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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题2.4勾股定理与实际问题十大类型大题专练（分层培优30题）
类型一、勾股定理与梯子问题
1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底
端离墙(BO)6米
(1)此时梯子顶端A离地面多少米?
(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?
【答案】(1)8米；
(2)(5√3−6)米．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑3米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股
定理即可得出答案．
【详解】（1）解：∵AB=10米，BO=6米，
梯子距离地面的高度AO=√AB2−BO2=8米，答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）解：∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度CO=8−3=5米，
∴BD+BO=DO=√CD2−CO2=√102−52=5√3米，
∴DB=DO−OB=(5√3−6)米，即下端滑行了(5√3−6)米．
答：梯子底端将向左滑动了(5√3−6)米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
2．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左
墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，
将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、
B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【答案】(1)墙高3米
(2)竹竿的长2.5米
【分析】（1）设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方 ，联立即
可得到答案；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：设墙高x米，
∵AC⊥CF，DF⊥CF，
∴∠BCO=∠EFO=90° ，
在Rt ΔBCO，Rt ΔEFO根据勾股定理可得，BO2=(x−0.6) 2+0.72 ，OE2=(x−1) 2+1.52，
∵BO=OE ，
∴(x−1) 2+1.52=(x−0.6) 2+0.72，
解得：x=3 ，
答：墙高3米；
（2）由（1得），
BO2=(x−0.6) 2+0.72 ，x=3 ，
∴BO=√(3−0.6) 2+0.72=2.5
答：竹竿的长2.5米．
【点睛】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．
3．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙
7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
【答案】(1)24米
(2)不是4米，是8米，见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）先求出A′C的长度，再利用勾股定理求出B′C的长度即可得到BB′．
【详解】（1）解：由题意得：AB=25米，BC=7米，
∴AC=√252−72=24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）梯子底部不是水平方向滑动了4米，
由题意得：A A′=4米，
∴A′C=24−4=20米，
∴B′C=√252−202=15（米），
则：BB′=15−7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题
的关键．
类型二、勾股定理与旗杆高度问题
4．（2022秋·山东济南·七年级校考期中）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，
摆锤离底座的垂直高度DE=4cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆
锤离底座的垂直高度BF=6cm，求钟摆AD的长度．
【答案】15cm
【分析】根据勾股定理可知AB2=AC2+BC2列方程即可请求解.
【详解】解：设AB=xcm，依题意得：BC=8cm，CD=CE−DE=6−4=2(cm)，
AC=AD−CD=(x−2)(cm)，
∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，即(x−2) 2+82=x2，
解得：x=15
答：钟摆AD的长15cm
【点睛】本题考查了利勾股定理解决实际问题，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．
5．（2022秋·山东济宁·七年级校考期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，
然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的
部分忽略不计）．
【答案】17m
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x米，可得AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)，而BC=8m，
在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．
【详解】解：如图，设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)，而BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即(x−2) 2+82=x2，
解得：x=17(m)，
即旗杆的高度为17m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就
是作垂线．
6．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激
光测温仪，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体
体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离AD．
【答案】1米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，ED=BC=0.8米，
∴AE=AB−BE=2.4−1.8=0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD=√AE2+DE2=1.0（米），
故此时人头顶离测温仪的距离AD为1米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段AD的长度．
类型三、勾股定理与大树折断问题
7．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，
树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？
【答案】24
【分析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．
【详解】解：根据题意：大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，且折断部分是斜边，
∴折断部分的长度为：√92+122=15（米），
∴大树在折断之前高为：9+15=24（米），
答：大树在折断之前高24米
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是熟练掌握勾股定理．
8．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折
