文档内容
专题20.1 勾股定理及其应用
（知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）
【解析版】
知识荟萃
2
知识点梳理01：勾股定理.............................................................2
知识点梳理02：勾股定理的证明.......................................................2
知识点梳理03：勾股定理的应用.......................................................3
知识点梳理04：利用勾股定理作长为❑√n的线段(n＞1，且n为整数)........................4
题型讲练...............................................................................4
题型1：用勾股定理解三角形..........................................................4
题型2：已知两点坐标求两点距离......................................................7
题型3：勾股树(数)问题..............................................................7
题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积............................................8
题型5：勾股定理与网格问题.........................................................10
题型6：勾股定理与折叠问题.........................................................11
题型7：利用勾股定理证明线段平方关系...............................................12
题型8：勾股定理的证明方法.........................................................14
题型9：以弦图为背景的计算题.......................................................15
题型10：用勾股定理构造图形解决问题................................................17
题型11：勾股定理与无理数..........................................................18
题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用)............................................19
题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用)................................................21
题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)............................................23
题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用)........................................24
题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)........................................25
题型17：解决航海问题(勾股定理的应用)..............................................27
题型18：求河宽(勾股定理的应用)....................................................28
题型19：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)..........................................29题型20：判断汽车是否超速(勾股定理的应用）.........................................30
题型21：判断是否受台风影响(勾股定理的应用)........................................32
题型22：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)......................................34
题型23：求最短路径(勾股定理的应用)................................................36
中考真题..............................................................................38
分层训练..............................................................................41
基础夯实..........................................................................41
培优拔高..........................................................................46
知识点梳理01：勾股定理
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直
角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2.
1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等
量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2
- b2、
c= √a2 +b2 a= √c2 −b2 b= √c2 −a2
b2 = c2 - a2； 、 、 .
【知识拓展】
1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2
＞c2.
2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2
＜c2.
【易错点拨】
1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所
有可能的情况，以避免漏解或者错解.知识点梳理02：勾股定理的证明
通过拼图证明勾股定理的思路：
（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.
（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.
（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等
变形→推导命题结论.
下面列举几种证明方法：
1、“赵爽弦图”
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
1
即c2= ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．
2
2、我国数学家邹元治的证明方法
证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
1
即（a+b）2＝c2+ ab×4，化简得：a2+b2＝c2．
2
3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
1 1 1
即 （a+b）（a+b）= ab×2+ c2，化简得：a2+b2＝c2．
2 2 2
知识点梳理03：勾股定理的应用
利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方
程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.
1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
1、从实际问题中抽象出几何图形；
2、确定所求线段所在的直角三角形；
3、找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4、求得结果.
2、勾股定理应用的类型：
（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；
（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4)作长为❑√n(n＞1，且n为整数)的线段；
（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，
然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.
【易错点拨】
勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.
知识点梳理04：利用勾股定理作长为❑√n的线段(n＞1，且n为整数)
实数与数轴上的点是一 一对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上直接标出无理
数对应的点则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为❑√n(n＞1，且n为整数)的线段，进而在数轴上画出表示❑√n(n＞1，且n为整数)的点.
在数轴上表示❑√n的步骤：
①利用勾股定理求出长为❑√n的线段；
②在数轴上以原点为圆心，以长为❑√n的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为表示❑√n的
点.
