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考点巩固卷 03 函数及其性质（十大考点）考点01：已知函数解析式求定义域问题
若函数f(x)的解析式为已知函数的形式⇒采用直接法.
解题模板如下：
第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3) 的底数不为零；
(4) 的底数不为零；
(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
(6)正切函数y=tanx的定义域为 .
(7)指数式中底数大于零且不等于1.
(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.
(9)对于幂函数 ：
m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，
m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.
注： 的定义域为[0,+∞)，而 的定义域为R.
第二步：列出不等式（组）
第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.
1．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．2．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的定义域为（ ）A．{ 且 } B．{ 且 }
C． D．{ 且 }
10．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点02：抽象函数定义域的妙解
使用前提：涉及到抽象函数求定义域，函数的解析式是未知的.
解题模板如下：
解题模板1
f (x) f [g(x)]
已知 的定义域，求 的定义域.
f (x) m≤x≤n f [g(x)] m≤g(x)≤n x
求解思路：若 的定义域为 ，则在 中， ，解得 的取值范围构成的集
f [g(x)]
合，即为 的定义域.
解题模板2
f [g(x)] f (x)
已知 的定义域，求 的定义域.
f [g(x)] a≤x≤b a≤x≤b g(x)
求解思路：若 的定义域为 ，则由 确定的 的范围（值域）构成的集合，即
f (x)
为 的定义域.
解题模板3
f [g(x)] f [h(x)]
已知 的定义域，求 的定义域.
f [g(x)] f (x) f (x) f [h(x)]
求解思路：可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域.11．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
14．函数 与 有相同的定义域，且对定义域中任何 都有 ，
，若 的解集是 ，则函数 是（ ）.
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
15．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
16．已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．17．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．若幂函数 的图象过点 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考点03：求函数解析式的六大思路
模型一：待定系数法求函数解析式
适用条件：已知函数解析式的类型
步骤如下：
第一步：先设出
第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式
第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.
模型二：换元法求函数解析式
f [g(x)] g(x)=t
x t
适用条件：已知函数 且 能够很轻松的将 用 表示出来.
步骤如下：第一步：令 ，解出 且注意新元的取值范围
第二步：然后代入 中即可求得
第三步：从而求得 .
模型三：配凑法求函数解析式
f [g(x)] g(x)=t
x t
适用条件：已知函数 且 不能够很轻松的将 用 表示出来.
步骤如下：
g(x)
第一步：将等号右边先出现
g(x)
第二步：将题干等号右边形式变形成 的形式.
第三步：从而求得 的解析式.
模型四：方程组法求函数解析式
适用条件：已知 与 、 与 （ 为常数）等之间的关系式
步骤如下：
f (m)±f (n)=A
第一步：将原式抄写一遍，如
m,n f (n)±f (m)=B
第二步：将 交换，再写一遍 .
第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得 的解析式.
模型五：抽象函数求函数解析式
x y
适用条件：已知 ：括号中既有 又有 时
步骤如下：
x=0 y=0 0
第一步：令 或 （令字母出现次数少的为 ）
f (x) f (y) f (0)=m
第二步：代入出现 或 形式且求出
第三步：从而求得 的解析式.模型六：分段函数求函数解析式
x≤0 x>0
适用条件：已知 的解析式求 的解析式.
步骤如下：
第一步：明确函数的奇偶性
x>0,−x<0 f (−x)=
第二步： ， 代入已知函数解析式
第三步：利用奇偶性从而求得 的解析式.
21．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
22．下列函数满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
23．定义在 上的函数 满足 ， 是函数 的导函数，以下选项
错误的是（ ）
A．
B．曲线 在点 处的切线方程为
C． 在 上恒成立，则
D．24．已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
26．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
27．已知函数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．已知 ，且 ，则 =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
29．已知函数 满足： ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．30．若函数 ， 满足 ，且 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点04：各种函数值域问题
dx2 +ex+f
f (x)=
形如①：f (x)=Ax+B√ax2 +bx+c或 ax2 +bx+c 采用判别式法.
dx2 +ex+f
f (x)= ⇒dx2 +ex+f=y(ax2 +bx+c)
形式1： ax2 +bx+c
⇒(d−ay)x2 +(e−by)x+(f−cy)=0⇒(e−by) 2 −4(d−ay)(f−cy)≥0
f (x)=Ax+B√ax2 +bx+c⇒ y−Ax=B√ax2 +bx+c
形式2：
⇒(y−Ax) 2 =B2(ax2 +bx+c)
移项继续利用形式1进行处理.