断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=4m．
(1)求旗杆折断处C点距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的
旗杆从点D处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B′处，形成一个直角△ADB′，请求出AB′的长．
【答案】(1)AC=3米
(2)AB′=6米
【分析】（1）由题意可知AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，所
以可求得AC的长，
（3）先求出D点距地3−1.25=1.75米，B′D=8−1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB′=6米．
【详解】（1）解：由题意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴42+AC2=(8−AC) 2，
∴AC=3米；
（2）解：∵D点距地面AD=3−1.25=1.75米，∴B′D=8−1.75=6.25米，
∴AB′=√B′D2−AD2=6米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际
问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图
9．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶
部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（AC）；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次
大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】(1)旗杆距地面3m处折断
(2)距离旗杆底部周围4√2m的范围内有被砸伤的风险
【分析】（1）设AC长为xm，则BC长(8−x)m，再利用勾股定理建立方程即可；
（2）先画好图形，再求解AD，B′D，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：由题意，知AC+BC=8m．
因为∠A=90°，
设AC长为xm，则BC长(8−x)m，
则42+x2=(8−x) 2，
解得x=3．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）如图．因为点D距地面AD=3−1=2(m)，
所以B′D=8−2=6(m)，
所以AB′=√B′D2−AD2=√62−22=4√2(m)，
所以距离旗杆底部周围4√2m的范围内有被砸伤的风险．
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．
类型四、勾股定理与筷子问题
10．（2021春·云南红河·八年级校考期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形
水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为ℎ cm，求h的取值范围
【答案】7≤ℎ≤16
【分析】如图（见解析），先分别找出筷子露在杯子外面的长度ℎ最小与最大时，筷子的位置，再根据线
段和差、勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，当筷子按图1放置时，ℎ取得最大值，最大值为24−8=16(cm)，
当筷子按图2放置时，其中AC恰好为底面直径，AC⊥BC，ℎ取得最小值，最小值为
24−AB=24−√152+82=7(cm)，
则ℎ的取值范围是7≤ℎ≤16．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确求出ℎ最小与最大值，是解题关键．
11．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：
“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有
一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水
池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？
【答案】12尺
【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
【详解】解：设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，
根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12，
∴水深为12尺，
故答案是： 12尺．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
12．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小
木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【答案】26cm
【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定
理列方程求解．
【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．
类型五、勾股定理与航海问题
13．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围
12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N
处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
(1)求M点与小岛P的距离；
(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
【答案】(1)16√3海里
(2)不会有触礁危险，理由见解析【分析】（1）过点P作PA⊥MN，交MN的延长线于点A，利用30°所对的直角边是斜边的一半，以及
勾股定理，进行求解即可；
（2）求出PA的长，与12海里比较大小，即可进行判断．
【详解】（1）解：过点P作PA⊥MN，交MN的延长线于点A，
由题意，得：∠PMA=90°−60°=30°，∠PNA=90°−30°=60°，
∴∠APN=90°−∠PNA=30°，
设：AN=x，
则：PN=2x,AP=√PN2−AN2=√3x，AM=MN+AN=16+x，
∵∠PMA=30°，
∴PM=2AP=2√3x，
在Rt△MAP中，PM2=AM2+AP2，
即：(2√3x) 2=(√3x) 2+(x+16) 2，
解得：x =8,x =−4（不合题意，舍去）；
1 2
∴PM=8×2√3=16√3；
∴M点与小岛P的距离：16√3海里；
（2）不会有触礁危险，理由如下：
由（1）知：AP=√3x=8√3，
∵(8√3)
2=192>144=122，
∴8√3>12，
∴渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解，是解题的关键．
14．（2022秋·江苏·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏
离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问
此时游船移动的距离AD的长是多少？
【答案】此时游船移动的距离AD的长是9m
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB=15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD=6，再根据
AD=AB−BD的出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=8m，AC=17m，
∴AB=√AC2−BC2=√172−82=15m，
∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，
∴CD=17−0.35×20=10m，
∴BD=√CD2−BC2=√102−82=6m，