题型1：用勾股定理解三角形
【典例精讲】（2025·浙江衢州·模拟预测）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直
角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形ABDE为正方形，若Rt△ABC的斜边
AB=10，BC=6，则图中线段CE的长为（ ）
A．6 B．❑√40 C．8 D．❑√68
【答案】D
【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求AC的长，由全等三角形的性
质可求AF=BC=6，EF=AC=8，进一步可得答案．
【规范解答】解：如图，标注顶点，
在Rt△ABC中，AC=❑√AB2−BC2=❑√100−36=8，
∵Rt△ACB≌Rt△EFA，
∴AF=BC=6，EF=AC=8，
∴FC=AC−AF=2，∴CE=❑√EF2+CF2=❑√4+64=❑√68．
故选：D．
【变式训练】（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点A(0,3)和B(4,0)．点P是坐标轴上
一动点，连接AB，AP，BP，当△ABP为直角三角形时，P点的坐标是 ．
( 9 ) ( 16)
【答案】 − ,0 或(0,0)或 0,−
4 3
【思路点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点P在x轴上，在原点，在y
轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解．
【规范解答】解：①当点P在x轴上运动，∠P AB=90°时，连接P A．
1 1
∵A(0,3)，B(4,0)，
∴OA=3，OB=4，AB=❑√32+42=5，
设点P 的坐标是(a,0)，
1
∵∠P AB=90°，
1
∴P B=4−a，P A=❑√a2+32，
1 1
∴P A2+AB2=P B2 ，即a2+32+52=(4−a) 2，
1 19
解得a=− ．
4
( 9 )
∴点P 的坐标是 − ,0 ；
1 4
②当点P在原点时，∠AP B=90°，
2
∴点P 的坐标为(0,0)；
2
③当点P在y轴上运动，∠ABP =90°时，连接P B，
3 3
设点P 的坐标是(0,b)，
3
∴P A=3−b，P B=❑√b2+42，
3 3
∴P B2+AB2=P A2 ，即b2+42+52=(3−b) 2，
3 3
16
解得b=− ．
3
( 16)
∴点P 的坐标是 0,− ．
3 3
( 9 ) ( 16)
故答案为： − ,0 或(0,0)或 0,− ．
4 3
题型2：已知两点坐标求两点距离
【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点
A(−3,4)，则线段OA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【思路点拨】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点
之间的距离公式解答即可得．
【规范解答】解：∵O为坐标原点，点A(−3,4)，
∴线段OA的长为❑√(−3−0) 2+(4−0) 2=5，
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点P(−2,−5)到坐标原点O的
距离为 ．【答案】❑√29
【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理，
先确定点到坐标轴的距离，再根据勾股定理直接求出答案.
【规范解答】解：根据题意，得点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，
∴OP=❑√52+22=❑√29.
故答案为：❑√29.
题型3：勾股树(数)问题
【典例精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我
国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5
【答案】A
【思路点拨】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平
方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．
【规范解答】A．62+82=102，是勾股数；
B．52+112≠122，不是勾股数；
C．72+82≠92，不是勾股数；
D． 22+32≠52，不是勾股数；
故选：A．
【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则
第三个数是 ．
【答案】13
【思路点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再
根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【规范解答】解：当第三个数是直角边时，第三个数=❑√122−52=❑√119；
当第三个数是斜边时，第三个数=❑√122+52=13；
∵三个数是一组勾股数，
∴当第三个数为❑√119时，不合题意，舍去，
∴第三个数是13，
故答案为：13．题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．144cm2 B．12cm2 C．❑√306cm2 D．306cm2
【答案】A
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，会利用勾股定理进行几何计算是解决本题的关键．
如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=81，c2=225，则可计算出
b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．
【规范解答】解：如图，∵a2+b2=c2，
而a2=81，c2=225，
∴b2=225−81=144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2，
故选A．
【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正
方形E的边长是 ．【答案】❑√47
【思路点拨】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理得a2=11+13=24，b2=12+11=23，
c2=a2+b2，即可求解．
【规范解答】解：如图，
∵
所有的三角形都是直角三角形，
∴a2=11+13=24，
b2=12+11=23，
