2的绝对值的坐标即可．
解：∵点在x轴上，
∴点的纵坐标为0，
∵点到原点的距离为2，
∴点的横坐标为±2，
∴所求的坐标是（2，0）或（﹣2，0），故选C．
总结提升：本题涉及到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；绝对值等于正数的数有2个．
3．（2021春•依安县期末）已知点M（3，﹣2），它与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且
MN＝4，那么点N的坐标是（ ）
A．（7，﹣2）或（﹣1，﹣2） B．（3，2）或（3，﹣6）
C．（7，2）或（﹣1，﹣6） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
思路引领：根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点N的纵坐标，再分点N在点M的左边与右边两种情况讨论．
解：∵点M（3，﹣2），MN∥x轴，
∴点N的纵坐标y＝﹣2，
点N在点M的左边时，点N的横坐标为3﹣4＝﹣1，
点N在点M的右边时，点N的横坐标为3+4＝7，
所以，点N的坐标为（7，﹣2）或（﹣1，﹣2）．
故选：A．
总结提升：本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，难点在于
要分情况讨论．
类型三 已知坐标求图形面积
方法1 边在坐标轴上或平行于坐标轴课直接求图形的面积
4．（2019春•中山市期中）如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（2，4），D（0，2）
（1）求三角形ABC的面积；
1
（2）设P为坐标轴上一点，若S△APC = S△ABC ，求P点的坐标．
2
思路引领：（1）先计算出AB＝6，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积；
1
（2）分两种情况：当P在x轴上时，设P点坐标为（m，0），则AC＝|m+2|，再根据S△APC = S△ABC 得
2
到关于m的方程，解方程求出m，当P在y轴上时，设P点坐标为（0，n），则PD＝|n﹣2|，再根据
1
S△APC = S△ABC 得到关于n的方程，解方程求出n，即可得到P点坐标．
2
解：（1）∵A（﹣2，0），B（4，0），C（2，4），
∴AB＝2+4＝6，
1
∴S△ABC = ×（4+2）×4＝12；
2
（2）当P在x轴上时，设P点坐标为（m，0），1 1
|m+2|×4= ×12，
2 2
解得m ＝1，m ＝﹣5，
1 2
当P在y轴上时，设P点坐标为（0，n），
∵D（0，2），
∴PD＝|n﹣2|，
1 1
∴ |n﹣2|×（2+2）= ×12，
2 2
解得n ＝﹣1，n ＝5
1 2
所以P点坐标为（﹣5，0）或（1，0）或（0，﹣1）或（0，5）．
1
总结提升：本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△ = ×底×高．
2
5．（2020春•安丘市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，1）B（1，1），C
（4，5），D（6，﹣3），E（﹣2，5）．
（1）在坐标系中描出各点，并画出△AEC，△BCD．
（2）求出△BCD的面积．
思路引领：（1）根据各点坐标描出点的位置，依次连接即可；
（2）根据割补法，利用三角形面积公式计算可得．
解：（1）如图所示：1 1
（2）S△BCD = ×4×4+ ×4×4＝16．
2 2
总结提升：本题主要考查作图﹣复杂作图，坐标与图形的性质，主要是在平面直角坐标系中确定点的位
置的方法和三角形的面积的求解．
方法2 利用补形法求图形面积
6．（2022春•晋州市期中）如图所示，在正方形网格中，已知点A（2，3），B（4，1）．
（1）请你画出平面直角坐标系，使之满足上述要求；
（2）写出以下两个点的坐标：C（ ， ）；E（ ， ）；
（3）在坐标系中，描出点D（﹣4，1），F（0，2）；
（4）在坐标系中，顺次连接以下各点：A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A，得到一个封闭图形，直接写出这个封
闭图形的面积和线段AB的长度．
思路引领：（1）根据点A和点B的坐标，可以确定原点的位置，画出相应的坐标系；
（2）根据（1）中的坐标系，可以写出点C和E的坐标；
（3）在（1）中的坐标系中描出点D和F即可；
（4）根据割补法，可以求出封闭图形的面积，根据勾股定理可以求得AB的长．解：（1）平面直角坐标系如右图所示；
（2）由图可得，
点C的坐标为（0，﹣4），点E的坐标为（﹣2，3），
故答案为：0，﹣4；﹣2，3；
（3）如右图所示；
（4）由图可得，
S封闭图形 ＝S矩形GHIJ ﹣S△EGD ﹣S△DHC ﹣S△CIB ﹣S△BJA ﹣S△AEF
2×2 4×5 4×5 2×2 4×1
＝7×8− − − − −
2 2 2 2 2
＝56﹣2﹣10﹣10﹣2﹣2
＝30，
AB 2 ．
=√22+22= √2
总结提升：本题考查勾股定理、坐标与图形的性质，解答本题的关键是画出相应的平面直角坐标系．
方法3 利用分割法求图形面积
7．（2021春•围场县期末）四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（6，3），D
（2，5）．
（1）如图，在平面直角坐标系中画出该四边形；
（2）四边形ABCD内（边界点除外）一共有 个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；
（3）求四边形ABCD的面积．思路引领：（1）根据点的坐标描出四个点，顺次连接可得；
（2）根据整点的概念可得；
（3）割补法求解即可．
解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；
（2）由图可知，四边形ABCD内（边界点除外）的整点有11个，
故答案为：11；
1 1 1
（3）四边形ABCD的面积为4×6− ×2×4− ×2×4− ×1×2＝15．
2 2 2
总结提升：本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是理解有序实数对与平面内的点一一对应及割
补法求面积．
8．（2012春•玉州区期末）在如图所示的平面直角坐标系中描出A（2，3），B（﹣3，﹣2），C（4，1）
三点，并用线段将A、B、C三点依次连接起来，并求出它的面积．思路引领：根据题意画出△ABC，进而利用△ABC所在矩形面积，减去周围三角形面积进而求出面积．
1 1 1
解：如图所示：S△ABC ＝5×7− ×2×2− ×5×5− ×3×7＝10．
2 2 2
总结提升：此题主要考查了坐标与图形的性质以及三角形的面积，正确画出三角形是解题关键．
10．（2022春•罗平县期末）方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系
中，已知点A（1，0）、B（4，0）、C（3，3）、D（1，4）．