∴AD=AB−BD=9m．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一
数学模型是解题关键．
15．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60°
的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到达C港口．(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
【答案】(1)100√2km
(2)C港口在A港口的北偏东15°的方向上
【分析】（1）由题意得∠ABC=90°，由勾股定理，从而得出AC的长；
（2）由（1）可得∠BAC=45°，求出∠MAC即可．
【详解】（1）∵∠MAB=60°，
∴∠BAN=30°．
∵AN∥QB，
∴∠QBA=∠BAN=30°．
∵∠PBC=30°，
∴∠CBQ=60°．
∴∠ABC=∠QBA+∠CBQ=90°．
根据勾股定理，知AC=√AB2+BC2=√1002+1002=100√2(km)．
答：A、C两港之间的距离是100√2km；
（2）由（1）知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°
∴∠MAC=90°−∠BAC−∠BAN=90°−45°−30°=15°,
∴C港口在A港口的北偏东15°的方向上
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到∠ABC=90°．
类型六、勾股定理与宽度问题
16．（2022春·安徽·八年级校联考期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另
一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多
远正好使A、C、E三点在一直线上（√3≈1．732，结果精确到1米）？【答案】另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上
【分析】由∠ABD＝120°可求出∠EBD=60°，可证∠AED＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质，可
1
得BE＝ BD，从而求得BE的长度，在Rt BDE中，根据姑姑定力，即可求得答案．
2
△
【详解】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠EBD=60°
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
在Rt BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，
△1
∴BE＝ BD＝200m，
2
∴DE＝√BD2−BE2＝200√3≈346（m），
答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．（2020秋·四川成都·八年级统考期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个
取水点A,B，其中AB=AC，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在
河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，已知CB=√5千米，CH=2
千米，HB=1千米．
（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？1
【答案】（1）是，证明见解析；（2） 千米．
2
【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证 CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离
垂线段最短即可解答； △
(2)在 ACH中根据勾股定理解答即可．
【详解△】（1）∵在△CHB中，CH=2,BH=1,BC=√5，
又22+12=(√5) 2 ，
∴△CHB是以∠BHC为直角的直角三角形，
∴CH⊥AB，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴CH是村庄C到河边的最近路．
（2）设AC=AB=x，
∵BH=1千米，
∴AH=AB−BH=(x−1)千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH2+AH2=AC2，
∴22+(x−1) 2=x2，
5
解得x= ，
2
5
∴AC=AB= 千米，
2
5 1
∴CH比CA少 −2= 千米．
2 2
【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
18．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）去年某省将地处A，B两地的两所大学
合并成了一所综合性大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A，B两地之间修
筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60度方向、B地的西偏北45度方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据√3≈1.732）
【答案】计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由见解析
【分析】先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为√3xkm，则有x+√3x=2，求出x的
值，再与0.7比较大小，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
由题意可得∠CAB=30°，∠CBA=45°，
在Rt△CDB中，∠BCD=45°，
∴∠CBA=∠BCD，
∴BD=CD．
在Rt△ACD中，∠CAB=30°，
∴AC=2CD．设CD=DB=x，
∴AC=2x．
由勾股定理得AD=√AC2−CD2=√(2x) 2−x2=√3x．
∵AD+DB=2.732，
∴√3x+x=2.732，
∴x≈1．
即CD≈1＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角和含30度角的直角三角形的
性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．
类型七、勾股定理与超速问题19．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速
度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路BC上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A
正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（BC⊥AC），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为
100米，请问这辆小汽车是否超速？
【答案】小汽车已超速行驶．
【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【详解】解：根据题意，得AC=60米，AB=100米，∠C=90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC=√AB2−AC2=80(米)，
80米=0.08千米，
1 1
4秒=4× = 小时，
3600 900
1
0.08÷ =72>70，
900
所以小汽车已超速行驶．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
20．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同
学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一
辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，