形如②：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值.
简称直接法
解题步骤：
第一步：观察函数中的特殊函数；
第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
31．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
32．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．33．函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
34．已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
35．已知函数 在 上的值域为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
36．设函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
38．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点05：函数单调性的处理技巧
①：定义法
使用前提：一般函数类型
解题步骤：第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
{ x >x { x >x
⇒ 1 2 ⇑， 1 2 ⇓
第三步：定符号，得出结论. f (x )>f (x ) f (x )<f (x )
1 2 1 2
注意：同向递增，异向递减
②导数法
使用前提：较复杂的函数类型
解题步骤：
f (x) f' (x)
第一步：求函数 的定义域和导函数的解析式 ；
k=f' (x)>0 k=f' (x)<0
第二步：在定义域范围内解不等式 或 ；
f (x) (k>0,上坡路，k<0,下坡路)
⇒
第三步：得出函数 的增减区间.斜率
39、已知函数 利用函数单调性的定义证明： 是其定义域上的增函数.
40、已知函数 ．
f (x) (0，+∞)
（1）求证： 在 上是单调递增函数；
（2）若f（x）在 上的值域是 ，求a的值．
41、已知函数 是定义在 上的函数.
（1）用定义法证明函数 在 上是增函数；
（2）解不等式 .
42、已知函数 定义在 上的奇函数，且 ．（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 的单调性，并证明；
（3）解关于 的不等式 ．
43、已知 是定义域为 的偶函数，且当 时， ．
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）求证： 在区间 上是减函数，在 上是增函数，并写出函数 取得最小值时 的
取值．
44、已知函数 ，试判断函数 的单调性，并证明.
因为 所以 为单调递增函数.
45、 求函数 的单调减区间.
考点06：函数奇偶性的处理技巧
①：基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
②：利用函数的奇偶性求函数的解析式
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：
第一步：首先设出所求区间的自变量 ；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的 的取值范围；第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
46、判定下列函数的奇偶性：
(1) (2) .
(3) ； (4) ；
47、下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
48、设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
49、已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
50、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，求出函数 的解析式.
51、已知函数 在R上为奇函数，且 时， ，则当 时， ________.
52、函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则当 时，
________．
考点07：函数单调性奇偶性综合求不等式范围
f (x) R
结论1：奇函数单调性不改变，若函数 为定义在 上的奇函数时
x≥0 f (x) x<0 f (x) f (m)+f (n)>0⇒m+n>0
①若 时， 为单调递增，则 时， 为也为单调递增，即 .x≥0 f (x) x<0 f (x) f (m)+f (n)>0⇒m+n<0
②若 时， 为单调递减，则 时， 为也为单调递减，即 .
f (x) R
结论2：偶函数单调性改变，若函数 为定义在 上的偶函数时
x≥0 f (x) x<0 f (x)
①若 时， 为单调递增，则 时， 为单调递减，
f (m)>f (n)⇒|m|>|n| f (x)+f (−x)>2f (m)⇒|x|>m
即 ， .
x≥0 f (x) x<0 f (x)
②若 时， 为单调递减，则 时， 为单调递增，
f (m)>f (n)⇒|m|<|n| f (x)+f (−x)>2f (m)⇒|x|<m
即 ， .