∴c2=a2+b2=24+23=47，
∴c=❑√47（负值已舍去），
∴最大正方形E的边长是❑√47，
故答案为：❑√47．
题型5：勾股定理与网格问题
【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面的一部
分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从A→B→C，则它所走的路程是（ ）
A．4m B．❑√5m C．2❑√5m D．2❑√3m
【答案】C
【思路点拨】由图片可知，AB、BC均为长2m、宽1m的矩形的对角线，运用勾股定理分别求出AB、BC
的长再相加即可；本题考查了勾股定理，精准识图、准确计算是解题的关键．
【规范解答】解：AB=BC=❑√22+12=❑√5(m)，
AB+BC=2❑√5m．
故选：C．【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4
的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于P，Q两点，则P点所表示的数为
．（可以用含根号的式子表示）
【答案】❑√10+1/1+❑√10
【思路点拨】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解AD=❑√12+32=❑√10，再进一步求解即
可．
【规范解答】解：由勾股定理可得，AD=❑√12+32=❑√10，
则AP=AD=❑√10，
点A表示的数是1，
OP=❑√10+1，
P点所表示的数为❑√10+1．
故答案为：❑√10+1．
题型6：勾股定理与折叠问题
【典例精讲】（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，
BC=12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
10 8
A． cm B．3cm C． cm D．5cm
3 3
【答案】A【思路点拨】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可
求得CD的长．
本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方．
【规范解答】解：∵AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=❑√AC2+BC2=13cm，
由折叠的性质得：AE=AC=5cm，
∴BE=8cm，
设CD=x，则在Rt△DEB中，82+x2=(12−x) 2，
10
∴x= cm．
3
故选：A．
【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,BC=❑√13，
沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的
折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
7 9 5 13
A． B． C． D．
3 4 2 6
【答案】D
【思路点拨】先由折叠的性质得出AB=AD=2，ED=EC，∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，推出
∠ADE=90°，再由勾股定理求出AC=3，设AE=x，则CE=DE=3−x，然后由勾股定理列出方程，解
方程即可．
【规范解答】解：由折叠的性质得：AB=AD=2，ED=EC，∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∴∠ADE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=❑√BC2−AB2=❑√(❑√13) 2 −22=3，
设AE=x，则CE=DE=3−x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
即22+(3−x) 2=x2，
13
解得：x= ，
6
故选：D．
题型7：利用勾股定理证明线段平方关系
【典例精讲】（24-25八年级下·青海玉树·期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是
a、b、c，且∠A:∠B:∠C=1:1:2，则下列等式正确的是（ ）
A．a2=b2+c2 B．a2=2c2 C．c2=2b2 D．b2=2a2
【答案】C
【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰
直角三角形，利用勾股定理求解边长关系．
【规范解答】解：∵∠A:∠B:∠C=1:1:2，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，
∴a=b，a2+b2=c2，
∴c2=2b2．
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ECD=90°，△ECD的顶点D是△ACB的斜边AB上的点，连接AE．
(1)求∠EAC的度数；
(2)求证：AD2+BD2=2CD2
EC
(3)若BD=3AD，请直接写出 的值．
BD
【答案】(1)45°(2)见解析
EC ❑√5
(3) =
BD 3
【思路点拨】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的
性质与判定是解题的关键；
（1）证明△AEC≌△BDC(SAS)，得出∠EAC=∠ABC=45°即可求解；
（2）根据（1）的结论，推出∠EAD=90°，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）设BD=AE=3AD=3a，则AB=4a，利用勾股定理列式进行求解即可．
【规范解答】（1）解：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠CED=∠EDC=∠ABC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，
∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
∴△AEC≌△BDC (SAS)
．
∴AE=BD，∠EAC=∠ABC=45°；
（2）证明：∵∠CAB=45°，∠EAC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
即∠EAD=90°．
∴AD2+AE2=DE2，
在△ECD中，∵CD2+CE2=DE2，
∴2CD2=DE2，即AD2+BD2=2CD2；
（3）解：设BD=AE=3AD=3a，则AB=4a，
∵AD2+BD2=2CD2，即a2+(3a) 2=2CD2，
解得CD=EC=❑√5a．
