文档内容
第 04 讲 因式分解综合
1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．
7. 能说出平方差公式，完全平方公式的特点．
3. 能熟练地掌握应用平方差公式和完全平方公式分解因式．
4. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．
5. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．
6. 在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察，比较和判断能力以
及运算能力， 用不同的方法分解因式，可以提高学生的综合运用知识的能力，
进一步体验“整体”思想和 “换元”思想
知识点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项
式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，
这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整
式乘法是把积化为和差的形式．
知识点2：公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
知识点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这
一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项
的系数是正的．
知识点4：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
知识点5：提公因式与公式法综合
（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式
写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
知识点5：十字相乘法
1. x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
2
即 a a a ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c c ，把 a ， a ，c ，
1 2 1 2 1 2 1
c 排列如下：
2按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c a c ，若它正好等于二次三项式 ax bx c 的
1 2 2 1 2
一次项系数b ，即 a c a c b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 ax c 与
1 2 2 1 1 1
a x c 之积，即 ax bx c (ax c)(a x c ) ．
2 2 2 1 1 2 2
【题型1 因式分解的定义】
【典例1】（2023秋•海门市校级月考）下列各式由左边到右边的变形中，是因
式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）
【变式1-1】（2023春•玄武区期中）下列各式从左到右不属于因式分解的是（
）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解
的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
【题型2 公因式】
【典例 2-1】（2023 春•榆阳区期末）多项式 6a2b﹣3ab2 的公因式是
．
【典例2-2】（2023春•大竹县校级期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是
．
【变式2-1】（2023春•礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是 ．
【变式2-2】（2023春•巴州区月考）多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是 ．
【变式2-3】（2023春•开江县校级期末）多项式 4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的
公因式是 ．
【题型3 提公因式】
【典例3】（2022秋•白云区期末）分解因式：
（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．
【变式3-1】（2023春•常德期中）因式分解
（1）x2﹣4x；
（2）8y3﹣2x2y．
【变式2-2】（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：
（1）8abc﹣2bc2；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．
【变式3-3】（2022春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+
（m+n）．
【题型4 因式分解-平方差】
【典例4】（2023•云南）分解因式：x2﹣4＝ ．
【变式4-1】（2023•武威一模）因式分解：a2﹣169＝ ．
【变式4-2】（2022秋•洞口县期末）因式分解：4a2﹣b2＝ ．
【变式4-3】（2023春•东源县期末）把多项式a2﹣9b2分解因式结果是 ．
【题型5 因式分解-完全平方】
【典例5】（2023•通榆县三模）分解因式：a2+8a+16＝ ．
【变式5-1】（2023春•亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝ ．【变式5-2】（2023•前郭县四模）分解因式：a2﹣6a+9＝ ．
【题型6 提公因式与公式法综合】
【典例6】（2023春•海曙区期中）分解因式
（1）x2y﹣y；
（2）ax2﹣6ax+9a．
【变式6-1】（2023春•娄星区校级期中）因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
【变式6-2】（2022秋•武汉期末）因式分解：
（1）2x3y﹣2xy3；
（2）﹣a3+2a2﹣a．
【变式6-3】（2023•肃州区校级开学）分解因式：
（1）5x2﹣5y2；
（2）2mx2+4mxy+2my2．
【变式6-4】（2022秋•兴城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【题型7 十字相乘法】
【典例7】（2023春•银海区期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 1 2 2
a c +a c ＝b．
1 2 2 1
例如：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．
求：（1）x2﹣x﹣6；
（2）3x2+5x﹣12．
【变式7-1】（2023春•岳阳期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 2x2
﹣x﹣3的方法（如图）．
第一步：二次项2x2＝x•2x；
第二步：常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），画“十字图”验算“交叉相乘之
和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项﹣x．即2x2﹣x﹣3
＝（x+1）（2x﹣3）；
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相
乘 法 ” ．
运用结论：（1）将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝ ；
（2）若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整
数p的所有可能值．
【变式7-2】（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如 x2+px+q的二
次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式
分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【变式7-3】（2022秋•沙洋县校级期末）阅读与思考：利用多项式的乘法法则
可推导得出：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解与整式乘法是方
向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利
用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式
子 x2+3x+2 分解因式．分析：这个式子的常数项 2＝1×2，一次项系数 3＝
1+2．这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，
∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
（1）填空：
式子x2+7x+10的常数项10＝ × ，一次项系数7＝ + ，分解因
式x2+7x+10＝ ．
（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数 p的所有可能值是
．1．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
2．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
3．（2023•台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
4．（2023•内蒙古）分解因式：x3﹣4x＝ ．
5．（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝ ．
6．（2023•眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ ．
7．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写
出一个符合条件的多项式： ． ．
8．（2023•哈尔滨）把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 ．
9．（2023•株洲）因式分解：x2﹣2x+1＝ ．
10．（2023•金昌）因式分解：ax2﹣2ax+a＝ ．
11．（2023•赤峰）分解因式：x3﹣9x＝ ．
1．（2023春•渭滨区期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（
）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+2x+1＝（x+1）2
2．（2023春•尤溪县期末）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．a2+a+ D．﹣a2+b2﹣2ab
3．（2022秋•江夏区期末）把多项式 8a3b2+12ab3c因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．4ab B．4ab2c C．4ab2 D．8ab2
4．（2023•衡山县二模）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
5．（2023春•富川县期末）多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（ ）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
6．（2023 春•宣汉县校级期末）把多项式 x2+5x+m 因式分解得（x+n）（x﹣
2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7
C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
7．（2023春•新昌县期末）已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，
则k的值为（ ）
A．﹣6 B．3 C．6 D．±6
8．（2023 春•安乡县期末）若二次三项式 x2+mx﹣8 可分解为（x﹣4）
（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
9．（2023•沈河区模拟）因式分解：﹣4y2+4y＝ ．
10．（2023春•临漳县期末）仔细观察下图，各块图形面积之和为a2+3ab+2b2，
则因式分解a2+3ab+2b2＝ ．
11．（2023春•中宁县期末）分解因式：2a（x﹣y）﹣（x﹣y）＝ ．
12．（2022秋•荔湾区期末）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．13．（2023春•渠县校级期末）分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
14．（2023春•单县期末）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
15．（2022秋•嘉峪关期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下
面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1 进行因式分解的过程．将
“x2+2x”看成一个整体，令 x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝
（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设 x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝
y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．
问题：
（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果
；
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式
分解．
16．（2023春•长春期末）如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积（ 取
3.14）．
π
17．（2023春•台儿庄区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的
值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴ ，解得 ．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