∠BPO=45°，(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（√3≈1.732）
【答案】(1)AP的长为200m
(2)此车超过了80km/h的限制速度
【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理可得AO=100√3m，再由等腰直角三角形的判定可得BO=OP=100m，可求出AB，即
可求解．
【详解】（1）解：在RtΔAPO中，∠APO=60°,OP=100m，
∴∠PAO=30°，
∴AP=2OP=200m；
（2）解：在RtΔAPO中，OP=100m,AP=200m，
∴AO=√AP2 −OP2=√2002 −1002=100√3m，
在RtΔBOP中，∠BPO=45° ，
∴∠BPO=∠OBP=45°，
∴BO=OP=100m，
∴V =(100√3−100)÷3≈24.4m/s=87.84km/h>80km/h，
小车
∴此车超过80km/h的限制速度．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股
定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
21．（2022春·福建福州·八年级福建省福州第八中学校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规
定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上
直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，
行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车没有超速
【分析】利用勾股定理先求得小汽车形式的路程BC，再利用路程、速度、时间之间的而关系求得小汽车实际形式的速度，与限速比较即可．
【详解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m；
据勾股定理可得：BC＝√AB2−AC2＝√502−402＝30（m）
30
小汽车的速度为v＝ ＝15（m/s），
2
∵15m/s＜19.4m/s；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速了
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，把实际问题转化为数学模型是解题的关键．
类型八、勾股定理与台风影响问题
22．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）如图，小明家位于笔直的公路MN一侧的点A处，且到公路MN的
距离AB为600m，现有一广播车在公路MN上以250m/min的速度沿MN方向行驶，已知广播车周围
1000m以内都能听到广播宣传，则小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出小明家共能听到多长时间的
广播宣传？若不能，请说明理由．
【答案】小明家能听到广播宣传，小明家共能听到广播宣传的时间为6.4min．
【分析】根据垂线段最短可得小明家能听到广播宣传．假设当广播车行驶到点P时，小明家开始听到广播，
当广播车行驶到点Q时，小明家不再听到广播，则AP=AQ=1000m,AB=600m，再由勾股定理可得
BP=800m，然后根据等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：小明家能听到广播宣传．
∵小明家到公路MN的距离AB为600m，600<1000，
∴小明家能听到广播宣传．
如图，假设当广播车行驶到点P时，小明家开始听到广播，当广播车行驶到点Q时，小明家不再听到广播，
则AP=AQ=1000m,AB=600m，∴在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP=√AP2−AB2=800m，
∵AB⊥PQ,AP=AQ，
∴PQ=2BP=1600m．
∴小明家共能听到广播宣传的时间为1600÷250=6.4min．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的
关键．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米
的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台
风中心，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向移动，若在距离台风中心130km范围内都
要受到影响．（结果精确到0.01）（√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236）
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】(1)该城市会受到这次台风的影响，理由见解析
16√3
(2)台风影响该城市的持续时间有 小时
3
【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果
大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD
中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．
（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有
了速度，时间就可以求出了．
【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．
在直角△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=220km，
1
∴AD= AB=110km，
2
∵110<130，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）如图以A为圆心，130km为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=130km．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2√1302−1102=80√3(km)．
16√3
∴台风影响该市的持续时间t=80√3÷15= （小时），
3
16√3
∴台风影响该城市的持续时间有 小时．
3
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过
作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．
24．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运
往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后立即开始卸货，这时接到气象部门的通知，一台
风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）
都会受到影响．(1)问B处是否会受到台风的影响请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号）
【答案】(1)会受台风影响，理由见解析；
(2)（4√3−3）小时．
【分析】（1）B处是否会受到台风影响，其实就是B到AC的垂直距离是否超过200海里，如果超过则不
会影响，反之受影响．
（2）根据已知及三角函数求得AE的长，再根据路程公式求得时间即可．
【详解】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AC交AC于点D，
∵在Rt△ABD中，∠BAC=90°−60°=30°
1
∴BD= AB,
2
∵AB=20×16=320海里
1 1
∴BD= AB= ×320=160海里
2 2
∵160＜200，
∴会受台风影响．
（2）解：如图2，在Rt△ADB中，AB=320海里，BD=160海里，
∴AD=160√3海里，
∵要使卸货不受台风影响，
∴必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货，
如图，BE=200海里，在Rt△BDE中，
DE=√BE2−BD2=√2002−1602=120海里，