EC ❑√5
∴ = ．
BD 3
题型8：勾股定理的证明方法
【典例精讲】（24-25八年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、
b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已
知c=4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．2❑√5 D．2❑√7
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键
是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以c为边长的正方形面积减去两个直角三角形
的面积，建立方程求解出ab的值，再利用完全平方公式变形即可解答．
【规范解答】解：已知c=4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，
1
根据题意：c2−2× ab=10，c=4，
2
则ab=16−10=6，
∵BC=a+b，a2+b2=c2=16，
∴(a+b) 2=a2+b2+2ab=16+12=28，
∴a+b=2❑√7（负值舍去），即BC=2❑√7，
故选：D．
【变式训练】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形
面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾
股定理，据此可得答案．
【规范解答】解：由题意知，3+4=7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，
故选：D．
题型9：以弦图为背景的计算题
【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形
EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【思路点拨】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设EH=x，则DH=AE=x，根据勾股定
理列式x2+(2x) 2=52，继而得到x=❑√5，即可得到本题答案．
【规范解答】解：由“赵爽弦图”可知AE=DH，
∴设EH=x，则DH=AE=x，
∵AE2+ED2=AD2，AD的长为5，
∴x2+(2x) 2=52，解得：x=❑√5，
1
∴阴影部分的面积：S= ×(❑√5) 2 ×4+(❑√5) 2=15，
2
故答案为：15．【变式训练】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四
个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边AB=❑√10，直角边BC=1，点D在AC上，
AD=1，则中间正方形的面积为 ．
【答案】1
【思路点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的
边长为AC−AD−BC，据此即可求解．
【规范解答】解：∵∠ACB=90°，AB=❑√10，BC=1，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√10−1=3，
∴中间正方形的边长为AC−AD−1=3−1−1=1，
∴中间正方形的面积为1．
故答案为：1．
题型10：用勾股定理构造图形解决问题
【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径
是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是
（ ）
A．2cmn)．若小正方形面积为3，且满足(m+n) 2=15则大正方形面积为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【思路点拨】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，根据勾股定理以及
题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2+n2．
【规范解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，
∴(m−n) 2=3，即m2+n2−2mn=3①，
∵(m+n) 2=15，
∴m2+n2+2mn=15②，
①+②得2(m2+n2)=18，
∴大正方形的面积为：m2+n2=9，
故选：B．
3．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，∠ABC的平分线BD交
AC于D， 且BD=13，点E是AB边上的一动点，则DE的最小值为 ．
【答案】5
【思路点拨】本题考查了角平分线性质定理，勾股定理，垂线段最短．
根据勾股定理求出CD，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质定理求出CD=DE，代入求出即可．
【规范解答】解：在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=12，BD=13，由勾股定理得：CD=❑√132−122=5，
过D作DE⊥AB于E，则此时DE的值最小，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DE=CD=5．
故答案为：5．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到
如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD约为 米．
（结果精确到0.1米，参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）
【答案】2.9
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解Rt△AMD可得MD=4米，
解Rt△BMC可得MC=4❑√3，进而求得CD．
【规范解答】解：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，
∴MD=4米；
在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，
∴2MC=BC
∵BM=❑√BC2−MC2=❑√3MC
❑√3
∴ MC= BM=4❑√3米，
3
∴警示牌的高CD=4❑√3−4≈2.9米．
故答案为：2.9．
5．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14
