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考点巩固卷 03 函数及其性质（十大考点）考点01：已知函数解析式求定义域问题
若函数f(x)的解析式为已知函数的形式⇒采用直接法.
解题模板如下：
第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3) 的底数不为零；
(4) 的底数不为零；
(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
(6)正切函数y=tanx的定义域为 .
(7)指数式中底数大于零且不等于1.
(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.
(9)对于幂函数 ：
m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，
m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.
注： 的定义域为[0,+∞)，而 的定义域为R.
第二步：列出不等式（组）
第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.
1．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．2．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的定义域为（ ）A．{ 且 } B．{ 且 }
C． D．{ 且 }
10．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点02：抽象函数定义域的妙解
使用前提：涉及到抽象函数求定义域，函数的解析式是未知的.
解题模板如下：
解题模板1
f (x) f [g(x)]
已知 的定义域，求 的定义域.
f (x) m≤x≤n f [g(x)] m≤g(x)≤n x
求解思路：若 的定义域为 ，则在 中， ，解得 的取值范围构成的集
f [g(x)]
合，即为 的定义域.
解题模板2
f [g(x)] f (x)
已知 的定义域，求 的定义域.
f [g(x)] a≤x≤b a≤x≤b g(x)
求解思路：若 的定义域为 ，则由 确定的 的范围（值域）构成的集合，即
f (x)
为 的定义域.
解题模板3
f [g(x)] f [h(x)]
已知 的定义域，求 的定义域.
f [g(x)] f (x) f (x) f [h(x)]
求解思路：可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域.11．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
14．函数 与 有相同的定义域，且对定义域中任何 都有 ，
，若 的解集是 ，则函数 是（ ）.
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
15．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
16．已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．17．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．若幂函数 的图象过点 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考点03：求函数解析式的六大思路
模型一：待定系数法求函数解析式
适用条件：已知函数解析式的类型
步骤如下：
第一步：先设出
第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式
第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.
模型二：换元法求函数解析式
f [g(x)] g(x)=t
x t
适用条件：已知函数 且 能够很轻松的将 用 表示出来.
步骤如下：第一步：令 ，解出 且注意新元的取值范围
第二步：然后代入 中即可求得
第三步：从而求得 .
模型三：配凑法求函数解析式
f [g(x)] g(x)=t
x t
适用条件：已知函数 且 不能够很轻松的将 用 表示出来.
步骤如下：
g(x)
第一步：将等号右边先出现
g(x)
第二步：将题干等号右边形式变形成 的形式.
第三步：从而求得 的解析式.
模型四：方程组法求函数解析式
适用条件：已知 与 、 与 （ 为常数）等之间的关系式
步骤如下：
f (m)±f (n)=A
第一步：将原式抄写一遍，如
m,n f (n)±f (m)=B
第二步：将 交换，再写一遍 .
第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得 的解析式.
模型五：抽象函数求函数解析式
x y
适用条件：已知 ：括号中既有 又有 时
步骤如下：
x=0 y=0 0
第一步：令 或 （令字母出现次数少的为 ）
f (x) f (y) f (0)=m
第二步：代入出现 或 形式且求出
第三步：从而求得 的解析式.模型六：分段函数求函数解析式
x≤0 x>0
适用条件：已知 的解析式求 的解析式.
步骤如下：
第一步：明确函数的奇偶性
x>0,−x<0 f (−x)=
第二步： ， 代入已知函数解析式
第三步：利用奇偶性从而求得 的解析式.
21．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
22．下列函数满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
23．定义在 上的函数 满足 ， 是函数 的导函数，以下选项
错误的是（ ）
A．
B．曲线 在点 处的切线方程为
C． 在 上恒成立，则
D．24．已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
26．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
27．已知函数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．已知 ，且 ，则 =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
29．已知函数 满足： ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．30．若函数 ， 满足 ，且 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点04：各种函数值域问题
dx2 +ex+f
f (x)=
形如①：f (x)=Ax+B√ax2 +bx+c或 ax2 +bx+c 采用判别式法.
dx2 +ex+f
f (x)= ⇒dx2 +ex+f=y(ax2 +bx+c)
形式1： ax2 +bx+c
⇒(d−ay)x2 +(e−by)x+(f−cy)=0⇒(e−by) 2 −4(d−ay)(f−cy)≥0
f (x)=Ax+B√ax2 +bx+c⇒ y−Ax=B√ax2 +bx+c
形式2：
⇒(y−Ax) 2 =B2(ax2 +bx+c)
移项继续利用形式1进行处理.
形如②：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值.
简称直接法
解题步骤：
第一步：观察函数中的特殊函数；
第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
31．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
32．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．33．函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
34．已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
35．已知函数 在 上的值域为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
36．设函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
38．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点05：函数单调性的处理技巧
①：定义法
使用前提：一般函数类型
解题步骤：第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
{ x >x { x >x
⇒ 1 2 ⇑， 1 2 ⇓
第三步：定符号，得出结论. f (x )>f (x ) f (x )0 k=f' (x)<0
第二步：在定义域范围内解不等式 或 ；
f (x) (k>0,上坡路，k<0,下坡路)
⇒
第三步：得出函数 的增减区间.斜率
39、已知函数 利用函数单调性的定义证明： 是其定义域上的增函数.
40、已知函数 ．
f (x) (0，+∞)
（1）求证： 在 上是单调递增函数；
（2）若f（x）在 上的值域是 ，求a的值．
41、已知函数 是定义在 上的函数.
（1）用定义法证明函数 在 上是增函数；
（2）解不等式 .
42、已知函数 定义在 上的奇函数，且 ．（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 的单调性，并证明；
（3）解关于 的不等式 ．
43、已知 是定义域为 的偶函数，且当 时， ．
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）求证： 在区间 上是减函数，在 上是增函数，并写出函数 取得最小值时 的
取值．
44、已知函数 ，试判断函数 的单调性，并证明.
因为 所以 为单调递增函数.
45、 求函数 的单调减区间.
考点06：函数奇偶性的处理技巧
①：基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
②：利用函数的奇偶性求函数的解析式
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：
第一步：首先设出所求区间的自变量 ；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的 的取值范围；第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
46、判定下列函数的奇偶性：
(1) (2) .
(3) ； (4) ；
47、下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
48、设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
49、已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
50、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，求出函数 的解析式.
51、已知函数 在R上为奇函数，且 时， ，则当 时， ________.
52、函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则当 时，
________．
考点07：函数单调性奇偶性综合求不等式范围
f (x) R
结论1：奇函数单调性不改变，若函数 为定义在 上的奇函数时
x≥0 f (x) x<0 f (x) f (m)+f (n)>0⇒m+n>0
①若 时， 为单调递增，则 时， 为也为单调递增，即 .x≥0 f (x) x<0 f (x) f (m)+f (n)>0⇒m+n<0
②若 时， 为单调递减，则 时， 为也为单调递减，即 .
f (x) R
结论2：偶函数单调性改变，若函数 为定义在 上的偶函数时
x≥0 f (x) x<0 f (x)
①若 时， 为单调递增，则 时， 为单调递减，
f (m)>f (n)⇒|m|>|n| f (x)+f (−x)>2f (m)⇒|x|>m
即 ， .
x≥0 f (x) x<0 f (x)
②若 时， 为单调递减，则 时， 为单调递增，
f (m)>f (n)⇒|m|<|n| f (x)+f (−x)>2f (m)⇒|x|