（1）描出A、B、C、D四点的位置，并顺次连接ABCD．
（2）四边形ABCD的面积是 ．
（3）把四边形ABCD向左平移5个单位，再向上平移1个单位得到四边形A′B′C′D′，在图在画出
四边形A′B′C′D′，并写出点A′、B′、C′、D′的坐标．思路引领：（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据四边形的面积等于一个直角三角形的面积加上一个梯形的面积列式计算即可得解；
（3）根据网格结构找出点A、B、C、D平移后的对应点A′、B′、C′、D′的位置，然后顺次连接
即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标．
解：（1）四边形ABCD如图所示；
1 1
（2）四边形ABCD的面积= ×1×2+ ×（2+3）×3，
2 2
15
＝1+ ，
2
17
= ；
2
17
故答案为： ．
2
（3）四边形A′B′C′D′如图所示；
A′（﹣4，1），B′（﹣1，1），C′（﹣2，4），D′（﹣4，5）．
总结提升：本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是
解题的关键．
11．（2021春•舒兰市期末）如图，已知四边形ABCD（网格中每个小正方形的边长均为1）．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．思路引领：（1）根据图形得出坐标即可；
（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，分别求出△ABE、△DFC、梯形AEFD的面积，再相加即可．
解：（1）由图象可知 A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）；
（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
1 1 1
则S四边形ABCD ＝S△ABE +S△DFC +S梯形AEFD = ×1×3+ ×2×4+ ×（3+4）×3＝16．
2 2 2
总结提升：本题考查了图形与坐标和三角形的面积，能求出各个线段的长是解此题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD各顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（2，3），C（2，
11
0），D（﹣4，﹣2），且AD与x轴交点E的坐标为（− ，0），求这个四边形的面积．
3思路引领：根据三角形面积公式，利用四边形 ABCD的面积＝三角形ACE的面积+三角形DCE的面积
+三角形ABC的面积进行计算．
解：连接AC，如图，
∵B（2，3），C（2，0），
∴BC⊥x轴，
∴四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积+三角形DCE的面积+三角形ABC的面积
1 11 1 11 1
= ×（2+ ）×4+ ×（2+ ）×2+ ×3×（2+3）
2 3 2 3 2
49
= ．
2
1
总结提升：本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S△ = ×底×高．
2
也考查了坐标与图形性质．
类型四 已知图形面积求点的坐标（注意分类讨论）
13．（2022春•阿荣旗期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P
（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，点P的对应点为
P'（a﹣2，b﹣4）．（1）请画出三角形DEF，并写出三角形DEF的三个顶点坐标；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）x轴上是否存在点Q，使得三角形ABQ的面积是4？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
思路引领：（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）设Q（m，0），构建方程求解即可．
解：（1）如图，△DEF即为所求，D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）；
1 1 1
（2）S△ABC ＝3×5− ×2×4− ×1×5− ×1×3＝7；
2 2 2
（3）存在．
1
理由：设Q（m，0），则有 ×|m﹣2|×2＝4，
2
∴m＝6或﹣2，∴Q（6，0）或（﹣2，0）．
总结提升：本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会
用割补法求三角形面积．
14．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（﹣2，2），若点D在y轴上，且点A、B、C、D四点所组的四边
形的面积为15，求点D的坐标．
思路引领：设点D到x轴的距离为h，分①点D在y轴坐标轴时，过点C作CE⊥x轴，然后根据四边形
ABDC的面积等于两个直角三角形的面积加上一个梯形的面积列出方程求出 h；②点D在y轴负半轴上
时，根据S四边形ACBD ＝S△ABC +S△ABD 列出方程求解即可．
解：设点D到x轴的距离为h，
∵A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
①如图1，点D在y轴坐标轴时，过点C作CE⊥x轴，
1 1 1
S四边形ABDC = ×[﹣2﹣（﹣3）]×2+ ×（2+h）×2+ ×3h＝15，
2 2 2
24
解得h= ，
5
24
此时点D的坐标为（0， ）；
5
②如图2，点D在y轴负半轴上时，
1 1
S四边形ACBD ＝S△ABC +S△ABD = ×6×2+ ×6h＝15，
2 2
解得h＝3，
此时，点D的坐标为（0，﹣3），
24
综上所述，点D的坐标为（0， ）或（0，﹣3）．
5总结提升：本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
15．已知A（﹣2，0），B（4，0），C的坐标为（x，y），且S△ABC ＝12，|x|＝3，求C点的坐标．
思路引领：根据点A、B的坐标求出AB，再利用三角形的面积求出|y|，然后根据绝对值的性质求出x、
y，再写出点C的坐标即可．
解：∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∵S△ABC ＝12，
1
∴ ×6•|y|＝12，
2
解得|y|＝4，
∴y＝±4，
∵|x|＝3，
∴x＝±3，
所以，C点的坐标为（3，4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）或（﹣3，﹣4）．
总结提升：本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解决本题的关键是根据所给条件得到三角形相
应的底边和高的长度．