号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市
52km的B处（即AB=52km），正以8km/h的速度沿BC直线方向移动．(1)已知A市到BC的距离AD=20km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时
(2)A市受台风影响的时间为3.75小时
【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是
解题关键．
（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理求出BD，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过
长时间；
（2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知DP=DQ，A市
在台风从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
【规范解答】（1）解：由题意得，在Rt△ABD中，
AB=52km，AD=20km
∴ BD=❑√AB2−AD2=48(km)，
∴48÷8=6（小时），
即台风中心从B点移到D点需要6小时；
（2）解：以A为圆心，以25km为半径画弧，交BC于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，离开Q点恰好不受影响（如图），
由题意，AP=25km，在Rt△ADP中，
PD=❑√AP2−AD2=15(km)，
∵AP=AQ，∠ADB=90°，∴DP=DQ，
∴PQ=30km，
∴30÷8=3.75（小时）
∴A市受台风影响的时间为3.75小时．
基础夯实
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池
正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，
求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+62=122 B．(12−1) 2+62=x2
C．x2+62=(x−2) 2 D．(x−2) 2+62=x2
【答案】D
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是x尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得(x−2) 2+
(12) 2
=x2 ，整理得(x−2) 2+62=x2，即可作答．
2
【规范解答】解：设芦苇的长度是x尺，
∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．
∴(x−2) 2+
(12) 2
=x2
2
整理得(x−2) 2+62=x2，
故选：D．
2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，10，12 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．5，8，12
【答案】C
【思路点拨】本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键．
勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和a2+b2=c2的条件，即可解答．
【规范解答】解：勾股数需为正整数且满足a2+b2=c2，
对于A：72+102=49+100=149,122=144,149≠144，不符合；
对于B：0.3，0.4，0.5不是正整数，不符合；
对于C：62+82=36+64=100,102=100，相等，且均为正整数，符合；
对于D：52+82=25+64=89,122=144,89≠144，不符合；
故选C．
3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，长方形ABCD的边BC在数轴上，点B的坐标为−3，点C
的坐标为3，AB=3，以B为圆心，BD为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．3❑√5 B．❑√3+1 C．3❑√5−3 D．❑√5−1
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理，实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握勾股
定理的应用．
先求出BC，然后在Rt△BCD中运用勾股定理求解BD，即可得到BE，即可表示点E表示的实数．
【规范解答】解：由题意得，BC=3−(−3)=6，
因为长方形ABCD，
所以CD=AB=3,∠BCD=90°
所以由勾股定理得，BE=BD=❑√62+32=3❑√5，
所以点E表示的数为−3+3❑√5，
故选：C．
4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，
解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥
控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即EF=10
米），结果轮船在水中实际航行的路程HF比河的宽度EH多2米，EH⊥EF，则河的宽度EH为
米．【答案】24
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知Rt△EFH为直角三角形，根据勾股定理列方程
就可求出直角边EH的长度．
【规范解答】解：在Rt△EFH中，根据勾股定理得到H E2+EF2=FH2，
即H E2+102=(HE+2) 2，
解得HE=24，
故答案为：24．
5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ．
【答案】12
【思路点拨】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理
解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答．
【规范解答】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得52+132=m2，
即25+169=194，
解得m=❑√194，不是正整数，舍去；
当13为斜边时，由勾股定理得52+m2=132，
即25+m2=169，
∴m2=144，
解得m=12（负值已舍去），
故答案为：12．