∴AE=（160√3−120）海里，
∵台风速度为40海里/小时，
160√3−120
∴时间t= =（4√3−3）小时，
40
答：为避免受到台风影响，该船应在（4√3−3）小时内卸完货
【点睛】本题考查解直角三角形应用的问题，将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关的直角
三角形是解题的关键．
类型九、勾股定理与选址问题
25．（2019春·山东济宁·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的
直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已
知，AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问，图书室E应该建在距点A多少km知处．才能使它到
两所学校的距离相等？
【答案】图书室E应该建在距A点1km处，才能使它到两所学校的距离相等
【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．【详解】由题意可得：设AE=xkm，则EB=(2.5−x)km．
∵ AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，
∴ AC2+AE2=BE2+DB2，
∴ 1.52+x2=(2.5−x) 2+12，
解得：x=1．
答：图书室E应该建在距A点1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题的关键．
26．（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信
号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB=80km，
AD=50km，BC=30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
【答案】30km
【分析】设AE=xkm，则BE=(80−x)km，根据勾股定理可得，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
结合DE=CE得到关于x的方程，求解即可．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=(80−x)km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2，
在Rt△BCE中，
CE2=BE2+BC2，
∵AD=50km，BC=30km，DE=CE，
∴502+x2=(80−x) 2+302，
解得x=30，
答：信号塔应该建在距离A乡镇30km的地方．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．27．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建
设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，
CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D
两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处?并判断此时ΔDEC的形状，请说明理由．
【答案】市场E应建在距A的20千米处；ΔDEC是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】可以设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根
据勾股定理可以求得CE，根据CE=DE可以求得x的值，即可求得AE的值．
【详解】解：设AE=x，则BE=50−x，
在直角△ADE中，DE2=302+x2，
在直角△BCE中，CE2=(50−x) 2+202，
∴ 302+x2=(50−x) 2+202，
解得：x=20，
即AE=20km；
∴ 市场E应建在距A的20千米处；
∵ AE=BC=20km，BE=50−20=30km，
在△DAE和△EBC中，
¿
可得△DAE≌△EBC(SAS)，
∴∠AED=∠BCE，
又∵ ∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=90∘
又∵ DE=EC，
∴ △DEC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据DE2=302+x2和CE2=(50−x) 2+202
求x的值是解题的关键．
类型十、勾股定理与最短路径
28．（2022秋·陕西汉中·八年级校考期中）如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知
长方体的长、宽高分别是AC是8cm，CD是7cm，BD是8cm，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？
【答案】17cm
【分析】将长方体按照图1和图2的方式展开利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵AC=BD=8cm，
∴展开图只需要考虑两种，
当按照如图1所示的方式展开的时候，由勾股定理得AB=√AD2+BD2=17cm；
当按照如图2所示的方式展开的时候，由勾股定理得AB=√(8+8) 2+72=√305cm；
∵√305>√289=17，
∴这只蜘蛛爬行的最短距离是17cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确将长方体按照不同的分式展开是解题的关键．
29．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）如图，一个圆柱体，高等于12cm，底面半径等于3cm，一只蚂
蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是多少cm（π取3）
【答案】15cm
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果．
【详解】解：将圆柱展开如图，连接AB，BC是圆柱的高，
1
由题意可知：BC=12cm，AB= ×2πr=3π=9cm，
2
∴AB=√92+122=15cm，
即沿圆柱体侧面爬行的最短路程是15cm．
【点睛】本题考查了勾股定理，把空间问题转化为平面问题是解题的关键．
30．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面
直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线AB＋底面直径BC，如图a所示，设长度为l ．
1
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l ．
2
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路
线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1的长度l = ，路线2的长度l = ；
1 2
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析(2)①8，√16+4π2；②选择路线2较短，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可；
（2）把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算即可．
【详解】（1）解：剪开前，AB=2cm，BC=8cm，
∴l =AB+BC=2+8=10，
1
1
剪开后，AB=2cm，BC= ×8π=4πcm，
2
∴l =√AB2+BC2=√22+(4π) 2=√4+16π2；
2
∵l2−l2=102−(4+16π2)=96−16π2=16(6−π2)<0
1 2
∴l20，
1 2
∴l2>l2 即l >l 所以选择路线2较短．
1 2 1 2
【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，
比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．