53、定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，若对任意
的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
54、已知函数 ， ，如果 成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
55、已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ， ，则关
于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
56、已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．57、设 是 上的奇函数，且 在 上是减函数，又 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
58、已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A．(-3，0) B． C．(0，3) D．
考点08：函数周期性的处理技巧
类型一：抽象函数的周期性
使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期
解题步骤：
第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；
第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；
常见的结论包括：
m x f (x+m)=−f (x) f (x) 2m
结论1：若对于非零常数 和任意实数 ，等式 恒成立，则 是周期函数，且 是
它的一个周期.
f (x+2m)=f (x+m+m)=−f (x+m)=f (x)∴T=2m
证明：
也可理解为：平移m个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的
距离为2m，∴T=2m
结论2：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 (其中 为常数， )，
则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
f (x−a+a)=f (x−a+b)⇒f (x)=f (x+b−a)
∴T=|b−a|
证明：
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x前的正负.结论3：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 (其中 为常数，
)，则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
59．设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时，
，下列结论：
① ；
②当 时， 的取值范围为 ；
③ 为奇函数；
④方程 仅有6个不同实数解．
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
60．对任意的 函数 ，都有 ，且当 时， ，
若关于 的方程 在区间 内恰有6个不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A．(3,5) B．(3,4) C．[3,4] D．[3,5]
61．已知函数 对 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且对
，当 时，都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数 C． 是周期为4的周期函数 D．
62．定义在 上的函数 满足 ， ， 为奇函数，有下列结论：
①直线 为曲线 的对称轴；②点 为曲线 的对称中心；③函数 是周期函数；④ ；⑤函数 是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
63．已知 是定义在 上的函数，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
64．已知 是定义域为 的奇函数且满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
65．定义在R上的函数 ， 满足 ， ， ，
，则下列说法中错误的是（ ）
A． 是函数 图象的一条对称轴
B．2是 的一个周期
C．函数 图象的一个对称中心为
D．若 且 ， ，则n的最小值为2
66．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．2
考点09：函数对称性的处理技巧
类型一：函数自身的对称性
使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征
解题步骤：
第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性
常见函数的对称性包括：y=f (x) A(a,b) f (x)+f (2a−x)=2b
定 理 1 ： 函 数 的 图 像 关 于 点 对 称 的 充 要 条 件 是 . 或
f (2a+x)+f (−x)=2b f (a+x)+f (a−x)=2b
或
y=f (x) O f (x)+f (−x)=0
推论1：函数 的图像关于原点 对称的充要条件是 .
y=f (x) f (a+x)=f (a−x) f (x)=f (2a−x)
x=a
定理2：函数 的图像关于直线 对称的充要条件是 ，即 .
y=f (x) y f (x)=f (−x)
推论2：函数 的图像关于 轴对称的充要条件是 .
R f (10+x) f (5−x)=f (5+x) f (x)
67、定义在 上的非常数函数满足： 为偶函数，且 ，则 一定是( )
A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数
68、对于函数 ，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个.
（1）这个函数的值域为 ；（2）这个函数在区间 上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；（4）这个函数至少存在两个零点.
69、函数 图象的对称中心为_____
70、对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，有同学发现“任何
一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数
，计算 __________.
71、若函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 、 ，则 的值为
_______．72、已知函数 , ________.
考点10：分段函数与零点问题
形如1：已知定义域为 的函数 ，若 是三个互不相同的正数，且
，则 的范围是？
破解：作出函数 的图象，
不妨设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ .
形如2：已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且
，则 的取值范围是？
破解：由题意作函数 与 的图象如下，结合图象可知， ， ，故 ， ，
故 ，
形如3：已知函数 若 ( 互不相等)，则
的取值范围是？
破解：作出函数 的图象，如图所示:
设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
当 时，解得 或 ，所以 .
设 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .73．已知函数 .若 ， ， ， 是方程 的四个互不相等的解，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
74． ，若 ，且 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
75．已知函数 ，若实数 ， ，c满足 且 ，则 的取
值范为（ ）
A． B． C． D．
76．已知函数 ，若 ､ ､ 均不相等且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
77．已知函数 ，若存在互不相等的正实数 ､ ､ ，满足 ，
其中 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C．9 D．36
78．已知函数 ，若 ， ， 互不相等，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