6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4,2)，则线段OA的长
为 ．
【答案】2❑√5
【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理，根据勾股定理，计算原点O到点A的距
离．
【规范解答】解：点A的坐标为(4,2)，由勾股定理得OA=❑√42+22=❑√16+4=❑√20=2❑√5．
故答案为：2❑√5．7．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正
方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是 ．
【答案】28
【思路点拨】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键．
根据正方形的面积与边长的关系，可知S =S +S ，由此即可求解．
C A B
【规范解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知S =S +S ，
C A B
∴S =10+18=28．
C
故答案为：28．
8．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，
系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端
系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离
木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？
73
【答案】
6
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，绳子长度比木棍高度多3尺，当绳子拉直时，木棍
高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形，利用勾股定理求解．
【规范解答】解：设绳子长度为l尺，则木棍高度为(l−3)尺，
依题意，当绳子拉直底端着地时，有(l−3) 2+82=l2，
73
解得l= ，
6
73
答：绳长为 尺
6
9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√7+❑√3，BC=❑√7−❑√3．
求AB的长．
【答案】2❑√5
【思路点拨】本题考查了勾股定理，直接代入公式求解．【规范解答】解：∵∠C=90°，AC=❑√7+❑√3，BC=❑√7−❑√3，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√ (❑√7+❑√3) 2+(❑√7−❑√3) 2=2❑√5．
10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)若∠A=30°，AC=2cm，求AB和BC；
(2)若∠A=45°，AB=2cm，求AC和BC．
4❑√3 2❑√3
【答案】(1)AB= ，BC=
3 3
(2)AC=BC=❑√2
【思路点拨】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形和直角三角形的性质，在直角三角形中两直角边
的平方和等于斜边的平方；直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理和直角
三角形的性质，运用方程的思想是解题的关键．
（1）由Rt△ABC中，∠A=30°，可得AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，利用勾股定理列方程即可求
解；
（2）由Rt△ABC中，∠A=45°，可得△ABC为等腰直角三角形，可设AC=BC= y，利用勾股定理列
方程即可求解．
【规范解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴22+x2=(2x) 2，
2❑√3
解得x= ，
3
2❑√3 2❑√3 4❑√3
∴BC= ，AB=2× = ．
3 3 3
2❑√3 4❑√3
∴BC= ，AB= ．
3 3
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∴AC=BC，
设AC=BC= y，
∵AC2+BC2=AB2，
∴y2+ y2=22，
解得y=❑√2，
∴AC=BC=❑√2．
培优拔高
11．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形A的面积
为9，如果正方形B的面积为16，那么正方形C的面积为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．144
【答案】C
【思路点拨】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，结合勾股定理和正方形的面积公式，正方
形C的面积等于正方形A的面积与正方形B的面积之和，解题的关键是掌握以直角三角形的两条直角边为
边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
【规范解答】解：∵正方形A的面积为9，正方形B的面积为16，
∴正方形C的面积为9+16=25，
故选：C．
12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为24cm，高为5cm，蚂蚁在圆柱侧面爬
行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
【答案】B【思路点拨】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆
柱侧面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处，那么它爬行的最短路程即
为AB的长，再由勾股定理求出AB即可．
【规范解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵ 5cm 24cm
圆柱高为 ，底面圆的周长为 ，
1
∴ BC=5cm,AC= ×24=12(cm)，
2
由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处，那么它爬行的最短路程为AB的长，
在Rt△ABC中，
AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13(cm)．
故选：B．
13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，
1
适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
2
两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若BC=4❑√3，则在△ABD中AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【思路点拨】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地
作出辅助线是解题的关键．
由作图可知，BP为∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，结合勾股定理解题即可．
【规范解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
过点D作DE⊥AB于点E，由作图可知，BP为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，CD=DE，
∴BD=2CD，
在Rt△BCD中，BC=4❑√3，BD2=BC2+CD2，
∴(2CD) 2=CD2+(4❑√3) 2 ，
解得：CD=4，
∴DE=4．
故选：B．
14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC．若
P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
48
【答案】
5
【思路点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接BP，由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，可得
1
BD= BC，PB=PC，根据勾股定理可求得AD的长，过点B作BE⊥AC于点E，BE交AD于点F，当
2
点P在点F处时，PC+PQ取最小值，且最小值为BE的长，在△ABC中，利用面积法可求出BE的长度，
即可得解．
【规范解答】解：如图，连接BP，
∵AB=AC=10，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，
1 1
∴BD= BC= ×12=6，PB=PC，
2 2
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√102−62=8，PC+PQ=PB+PQ，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当B、P、Q三点共线，且BQ⊥AC时，PC+PQ最小，
如图所示，过点B作BE⊥AC于点E，BE交AD于点F，
∴ P F Q E PC+PQ BE
当点 在点 处，点 在点 处时， 取最小值，且最小值为 的长，
1 1
∵S = BC×AD= AC×BE，
△ABC 2 2
BC×AD 12×8 48
∴BE= = = ，
AC 10 5
48
即PC+PQ的最小值为 ．
5
48
故答案为： ．
5
15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，已知AB=AC=4❑√5，BC=8，AC的垂
直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，点F和点G分别是线段DE和BC边上的动点，则CF+FG的最小
值为 ．
【答案】8
【思路点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知
识点的应用是解题的关键，由DE垂直平分AC，得AF=CF，则CF+FG=AF+FG，当点A、F、G
三点共线，且AG⊥BC时，CF+FG有最小值AG，最后由勾股定理即可求解．【规范解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴CF+FG=AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线，且AG⊥BC时，CF+FG有最小值AG，
如图，
∵AB=AC，BC=8，
1
∴BG=GC= BC=4，∠AGB=∠AGC=90°，
2
由勾股定理得：AG=❑√AC2−GC2=❑√(4❑√5) 2 −42=8，
∴CF+FG有最小值AG=8，
故答案为：8．
16．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，点B在线段DE上，
BA=BC,∠ABC=∠ADB=∠BEC=120°，点F为∠ABC平分线上的一点，且△ABF和△CBF均为等
边三角形，AD=5,CE=3，则AF的长是 ．
【答案】7
【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直
角三角形的性质；先证明△≝¿是等边三角形，再证明△ADB≌△BEC(AAS)求得DF=8，过点F作
FM⊥DE于点M，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得FM进而求得BM，在
Rt△FBM中求得FB的长，即可求解．
【规范解答】解：∵∠ADB=∠BEC=∠ABC=120°，
∴∠DAB+∠DBA=180°−∠ADB=60°，DBA+∠EBC=180°−∠ABC=60°，
∴∠DAB=∠EBC，在△BAD和△CBE中，
{DAB=∠EBC
)
∠ADB=BEC ，
AB=CB
∴△BAD≌△CBE(AAS)，
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
∵△BAF是等边三角形，
∴BA=AF=BF，∠BAF=∠BFA=∠ABF=60°，
∴∠BAF+∠BAD=∠CBF+∠CBE，即∠FAD=∠FBE，
在△FAD和△FBE中，
{
FA=FB
)
∠FAD=∠FBE ，
AD=BE
∴△FAD≌△FBE(SAS)，
∴∠AFD=∠BFE，FD=FE，
∵∠BFA=∠BFD+∠AFD=60°，
∴∠BFD+∠BFE=∠DFE=60°，
∴△≝¿是等边三角形．
∵△ABF和△CBF、△FDE均为等边三角形，
∴∠FBC=∠FBA=60°，AB=AF=BF=BC，
∵∠FBE=∠FBC+∠CBE=60°+∠CBE，∠FBE=∠FDE+∠DFB=60°+∠DFB
∴∠CBE=∠DFB，
∵△ABF为等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ADB=120°,∠FDE=60°
∴∠ADF=∠ABF=60°
设AB,DF交于点G，如图
∵∠AGF=∠DAB+∠ADF=∠DFB+∠ABF
∴∠DFB=∠DAB∴∠CBE=∠BAD
在△ADB,△BEC中，
{∠CBE=∠BAD
)
∠ADB=∠BEC
AB=BC
∴△ADB≌△BEC(AAS)
∴CE=DB=3，AD=BE=5，
∴DE=DB+BE=CE+AD=3+5=8
∴DF=DE=8
过点F作FM⊥DE于点M
1
∴DM= DE=4
2
在Rt△FDM中，FM=❑√FD2−DM2=❑√82−42=4❑√3
∵BM=DM−DB=4−3=1
∴FB=❑√FM2+BM2=❑√(4❑√3) 2+12=7
∴AF=FB=7
故答案为：7．
17．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=10，D是
BC的中点，E是AC边上一动点．将△CDE沿DE所在直线折叠得到△C′DE．当△AEC′是直角三角形时，
AC′的长为 ．
【答案】8或❑√74
【思路点拨】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当∠EC′ A=90°时，如图2，当∠AEC′=90°时，由直角三角形的性质分别求解即可．
【规范解答】解：如图1，当∠EC′ A=90°时，
∵ ∠C=∠DC′E=90°
，
∴ ∠DC′E+∠EC′ A=180°，
∴D，C′，A共线，
1
∵CD=DB= BC=5，AC=12，
2
∴ AD=❑√CD2+AC2=❑√52+122=13，
设CE=EC′=x，则AE=12−x，
在Rt△AEC′中，则有(12−x) 2=x2+(13−5) 2，
10
解得x= ，
3
10 10 26
∴ CE=EC′= ．AE=12− =
3 3 3
∴ AC′=❑√AE2−EC2=❑
√ (26) 2
−
(10) 2
=8
3 3
如图2，当∠AEC′=90°时，∠CED=∠DEC′=45°，
∵∠C=90°
，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴CD=CE=5，
∴ CE=EC′=5．AE=12−5=7
∴ AC′=❑√AE2+EC2=❑√72+52=❑√74
综上所述，满足条件的AC'的值为8或❑√74．故答案为8或❑√74．
18．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意
识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯AC长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上（墙与地面
垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离CO的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑
动的距离AB为多少米．
【答案】(1)24m
(2)8m
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据勾股定理即可得出结论．
【规范解答】（1）解：∵在Rt△OAC中，AC=25m，AO=7m，
∴由勾股定理得AO2+CO2=AC2，
即72+CO2=252，
解得：CO=24，
即云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24m．
（2）解：∵CD=4m，CO=24m，
∴OD=CO−CD=24−4=20(m)，
在Rt△OBD中，BD=25m，OD=20m，
由勾股定理得OD2+OB2=BD2，
即202+OB2=252，
解得：OB=15，
∵OA=7m，
∴AB=OB−OA=15−7=8m．
即云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8m．19．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直
线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l
的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直
线l上一动点，则PA+PB的最小值为 ，在网格内画出点P；
(2)几何应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，
垂足为D．若AE=3，点P是直线DE上的动点，求PA+PC的最小值．
【答案】(1)4❑√2，见解析
(2)9
【思路点拨】（1）作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求，利用勾股定
理求出AB′的长即可得到答案；
（2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°；由线段垂直平分线的性质可得
AE=BE=3，则可推出∠CAE=90°，可得CE=2AE=6，BC=BE+CE=9；可证明
PA+PC=PB+PC≥BC，则当P、B、C三点共线时，PA+PC有最小值，最小值为BC的长，即PA+PC
的最小值为9．
【规范解答】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，则点P即为所
求，
此时PA+PB的最小值即为线段AB′的长，即PA+PB的最小值为❑√42+42=4❑√2；（2）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
180°−∠BAC
∴∠B=∠C= =30°；
2
∵AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，
∴AE=BE=3，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=90°，
∴CE=2AE=6，
∴BC=BE+CE=9；
如图所示，连接PA,PC,PB，则PA=PC，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，
∴当P、B、C三点共线时，PA+PC有最小值，最小值为BC的长，即PA+PC的最小值为9．
20．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，
B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AD=7❑√3m，BC=60m，CD=30m，请计算A，B两个
凉亭之间的距离．
【答案】23❑√3m
【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键．
先求出∠D=90°，再根据勾股定理，求出BD=❑√BC2−CD2=30❑√3(m)，则
AB=BD−AD=23❑√3(m)，即可解答．
【规范解答】解：∵CD⊥BD，
∴∠D=90°，
在Rt△BCD中，BD=❑√BC2−CD2=❑√602−302=30❑√3(m)，
∴AB=BD−AD=30❑√3−7❑√3=23❑√3(m)．
答：A，B两个凉亭之间的距离为23❑√3m．
